1.1八年级上册1.1探索勾股定理同步梯度训练（含答案）

1.1探索勾股定理同步梯度训练（含答案）
第一课时
知识梳理：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。
勾股定理应用：在直角三角形中，已知任意两边边长，运用勾股定理可以求出第三边边长。
例题讲解：
用四个相同的直角三角形（直角边为，b，斜边为c）构成如图所示的正方形。请利用这个图形证明勾股定理。
解：由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”，得
化简可得：
2.在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c= ；（2）若a=6，c=10，
则b= ；（3）若a：b=3：4，c=15，则a= ，b= 。
解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴满足
由此可知（1），则c=5
，则b=8
若a：b=3：4，可设a=3x，b=4x
则
化简，得
即25x2=225，x2=9，x=3（x＞0）
因此，a=3x=9，b=4x=12.
基础训练：
求斜边长为17cm，一条直角边长为15cm的直角三角形的面积。
求下图中字母所代表的正方形的面积。
（2）


求等腰三角形ABC的面积。
如图，将长为13m的梯子AC斜靠在墙上，BC长为5m，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB。

拓展提升
一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为
一直角三角形的两直角边长分别为12和16，则斜边长等于 。
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，若AD=4，AB=3，BC=12，
则CD=

“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，求小正方形的面积．

第二课时
例题讲解：
某养殖场有一个长2m，宽1.5m的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取 m。
解：根据勾股定理可知，木板的长=
如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A,B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC长160m，BC长128m。问从点A穿过湖到点B有多远？
解：在△ABC中，AC=160m，BC=128m
由勾股定理可得
答：从点A穿过湖到点B有96m。
基础训练
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处。旗杆折断之前有多高？
如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m ，1m ，0.8m的箱子能放进储藏室吗？
如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高为8m的小树树梢上叫它，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少要几秒才能飞到伙伴身旁？
拓展提升：
如图，有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距 海里．
若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长为 cm。
如图，有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000m处，过了20s，飞机距离这个男孩头顶5000m，那么飞机每时飞行多少千米？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值。
综合练习
下列说法正确的是（ ）
若，b，c是△ABC的三边，则
若，b，c是Rt△ABC的三边，则
若，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则
若，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则
如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则
S1=S2 B. S1＜S2 C.S1＞S2


如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC的边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
如图，B、D、C三点在一条直线上，∠ADB=∠ADC=90°，BD=DE，∠DAC=45°；
（1）线段AB、CE的关系为
（2）若BD=a，AD=b，AB=c，请利用此图的面积式证明勾股定理．
参考答案
第一课时
基础训练：
解：由勾股定理可知，
另一条直角边=172-152=82
所以三角形的面积=8×15×=90cm2
解：（1）400-225=175
斜边的平方=175，所以正方形A的面积为175
（2）225-81=144
斜边的平方=144，所以正方形B的面积为144
解：作等腰三角形底边AB的高，垂足为D，
则AD=BD=3，根据勾股定理
CD2=52-32
则高CD=4，S△ABC=6×4×=12cm2
解：由勾股定理得AB2=132－52
AB=12
拓展提升：
解：长方形的另一条边长为4cm，
根据勾股定理32+42=52
则对角线长为5cm。
解：根据勾股定理得122+162=202，则斜边长为20
解：∵∠BA=90°，AD=4，AB=3，
∴由勾股定理可知AB=3
又∵∠DBC=90°，BC=12，
∴由勾股定理可知DC2=122+52=132
∴CD=13
解：解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，
2ab=21-13=8，
∴小正方形的面积为13-8=5
第二课时
基础训练：
解：根据勾股定理得
32+42=52
则，折断部分长5m，
所以，折断之前旗杆高8m。
解：设ABCD是矩形，则AB∥CD，AB=CD=1m，OA=1.2m，
作OE⊥AB，则OE平分AB，
∴AE=，
∴OE2=OA2-AE2=1.22-0.52=1.19，
∵0.82=0.64，1.19＞0.64
∴长，宽，高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室．
解：构造直角三角形，由勾股定理可知
122+52=132
所以大树的树梢到小树的树梢的距离为13m
根据得，t=6.5s
拓展提升：
解：1.5小时后一艘船的路程为16×1.5=24海里，另一艘船的路程为18海里，
根据勾股定理可知242+182=302
所以一个半小时后它们相距30海里。
解：设三角形的两直角边为a，b，斜边为c
S△ABC=ab=6，则ab=12
由得a2+b2=25
由
=25+2×12=49
所以a+b=7
那么三角形的周长为12cm
解：构造直角三角形
50002－40002=30002
则20s飞机水平飞行了3000m，飞机飞行速度为150m/s
解：（1）在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16，
∴BC=4（cm）；
（2）由题意知BP=tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；
②当∠BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，
AP2=32+（t-4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
即：52+[32+（t-4）2]=t2
得：
故当△ABP为直角三角形时，t=4或
（3））①当AB=BP时，t=5；
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；
③当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=|t-4|cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
所以t2=32+（t-4）2，
得t=
综上所诉：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=
综合练习
D 2.A
3. A
A.解析：设CN=x，则DN=（8-x）根据勾股定理可得
，得x=3
4.
解析：连接AM，则AM⊥BC
根据勾股定理可知AM=4，
S△AMC=3×4×=6
以AC为底，MN为高时，
S△AMC=5·MN·=6，则MN=
5. 解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=62+82=102
∴△ADB的面积为S△ADB=AB·DE=×10×3=15
6.（1）线段AB、CE的关系为：AB=CE，AB⊥CE
理由是：延长CE交AB于F，
∵∠ADC=90°，∠DAC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
在△ADB和△CDE中，
AD＝CD
∠ADB＝∠ADC
BD＝DE
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，∠BAD=∠DCE，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠DCE+∠ABD=90°，
∴∠BFC=90°，
∴AB⊥CE；
故答案为：AB=CE，AB⊥CE．
（2）如图，设EF=x，
∵S△ABC=S△ABE+S△BDE+S△ACD，
∴
∵BD=a，AB=c，AD=b，
∴易得 AB=CE=c，BD=DE=a，AD=CD=b，
即：，
∴