§1 命__题
命题的定义及形式
观察下列语句的特点：
①两个全等三角形的面积相等；
②y＝2x是一个增函数；
③请把门关上！
④y＝tan x的定义域为全体实数吗？
⑤若x>2 013，则x>2 014.
问题1：上述哪几个语句能判断为真？
提示：①②.
问题2：上述哪几个语句能判断为假？
提示：⑤.
问题3：上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？
提示：③④.因为它们都不能判断真假．
问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么？
提示：条件为“x>2 013”，结论为“x>2 014”．
1．命题
(1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．
2．命题的形式
数学中，通常把命题表示成“若p，则q”的形式，其中，p是条件，q是结论.
四种命题及其关系
观察下列四个命题：
①若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
②若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
③若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
④若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题①的条件是命题②的结论，且命题①的结论是命题②的条件；
对于命题①③，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题①④，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？
提示：命题①④同为真，命题②③同为假．
1．四种命题
(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题．
(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．
(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．
(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示：
命题
条件
结论
原命题
p
q
逆命题
q
p
否命题
p的否定
q的否定
逆否命题
q的否定
p的否定
2．四种命题间的关系
原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性相同．
1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．
3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．
命题的概念及真假判断
[例1] 判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)一个正整数不是合数就是质数；
(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(5)1＋2＋3＋…＋2 014；
(6)这盆花长得太好了！
[思路点拨] 根据命题的概念进行判断．
[精解详析] (1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．
(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．
(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．
(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．
[一点通]
1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．
2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.
答案：A
2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.
答案：B
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数可被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称．
解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题.
四种命题及其关系
[例2] 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
[思路点拨] 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．
[精解详析] (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．
(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．
否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．
逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
[一点通]
1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：
(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．
2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．
4．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命题．③逆否命题：若方程x2＋mx＋1＝0无实根，则m<2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为假命题．
答案：C
5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若α＋β＝，则sin α＝cos β；
(2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd.
解：(1)逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝；
否命题：若α＋β≠，则sin α≠cos β；
逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠.
(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d；
否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd；
逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d.
6．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
解：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.
逆否命题的应用
[例3] 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[思路点拨] 本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．
[精解详析] 法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.
所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，
故逆否命题为真命题．
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥.
∵>1，∴a≥1.∴原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．
[一点通]
由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．
7．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：当m>0时，Δ＝1＋4m>0，
∴x2＋x－m＝0有实数根．
∴原命题为真，故其逆否命题为真．
答案：真
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1时，
a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．
1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫作原命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆否命题．
2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同来判断．
1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是( )
A．若x＞1，则x≤－1 B．若x≤1，则x＞－1
C．若x≤1，则x≤－1 D．若x＜1，则x＜－1
解析：原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
答案：C
2．给出下列三个命题：( )
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
答案：B
3．(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
解析：逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
答案：B
5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是__________________________，q是_________________________．
答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．
6．命题“若x2<4，则－2
答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4 真
7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
§2 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．
设：
A：洛孝主动归还所拾银两．
B：洛孝无赖银之情．
C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．
D：洛孝所拾银子不是失主所丢．
问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？
提示：A，充分条件．
问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？
提示：D，必要条件．
充分条件和必要条件
如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.
充要条件
已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．
q：前年是2012年．
问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题，充分条件．
问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题，必要条件．
问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？
提示：充要条件，充要条件．
充要条件
(1)如果既有p?q，又有q?p，通常记作p?q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．
(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．
(4)若p?q，但q?/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(5)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．
充分条件、必要条件的判断
[例1] 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝；
(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；
(3)p：a>b，q：2a>2b；
(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．
[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．
[精解详析] (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p?/ q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)当a>b时，有2a>2b，即p?q，当2a>2b时，可得a>b，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p?/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．
法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．
[一点通]
充分必要条件判断的常用方法：
(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．
(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．
(3)集合法：
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.
①若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B且B?A，则p是q的既不充分又不必要条件．
1．设集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.
答案：D
2．对任意实数a，b，c给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中，真命题的序号是________．
解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④为真命题．
答案：②④
3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞.
解：(1)因为|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为0＜A＜π时，sin A∈(0,1]，且A∈(0，]时，sin A单调递增，A∈[，π)时，sin A单调递减，所以sin A＞?A＞，但A＞?/ sin A＞.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
充要条件的证明和求解
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，
求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q＝－1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q＝－1.
[精解详析] (充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，可知等比数列{an}的公比为p.
故＝＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
[一点通]
充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A是B的充要条件”中，A?B是充分性，B?A是必要性；在“A的充要条件是B”中，A?B是必要性，B?A是充分性．
4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是____________．
解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－2又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2答案：－25．等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．
解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)?(n＋1)a＋d＞na＋d(n∈N＋)?dn＋a＞0(n∈N＋)?d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0.
答案：d≥0且d＋a＞0
6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
∴必要性成立．
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：
ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的应用
[例3] 已知p：关于x的不等式＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．
[精解详析] 记A＝{x|＜x＜}，B＝
{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，
若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0＜x＜3}≠?，分两种情况讨论：
(1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即＜，解得m＞0，
要使A?B，应有
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
[一点通]
将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．
7．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．
解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分不必要条件，∴B ?A.
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
8．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若x∈M是x∈N的充分条件，求a的取值范围．
解：由(x－a)2<1得
x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0得－3∵x∈M是x∈N的充分条件，∴M?N，
∴解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2,7]．
1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；
(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；
(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；
(3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题．
2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．
1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
答案：A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
答案：A
3．已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“＋＝2”，则命题p是命题q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选A.
答案：A
4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________．
解析：直线l与圆C有公共点?≤?|m－1|≤2?－1≤m≤3.
答案：m∈[－1,3]
6．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件
②必要不充分条件
③充要条件
④既不充分也不必要条件
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的________．
解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)③ (2)①
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.
∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．
解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，不符合要求；
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为
解得0所以ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0§3 全称量词与存在量词
全称量词与全称命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
提示：任意一个，全部，每个．
问题2：上述词语都有什么含义？
提示：表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.
存在量词与特称命题
观察语句①②：
①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示：是，都为真命题．
问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？
提示：表示总体中“个别”或“一部分”．
问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？
提示：某些，有的，有些．
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.
全称命题与特称命题的否定
观察下列命题：
①被7整除的整数是奇数；
②有的函数是偶函数；
③至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？
提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？
提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．
问题3：判断命题③的否定的真假．
提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．
2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．
全称命题与特称命题的判断
[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
[一点通]
判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：
(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；
(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图像关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
答案：D
2．下列命题中，全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
答案：D
全称命题与特称命题的真假判断
[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．
[精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．
[一点通]
1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．下列命题的假命题是( )
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋>0.故B为假命题．
答案：B
4．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)对任意x∈R，都有x2－x＋1＞成立；
(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立；
(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立．
解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞，所以该命题是真命题．
法二：x2－x＋1＞ ?x2－x＋＞0，由于Δ＝1－4×＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝，cos α－cos β＝cos－cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∈/ N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
[精解详析] (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，
即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数．
(4)是特称命题，且为真命题．
命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形．
[一点通]
1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．
2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．
5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.
答案：B
6．若“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，问题等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，有解得－1＜a＜0，故实数a的取值范围是(－1,0]
答案：(－1,0]
7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；
(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；
(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．
解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．
(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．
(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.
(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；
(2)改变量词；
(3)否定结论；
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：A
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
解析：“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
答案：A
3．下列命题为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立
C．对任意x＞0，都有3x＞3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
解析：A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1＜2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)＜0?0＜3x－1＜1?＜x＜，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，x－2＝0?x＝∈/ Q，所以D是假命题，故选A.
答案：A
4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
答案：C
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，)．
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
用逻辑联结词构成新命题
如图所示，有三种电路图．
问题1：甲图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合且q闭合．
问题2：乙图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合或q闭合．
问题3：丙图中什么情况下灯不亮？
提示：开关p不闭合．
用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题
(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．
(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．
(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.
含逻辑联结词命题的真假
在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．
问题1：什么情况下，p且q为真命题？
提示：当p真，且q真时．
问题2：什么情况下，p或q为假命题？
提示：当p假，且q假时．
问题3：什么情况下，綈p为真命题？
提示：当p为假时．
含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；
2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；
3．新命题綈p与命题p的真假相反．
利用逻辑联结词构造新命题
[例1] 分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题．
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．
(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．
[思路点拨] 先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．
[精解详析] (1)p或q：6是自然数或是偶数．
p且q：6是自然数且是偶数．
綈p：6不是自然数．
(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．
p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．
綈p：菱形的对角线不相等．
(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．
p且q：3是9的约数且是18的约数．
綈p：3不是9的约数．
[一点通]
用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．
1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C.
答案：C
2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示( )
A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：B
3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，
q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；
“p且q”：π是无理数且e不是无理数．
(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．
(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．
4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.
(1)菱形的对角线互相垂直平分；
(2)2是4和6的约数；
(3)x＝1不是不等式x2－5x＋6>0的解．
解：(1)是“p且q”形式的命题．其中p：菱形的对角线互相垂直．q：菱形的对角线互相平分．
(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数．
(3)是“綈p”形式的命题，其中p：x＝1是不等式x2－5x＋6>0的解.
含逻辑联结词的命题的真假判断
[例2] 指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．
(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；
(2)p：x2＋1≥1，q：3＞4；
(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；
(4)p：1∈{1,2}，q：{1}?{1,2}．
[思路点拨] 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p，q的真假判断命题的真假．
[精解详析] (1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；
(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；
(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
[一点通]
判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)确定命题的形式；
(2)判断构成该命题的两个命题的真假；
(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．
5．若綈p或q是假命题，则( )
A．p且q是假命题 B．p或q是假命题
C．p是假命题 D．綈q是假命题
解析：由于綈p或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.
答案：A
6．设命题p：函数y＝cos的最小正周期为2π；命题q：函数y＝tan x的图像关于直线x＝对称，则( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p且q为真 D．p或q为假
解析：函数y＝cos的最小正周期T＝＝π，所以p为假命题；函数y＝tan x的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q为假命题，所以綈q为真，p且q为假，p或q为假，故选D.
答案：D
含逻辑联结词的命题真假的应用
[例3] 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
[思路点拨] “p或q”为真，“p且q”为假，则p，q中必一真一假；可分p真q假，p假q真两种情况处理．
[精解详析] 由题意知，p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，
则p为真时，∴m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则q为真时，Δ＝16(m－2)2－4×4<0，
即1①若p真q假，则
∴m≥3.
②若p假q真，则
∴1综上所述，m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
[一点通]
根据p，q的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p假”时，一般不从綈p为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p真”时参数的集合的补集．
7．若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0成立”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：该命题p的否定是綈p：“任意x∈R，x2＋(a－1)x＋1＞0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1＞0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围是(－1,3)．
答案：(－1,3)
8．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，
所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.
函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a＞1，即a＜1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
①若p真q假，则∴1≤a＜2.
②若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．
2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．
1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则( )
A．p是真命题，q是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题
D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.
答案：C
2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∈/?，下列说法正确的是( )
A．p且q为假命题 B．p或q为假命题
C．非p为真命题 D．非q为假命题
解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.
答案：D
3．命题“若a?A，则b∈B”的否定是( )
A．若a?A，则b?B B．若a?A，则b∈B
C．若a∈A，则b?B D．若b?A，则a∈B
解析：命题的否定只否定其结论，为：若a?A，则b?B.故应选A.
答案：A
4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．綈p B．綈p或q
C．綈q且p D．q
解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.
答案：C
5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
答案：p且q p或q 非p
6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．
解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.
法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．
8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．
p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，
∴a≥4或a≤－4；
q为真命题时，对称轴x＝－≤3，
∴a≥－12.
当p真q假时，得a<－12；
当p假q真时，得－4综上所述，a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
[对应学生用书P14]
一、命题
1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．
2．四种命题：
原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．
正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．
二、充分条件与必要条件
1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定．
若“p?q”，且“p?/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；
若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
若“p?/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．
2．利用集合关系判断充分必要条件：
若A?B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件；
若A＝B，则x∈A与x∈B互为充要条件；
若A?B且B?A，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件．
三、全称量词与存在量词
1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．
四、逻辑联结词
1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．
2．含逻辑联结词的命题的真假判断：
“p或q”中有真为真，其余为假；“p且q”中有假为假，其余为真．
3．命题的否定与否命题的区别：
否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
解析：对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x＝，y＝－可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；对于D，由b≤－1知Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b＞0，所以D是真命题，故选B.
答案：B
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．
答案：A
3．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sin x成立，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sin x成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2＞sin x成立
解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
答案：C
4．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
答案：C
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．
答案：B
6．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.
答案：A
7．已知条件p：＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
解析：不等式＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p?/ q，q?綈p，故选C.
答案：C
8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析：∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
答案：C
9．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋<0；命题q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sin x＋cos x＝sin，当sin＝1时，sin x＋cos x＝，
∴q真，綈q假．
答案：D
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3＞x”的否定是“存在x∈N，x3＞x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3＞x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，
当最小正周期T＝π时，有＝π，
∴|a|＝1?/ a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．“对顶角相等”的否定为__________________，否命题为_______________________．
解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
12．已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“cos A＝”的________条件．
解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sin A＝”不一定得到“cos A＝”，但“cos A＝”一定能得到“sin A＝”，故“sin A＝”是“cos A＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
13．已知命题p：任意x∈R，ax2－2x－3＜0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析：綈p：存在x∈R，ax2－2x－3≥0.当a＝0时，存在x≤－，使ax2－2x－3≥0；当a＞0时，显然存在实数x，使ax2－2x－3≥0；当a＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a≥0，即有－≤a＜0.综上所述：a≥－.
答案：
14．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p或綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．
上述结论中，正确结论的序号是________．
解析：∵p真，q真，∴p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假．
答案：①③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，则当B＝{1}时，得a＝1；
当B＝{2}时，得a＝.
综上所述：实数a组成的集合是.
16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，
綈p：平行四边形的对角线不一定相等．
由于p假q真，所以“p或q”真，“p且q”假，“綈p”真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．
由于p真q真，所以“p或q”，“p且q”为真，“綈p”为假．
17．(本小题满分12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2.方程有两个大于1的实根就是函数f(x)与x轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，
即??k<－2.
所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
18．(本小题满分14分)给定p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
则“a＝0”或“a>0且a2－4a<0”．
解得0≤a<4.
若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，
则Δ＝1－4a≥0，得a≤.
因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q有且仅有一个为真命题，
故“綈p且q”为真命题，或“p且綈q”为真命题，
则或
解得a<0或所以实数a的取值范围是∪.
