§1 变化的快慢与变化率
平均变化率
某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：
x(min)
0
10
20
30
40
50
60
y(℃)
39
38.7
38.5
38
37.6
37.3
36.8
问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？
提示：从20 min到30 min变化快．
问题2：如何刻画体温变化的快慢？
提示：用平均变化率．
问题3：平均变化率一定为正值吗？
提示：不一定．可正，可负，可为零．
平均变化率
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.
其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.
(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
瞬时变化率
王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”
问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？
提示：不是，是指瞬时速度．
问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？
提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．
问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？
提示：有可能．
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．
2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．
求平均变化率
[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－x
＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：
＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.
[一点通]
求平均变化率的步骤是：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；
(3)求平均变化率＝.
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＞0 B．Δx＜0
C．Δx≠0 D．Δx＝0
答案：C
2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
解析：＝＝4.1.
答案：D
3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)
＝－8Δx－2(Δx)2，
∴＝－8－2Δx.
即平均变化率为－8－2Δx.
求瞬时变化率
[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．
[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
[一点通]
求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A．1米/秒 B．－1米/秒
C．2米/秒 D．－2米/秒
解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．
答案：B
5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，趋于2.
所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.
1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．
3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．
1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )
A．Δx＋ B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝Δx＋2.
答案：C
2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
解析：＝＝
＝＝6＋Δt.
答案：A
3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.
答案：C
4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )
A．①②③④ B．②①③④
C．②①④③ D．②④①③
解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.
答案：C
5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．
解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，
Δx＝e2－e，
∴＝.
答案：
6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．
解析：＝＝
＝－，当Δt趋于0时，＝－.
答案：－
7．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.
(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；
(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．
解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：
＝＝－14.
故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；
(2)∵＝
＝
＝
＝－5·Δt－4，
∴当Δt趋于0时，趋于－4，
即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.
8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物休的初速度v0即求物体在t＝0的瞬时速度．
.∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴当Δt趋于0时，趋于－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
∴当Δt趋于0时，趋于－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
§2 导数的概念及其几何意义
导数的概念
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度，通过平均速度来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．
问题1：怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？
提示：先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度，当Δt趋于0时，平均速度就趋于运动员在t0时刻的瞬时速度．
问题2：当Δx趋于0时，函数f(x)在(x0，x0＋Δx)上的平均变化率即为函数f(x)在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？
提示：当Δx趋于0时，x0＋Δx就无限接近于点x0，这样(x0，x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点x0处的瞬时变化率．
问题3：函数f(x)在x0点的瞬时变化率叫什么？
提示：函数f(x)在x0点的导数．
导数的定义
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率是函数y＝f(x)在x0点的导数．用符号f′(x0)表示，记作：
f′(x0)＝li ＝li .
导数的几何意义
在函数y＝f(x)的图像上任取两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))．
问题1：是函数f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率，有什么几何意义？
提示：函数y＝f(x)图像上A，B两点连线的斜率．
问题2：Δx趋于0时，函数y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率即为函数y＝f(x)在x1点的瞬时变化率，能否看成函数y＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
提示：能．
问题3：函数y＝f(x)在x0处的导数的几何意义是什么？
提示：函数y＝f(x)图像上点(x0，f(x0))处的切线斜率．
导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
1．函数y＝f(x)在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数．
2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．
导数的概念及应用
[例1] 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
[思路点拨]
―→―→
[精解详析] 当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为
＝
＝＋
当x趋于100时，即Δx趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f′(100)＝0.105，
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．
[一点通]
利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤：
第一步，求函数的增加量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
第二步，求平均变化率：＝；
第三步，求f′(x0)＝ .
1.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，设函数y＝f(x)从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小 关系为( )
A．v1＞v2 B．v1＝v2
C．v1＜v2 D．不能确定
解析：记v1＝＝tan α1，v2＝＝tan α2，易知α1＜α2，所以v1＜v2.
答案：C
2．已知函数f(x)＝x2＋1，则f′(1)＝________.
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－[12＋1]＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx，
∴f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
答案：2
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，求物体在3 s末的瞬时速度．
解：物体在3 s末的瞬时速度，即求物体在t＝3时的导数．
∵＝
＝
＝＝Δt＋5，
∴函数在t＝3处的瞬时速度为
s′(3)＝ ＝ (Δt＋5)＝5，
即物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s.
求曲线的切线方程
[例2] 求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
[思路点拨] 函数f(x)＝在x＝－2时的导数即为点(－2，－1)处切线的斜率，故可先求f′(－2)，再求曲线的切线方程．
[精解详析] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数．
而f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
[一点通]
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
4．曲线y＝x2－x＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析：f′(1)＝
＝
＝
＝ (1＋Δx)＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，
∴α＝.
答案：A
5．求曲线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程．
解：f′(2)＝ ＝ ＝1，
∴过点(2,1)的切线方程为：y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.
求切点坐标
[例3] 直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝f(x)＝x3－x2＋1相切，求a的值及切点的坐标．
[思路点拨] 由导数的几何意义，切点处的切线为l：y＝x＋a，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a.
[精解详析] 设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f′(x0)＝
＝
＝3x－2x0.
由题意知，3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为或(1,1)．
当切点为时，＝－＋a，a＝；
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
∴a的值为，切点坐标为.
[一点通]
求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标．
6．抛物线y＝x2上某点处的切线平行于直线y＝4x＋1，则切点坐标为________．
解析：设切点为(x0，x)，
则f′(x0)＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
∴2x0＝4，∴x0＝2，切点为(2,4)．
答案：(2,4)
7．若曲线y＝x2－x＋3的一条切线与直线y＝x＋1垂直，求切点坐标．
解：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)即为切线的斜率．
∴f′(x0)＝
＝
＝ [(2x0－1)＋Δx]＝2x0－1.
即切线斜率k＝2x0－1，又切线与直线y＝x＋1垂直，
∴2x0－1＝－1，∴x0＝0，y0＝3.
故切点为(0,3)．
8．求过点(0，－1)且与y＝x2相切的直线方程．
解：(0，－1)不在曲线y＝x2上，故(0，－1)不是切点．
设切点为(x0，x)，则f′(x0)＝
＝ (Δx＋2x0)＝2x0，故切线的斜率k＝2x0.
又切线过点(0，－1)∴k＝，
则2x0＝，解得x0＝±1，
当x0＝1时，k＝2，切线方程为y＝2x－1，
即2x－y－1＝0.
当x0＝－1时，k＝－2，切线方程为y＝－2x－1，
即2x＋y＋1＝0.
函数y＝f(x)在x0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则 等于( )
A．2 B．1
C. D.
解析： ＝f′(1)＝1.
答案：B
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：可得f′(1)＝
＝ ＝ ＝a，
又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，故a＋b＝2，即b＝0，
所以f(x)＝2x，有f(2)＝4.
答案：C
3.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：f′(xA)与f′(xB)分别为A，B处切线的斜率，设A，B处切线的倾斜角分别为α，β，则<α<β<π.
∴tan α答案：B
4．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
解析：＝＝，
∴当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.
∴直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.
答案：C
5．若函数y＝f(x)在点(4,3)处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则f′(4)＝________.
解析：因为直线x＋2y－1＝0的斜率k＝－，所以f′(4)＝－.
答案：－
6．一运动物体的运动方程为s(t)＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．
解析：物体的初速度即为t＝0时的瞬时速度，
∴s′(0)＝ ＝ (3－Δt)＝3.
答案：3
7．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．
解：当x＝1时，＝＝
＝.
由导数的定义，得f′(1)＝ ＝.
当x＝－1时，＝＝
＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝ (Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
8．求曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程．
解：设点(1,1)处的切线斜率为k，则
k＝f′(1)＝
＝
＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，
∴点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
§3 计算导数
对于函数y＝－x2＋2x.
问题1：如何求f′(1)?
提示：f′(1)＝ .
问题2：如何求f′(x)?
提示：f′(x)＝ .
问题3：f′(x)与f′(1)有什么关系？
提示：f′(1)可以认为把x＝1代入导函数f′(x)得到的值．
1．导函数
若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：
f′(x)＝
则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．
2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
函数
导函数
y＝c (c是常数)
y′＝0
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝xα(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝cos x
y′＝－sin_x
y＝ax (a>0，a≠1)
y′＝axln_a，
特别地(ex)′＝ex
y＝tan x
y′＝
y＝loga x (a>0，a≠1)
y′＝，
特别地(ln x)′＝
y＝cot x
y′＝－
1．导数公式表中(ax)′＝axln a与(logax)′＝较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．
2．f′(x)与f′(x0)既有区别，又有联系，f′(x)是导函数，f′(x0)是当x＝x0时导函数f′(x)的一个函数值，是一个确定的值．
利用导函数的定义求导数
[例1] 一运动物体的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝t2＋t.求s′(0)，s′(2)，s′(5)，并说明它们的意义．
[思路点拨] 先求出s(t)的导函数，然后分别把t＝0,2,5代入即可．
[精解详析] 由题意Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)2＋(t＋Δt)－(t2＋t)＝(Δt)2＋2t·Δt＋Δt.
∴＝＝Δt＋2t＋1.
当Δt趋于0时，可以得出导函数为
s′(t)＝ ＝ (Δt＋2t＋1)＝2t＋1.
因此，s′(0)＝2×0＋1＝1，它表示物体的初速度为1 m/s；
s′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第2 s时的瞬时速度为5 m/s；
s′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第5 s时的瞬时速度为11 m/s.
[一点通]
利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当Δx趋于0时，得到导函数
f′(x)＝ .
1．已知函数f(x)＝x2＋x，则f′(x)＝( )
A．1 B．2
C．2x D．2x＋1
解析：f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1.
答案：D
2．求函数f(x)＝2x2＋4x的导数，并利用导函数f′(x)求f′(3)的值．
解：f′(x)＝
＝
＝ (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
f′(3)＝4×3＋4＝16.
利用导数公式求导数
[例2] 求下列函数的导数．
(1)y＝x；(2)y＝log3x；
(3)y＝；(4)y＝5x.
[思路点拨] 先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解．
[精解详析] (1)y＝x＝x，
∴y′＝(x)′＝x＝.
(2)y′＝(log3x)′＝.
(3)∵y＝＝＝tan x，
∴y′＝(tan x)′＝.
(4)y′＝(5x)′＝5xln 5.
[一点通]
求简单函数的导函数有两种基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
3．若f(x)＝，则f′(1)＝( )
A．0 B．－
C．3 D.
解析：f′(x)＝(x)′＝x－＝，∴f′(1)＝.
答案：D
4．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；②′＝cos；③若y＝，
则y′＝－；④′＝－ .
其中，正确的命题序号是________．
解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
′＝(x)′＝－x＝－＝－，
故④正确．
答案：④
导数的应用
[例3] (1)若直线l过点A(0，－1)且与曲线y＝x3切于点B，求B点坐标．
(2)若直线l与曲线y＝x3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积．
[思路点拨] (1)可设出切点为(x0，x)，由导数的几何意义及斜率公式建立关于x0的方程求解．(2)先求切线的方程，从而求出切线与x，y轴的交点坐标，再求三角形的面积．
[精解详析] (1)y′＝3x2，设B(x0，x)(x0≠0)，则切线斜率k＝3x.
又直线l过点(0，－1)，∴k＝.
∴3x＝，
∴2x＝1，∴x0＝，x＝，
∴B.
(2)设切点为(x0，x)(x0>0)，则该切线斜率为3x.
∴3x＝3，x0＝1，则切点为(1,1)．
∴直线l的方程为：y－1＝3(x－1)．
直线l与坐标轴交点分别为(0，－2)，，
∴直线l与坐标轴围成的三角形面积
S＝＝.
[一点通]
利用导数公式可快速求出函数在某点处的导数，即为该点处切线的斜率．在求切线的方程时，要注意点(x0，y0)处的切线与过(x0，y0)的切线的区别：前者(x0，y0)为切点，后者(x0，y0)不一定是切点．
5．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99＝________.
解析：由于f′(1)＝n＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝，∴an＝lg ，∴原式＝lg＋lg＋…＋lg ＝lg＝lg ＝－2.
答案：－2
6．求曲线y＝过点(3,2)的切线方程．
解：∵点(3,2)不在曲线y＝上，
∴设过(3,2)与曲线y＝相切的直线与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则y0＝.
∵y＝，∴y′＝(x)′＝x－1＝.
∴根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率k＝.
∵切线过点(3,2)，
∴＝，＝，
整理得()2－4＋3＝0，解得x0＝1，x0＝9，
∴切点坐标为(1,1)或(9,3)．
①当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k＝，
∴切线方程为y－2＝(x－3)，即x－2y＋1＝0.
②当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k＝，
∴切线方程为y－2＝(x－3)，即x－6y＋9＝0.
综上可知，曲线y＝过点(3,2)的切线方程为：x－2y＋1＝0或x－6y＋9＝0.
1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．
2．计算f′(x0)时，可先求f′(x)，再将x＝x0代入．
3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数．
1．若f(x)＝log3x，则f′(3)等于( )
A. B．ln 3
C. D.
解析：f′(x)＝，∴f′(3)＝.
答案：C
2．曲线f(x)＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.
解析：∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，
∴f′(0)＝1.
即曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
答案：A
3．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若f(x)＝sin α，则f′(x)＝cos α；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于②y＝，y′＝x＝x＝，故②错；对于③f(x)＝sin α，为常数函数，∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．
答案：B
4．已知f(x)＝logax(a＞1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则( )
A．A＞B＞C B．A＞C＞B
C．B＞A＞C D．C＞B＞A
解析：记M(2，f(2))，N(3，f(3))，则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝loga x在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝loga x在点N处的切线的斜率．由f(x)的图像易得A＞B＞C.
答案：A
5．设直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为________．
解析：f′(x)＝(ln x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝，则x0＝2，y0＝ln 2，代入切线方程y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
6．f(x)＝cot x，则f′＝________.
解析：f′(x)＝－，∴f′＝－＝－2.
答案：－2
7．求下列函数的导数．
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝logx；
(5)y＝2cos2－1.
解：(1)∵c′＝0，∴y′＝2′＝0.
(2)∵(xn)′＝n·xn－1，
∴y′＝()′＝(x)′＝x＝x＝ .
(3)∵(ax)′＝ax·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln 10.
(4)∵(logax)′＝，
∴y′＝(logx)′＝＝－.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
8．若曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
解：对函数f(x)＝x求导得f′(x)＝－x (x＞0)，则曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线l的斜率k＝f′(a)＝－a，由点斜式得切线的方程为y－a＝－a (x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.
§4 导数的四则运算法则
导数的加法与减法法则
已知函数f(x)＝，g(x)＝x，那么f′(x)＝－，g′(x)＝1.
问题1：如何求h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
提示：用定义，由h(x)＝＋x，得h(x＋Δx)－h(x)＝＋x＋Δx－－x＝Δx－.
则f′(x)＝
＝ ＝1－.
问题2：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题3：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tan x－ex)′吗？
提示：可以，(3x2＋tan x－ex)′＝6x＋－ex.
导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
导数的乘法与除法法则
已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2，则f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x.
问题1：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？
提示：因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，
f′(x)g′(x)＝3x2·2x＝6x3，所以上式不成立．
问题2：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)成立吗？
提示：成立．
问题3：′＝成立吗？
提示：不成立．
问题4：′＝成立吗？
提示：成立．
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
′＝.
(2)[kf(x)]′＝kf′(x)．
1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≠f′(x)g′(x)，避免与[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆．
2．若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)．
3．类比[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)记忆′＝.
导数公式及运算法则的应用
[例1] 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝xln x；(2)y＝；
(3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos.
[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．
[精解详析] (1)f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1.
(2)法一：y′＝()′＝＝.
法二：y＝＝1－，
∴y′＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.
(4)y＝x－sincos＝x－sin x，
∴y′＝(x－sin x)′＝1－cos x.
[一点通]
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
1．用导数的运算法则推导：
(1)(tan x)′＝；
(2)(cot x)′＝－.
解：(1)(tan x)′＝′＝＝＝.
(2)(cot x)′＝′＝＝＝－.
2．求下列函数的导数．
(1)y＝4cos x－3sin x；(2)y＝；(3)y＝xnex.
解：(1)y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－4sin x－3cos x.
(2)y′＝()′＝＝＝.
(3)y′＝(xnex)′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝(nxn－1＋xn)ex.
利用导数解决参数问题
[例2] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a，b，c的值．
[精解详析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
由解得
所以a，b，c的值分别为3，－11,9.
[一点通]
1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键．
2．若已知(x0，y0)处的切线方程为y＝kx＋b，则有f′(x0)＝k，y0＝kx0＋b.
3．若函数y＝(m＞0)在点x＝x0处的导数等于0，那么x0＝( )
A．m B．－m
C．±m D．m2
解析：由y′＝′＝1－，结合题意得1－＝0?x＝m2?x0＝±m.
答案：C
4．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B.
C. D.
解析：因为y＝x3－1?y′＝3x2，y＝3－x2?y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝.
答案：D
5．若f′(x)为一次函数，且x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解：由于f′(x)为一次函数，则f(x)必为二次函数，
令f(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)＝2ax＋b，
代入x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1得
x2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1.
即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c－1)＝0，
∴解得
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
导数与曲线的切线
[例3] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[思路点拨] (1)求出f(x)在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可．
(2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标．
(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标．
[精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为
y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为
f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴ 或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[一点通]
利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程．
(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程：
①求导数y＝f′(x)，得斜率k＝f′(x0)；
②写出点斜式方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)并化简．
(2)求过点P(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程：
①设切点坐标为(x0，y0)；
②求导数y＝f′(x)得切线斜率k＝f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；
④代入P的坐标(x1，y1)，求出x0；
⑤代入切线方程并化简．
6．若曲线f(x)＝x3＋ax2＋x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．[－，＋∞)
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋1，
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即x2＋2ax＋1＝0有解，
∴Δ＝(2a)2－4≥0，
∴a≥1或a ≤－1，
即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：B
7．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，当x＝－1时，y′取最小值3.
∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y＋14＝3(x＋1)即3x－y－11＝0.
答案：3x－y－11＝0
8．若函数f(x)＝ax2＋2ln x(a∈R)在点(1，f(1))处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相切，求a的值及切线l的方程．
解：依题意有f(1)＝a，f′( x)＝2ax＋，
∴f′(1)＝2a＋2.
∴直线l的方程为y－a＝(2a＋2)(x－1)，
即(2a＋2)x－y－a－2＝0.(*)
∵l与圆C相切，∴＝1，
解得a＝－1或a＝－.
把a＝－1或a＝－代入(*)式并整理得切线l的方程为y＝－1或4x－3y－5＝0.
1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
2．求切线方程．
(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．
1．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：A
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：∵y′＝＝，
∴k＝f′(－1)＝＝2.
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0＞0，所以a＝2－＜2.
答案：B
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)等于( )
A. B．e
C．－ D．－e
解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－.
答案：C
5．函数y＝在x＝处的导数为________．
解析：y′＝′＝′＝，
∴x＝时，y′＝＝2.
答案：2
6．若点P是曲线f(x)＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．
解析：过点P作y＝x－2的平行直线l，且与曲线f(x)＝x2－ln x相切．设P(x0，x－ln x0)，则直线l的斜率k＝f′(x0)＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
7．求下列函数的导数．
(1)y＝＋；
(2)y＝；
(3)y＝1－sin2.
解：(1)∵y＝＋＝
＝－2,
∴y′＝′＝＝.
(2)y′＝′＝′＋′
＝＋
＝
＝.
(3)∵y＝1－sin2
＝＝(3＋cos x)＝＋cos x，
∴y′＝′＝－sin x.
8．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋，
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切线方程是y＝－2.
(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋.
即f′(x)＝＝，
当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0，可得f′(x)≥0.
[对应学生用书P44]
一、导数的概念
1．导数：f′(x0)＝li
Δx是自变量x在x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．
2．导函数：
f′(x)＝li
f′(x)为f(x)的导函数，是一个函数．
二、导数的几何意义
1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．
2．求切线方程：
常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点(x0，f(x0))处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的运算
1．基本初等函数的导数：
(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；
(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝αxα－1；
(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a.
(4)f(x)＝logax，则f′(x)＝；
(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝；
(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－.
2．导数四则运算法则：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(5x)′＝5xlog5e D．(x2cosx)′＝2xsin x
解析：∵′＝1－；(5x)′＝5xln 5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x·cos x－x2sin x，
∴B选项正确．
答案：B
2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．不确定
解析：一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.
答案：C
3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( )
A．281 B．58
C．85 D．10
解析：t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.
∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
答案：B
4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.
答案：A
5．曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．3 B．2
C. D.
解析：由题意，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率为k＝f′(1)＝2，又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为(，0)，(0，－)．
故所求三角形的面积＝××＝.
答案：D
6．曲线f(x)＝2x3－3x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为( )
A．(1，－1) B．(－1，－5)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
解析：设切点为(x0，y0)，则6x－3＝3.
∴x＝1，则x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝－1；x0＝－1时，y0＝1，故选D.
答案：D
7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)．
∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x2－4x.
∴f′(x)＝2x－4，
∴f′(0)＝－4.
答案：D
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
得解得a＝0，b＝－5，
∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数．
答案：A
9．(江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，
所以x＞2.
答案：C
10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
解析：y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，即tan α≥－，所以α∈∪.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．设f(x)＝＋，则f′＝________.
解析：f′(x)＝′＝－＋，
∴f′＝＋＝－＋2.
答案：－＋2
12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2.
∴点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.
答案：y＝－3x
14．已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．
解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．
解：∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3.
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．
解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，
∴2＝1＋a，∴a＝1，
函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，
∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，
又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.
综上，a＝1，b＝2，c＝－1.
18．(本小题满分14分)已知直线l1为曲线f(x)＝x2＋x－2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2⊥l1.
(1)求直线l2的方程；
(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.
解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意可知k1＝f′(1)＝3，故直线l1的方程为y＝3x－3，
由l1⊥l2，可知直线l2的斜率为－，设l2与曲线相切于点Q(x0，y0)，则k2＝f′(x0)＝－，
解得x0＝－，代入曲线方程解得y0＝－，
故直线l2的方程为y＋＝－，化简得到3x＋9y＋22＝0.
(2)直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，，
联立解得两直线交点坐标为，
故所求三角形的面积S＝××＝.
