阶段质量检测(一) 常用逻辑用语
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sin x成立，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sin x成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2＞sin x成立
4．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
6．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
7．已知条件p：＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
9．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋<0；命题q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
10．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3＞x”的否定是“存在x∈N，x3＞x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．“对顶角相等”的否定为________________，否命题为___________________．
12．已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“cos A＝”的______________条件．
13．已知命题p：任意x∈R，ax2－2x－3＜0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
14．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p或綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．
上述结论中，正确结论的序号是______________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
17．(本小题满分12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．
18．(本小题满分14分)给定p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．
答 案
1．选B 对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x＝，y＝－可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；对于D，由b≤－1知Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b＞0，所以D是真命题，故选B.
2．选A 因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．
3．选C 全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
4．选C 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
5．选B 命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．
6．选A ①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.
7．选C 不等式＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p?/ q，q?綈p，故选C.
8．选C ∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
9．选D ∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sin x＋cos x＝sin，当sin＝1时，sin x＋cos x＝，
∴q真，綈q假．
10．选D ∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3＞x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，
当最小正周期T＝π时，有＝π，
∴|a|＝1?/ a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
11．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
12．解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sin A＝”不一定得到“cos A＝”，但“cos A＝”一定能得到“sin A＝”，故“sin A＝”是“cos A＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
13．解析：綈p：存在x∈R，ax2－2x－3≥0.当a＝0时，存在x≤－，使ax2－2x－3≥0；当a＞0时，显然存在实数x，使ax2－2x－3≥0；当a＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a≥0，即有－≤a＜0.综上所述：a≥－.
答案：
14．解析：∵p真，q真，∴p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假．
答案：①③④
15．解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，则当B＝{1}时，得a＝1；
当B＝{2}时，得a＝.
综上所述：实数a组成的集合是.
16．解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，
綈p：平行四边形的对角线不一定相等．
由于p假q真，所以“p或q”真，“p且q”假，“綈p”真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．
由于p真q真，所以“p或q”，“p且q”为真，“綈p”为假．
17．解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2.
方程有两个大于1的实根就是函数f(x)与x轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，
即??k<－2.
所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
18．解：若对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
则“a＝0”或“a>0且a2－4a<0”．
解得0≤a<4.
若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，
则Δ＝1－4a≥0，得a≤.
因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q有且仅有一个为真命题，
故“綈p且q”为真命题，或“p且綈q”为真命题，
则或
解得a<0或
所以实数a的取值范围是∪.
阶段质量检测(三) 变化率与导数
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(5x)′＝5xlog5e D．(x2cosx)′＝2xsin x
2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．不确定
3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( )
A．281 B．58
C．85 D．10
4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
5．曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．3 B．2
C. D.
6．曲线f(x)＝2x3－3x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为( )
A．(1，－1) B．(－1，－5)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
9．(江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
答 题 栏
题号
1
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3
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5
6
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8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．设f(x)＝＋，则f′＝________.
12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为____________________．
14．已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________________________________________________________________________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．
16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．
18．(本小题满分14分)已知直线l1为曲线f(x)＝x2＋x－2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2⊥l1.
(1)求直线l2的方程；
(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.
答 案
1．选B ∵′＝1－；(5x)′＝5xln 5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x·cos x－x2sin x，
∴B选项正确．
2．选C 一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.
3．选B t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.
∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
4．选A 由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.
5．选D 由题意，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率为k＝f′(1)＝2，又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为(，0)，(0，－)．
故所求三角形的面积＝××＝.
6．选D 设切点为(x0，y0)，则6x－3＝3.
∴x＝1，则x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝－1；x0＝－1时，y0＝1，故选D.
7．选D ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)．
∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x2－4x.
∴f′(x)＝2x－4，
∴f′(0)＝－4.
8．选A ∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
得解得a＝0，b＝－5，
∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数．
9．选C 令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，
利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，
所以x＞2.
10．选B y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，即tan α≥－，
所以α∈∪.
11．解析：f′(x)＝′＝－＋，
∴f′＝＋＝－＋2.
答案：－＋2
12．解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2.
∴点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
13．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.
答案：y＝－3x
14．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.
答案：
15．解：∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
16．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3.
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
17．解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，
∴2＝1＋a，∴a＝1，
函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，
∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，
又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.
综上，a＝1，b＝2，c＝－1.
18．解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意可知k1＝f′(1)＝3，故直线l1的方程为y＝3x－3，
由l1⊥l2，可知直线l2的斜率为－，设l2与曲线相切于点Q(x0，y0)，则k2＝f′(x0)＝－，
解得x0＝－，代入曲线方程解得y0＝－，
故直线l2的方程为y＋＝－(x＋)，化简得到3x＋9y＋22＝0.
(2)直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，，
联立解得两直线交点坐标为，
故所求三角形的面积S＝×|－－1|×|－|＝.
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
2．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是( )
A．(－，1) B．(0,1)
C．(0，) D．(－，)
3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
7．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
8．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
9．(浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
10．(新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________________________________________________________________________．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．
13．(江西高考)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
14．以下是关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，||PA―→|－|PB―→||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP―→＝(OA―→＋OB―→)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线过双曲线－＝1的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
17．(陕西高考)(本小题满分12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
18．(本小题满分14分)已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)写出抛物线C1的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
答 案
1．选B 抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．
2．选B 由题意得3m＞0,2m＋1＞0且2m＋1＞3m，解得0＜m＜1.
3．选B 设点P(x，y)，由·＝0，得点P满足在以F1F2为直径的圆上，即x2＋y2＝10.又＋＝2＝(－2x，－2y)，
∴|＋|＝2.
4．选D 直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．由题意知c＝2，b＝1，
∴a＝，∴e＝＝.
5．选A 因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
6．选A 圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切，
∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，
∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
7.选A 如图，分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线l，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|，
∵|BC |＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝2|AA|＝6，
∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，
∴|BF|＝1，|AB|＝4.
8．选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝.
由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，
得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2.
9．选B 设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
10．选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝.
11．解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．解析：由双曲线的定义|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，∴△ABF2的周长为4a＋2|AB|＝26.
答案：26
13．解：由于x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－，
由解得准线与双曲线－＝1的交点为A，B，|AB|＝2 ，由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
14．解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．
答案：③④
15．解：(1)把M代入方程y2＝2px，得p＝2，因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1,0)，双曲线的右焦点为F(1,0)，
于是2a＝||MF1|－|MF||＝|－|＝，因此a＝.
又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝，
于是，双曲线的方程为－＝1.
16．解：如图，由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.
∴＝，
＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，
|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.
∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18．解：(1)椭圆C2：＋＝1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，又抛物线C1的顶点在坐标原点，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时|AB|＝8，△ABO的面积S＝×8×4＝16.
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，
联立
消去x，得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝，y1·y2＝－16，
∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM||y1－y2|＝2 ＞16，综上所述，△ABO面积的最小值为16.
阶段质量检测(五) 模块综合检测
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“M＞N”是“log2M＞log2N”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的( )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
3．与直线4x－y＋5＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是( )
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
4．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．下列命题的否定为假命题的是( )
A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1＜0成立
B．对任意x∈R，都有|x| ＞x成立
C．对任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立
D．存在x∈R，使sin 2x＋sin x＋1＝0成立
6．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|有( )
A．最大值16 B．最小值16
C．最大值4 D．最小值4
9.已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是( )
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知命题p：对任意x∈[0,1]，都有a≥ex 成立，命题q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________________________．
12．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________________．
13．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则曲线f(x)＝xln x在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________________．
14．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF|＝.则椭圆C1的方程为________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知命题p：函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求a的取值范围．
16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x2＋4(2e－1)x＋4e2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)当a＝1时，求函数f′(x)的最小值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
18．(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
答 案
1．选B 由log2M＞log2N，可得M＞N＞0；2＞－1，－1的对数没有意义，则log2M＞log2N不成立．
2．选A 设p为“若A，则B”，则r为“若非A，则非B”，s为“若非B，则非A”，即s为p的逆否命题．
3．选C 由k＝y′＝4x＝4，得x＝1，则切点为(1,2)，所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
4．选B 由抛物线y2＝16x的焦点为(4,0)，可得c＝4.由双曲线离心率为，可得a＝3，则b＝，即双曲线方程为－＝1.
5．选A 对于A选项命题的否定为“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，显然，这是一个假命题．
6．选C 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.
7．选A f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
8．选A 由椭圆的定义知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤2＝2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16.
9．选C x>0时，f′(x)在(0,1)上有f′(x)<0，
在(1，＋∞)上有f′(x)>0；
且x＝1处f(x)取极小值．
x<0时，f′(x)在(－1,0)上有f′(x)<0，
在(－∞，－1)上有f′(x)>0且x＝－1处f(x)取极大值，
即函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C符合题意．
10.选B a>0时，F，直线l方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴S△OAF＝··|－|＝4.解得a＝8.
同理a<0时，得a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝±8x.
11．解析：因为对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题“p且q”是真命题，所以p、q同为真，所以e≤a≤4.
答案：[e,4]
12．解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
当x<－1或x>11时，f′(x)>0，f(x)增加；
当－1答案：(－1,11)
13．解析：∵f′(x)＝ln x＋1，f′(x0)＝2，
∴ln x0＋1＝2，x0＝e，f(x0)＝e.
则切线方程为y－e＝2(x－e)，
即2x－y－e＝0.
答案：2x－y－e＝0
14．解析：抛物线C2的焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，设点P的坐标为(x0，y0)，依据抛物线的定义，由|PF|＝，得1＋x0＝，解得x0＝.因为点P在抛物线C2上，且在第一象限，所以y0＝.所以点P的坐标为.因为点P在椭圆C1：＋＝1上，所以＋＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C1的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
15．解：考虑命题p为真命题时a的取值范围，因为f′(x)＝3x2＋a，令f′(x)＝0，得到x2＝－，
当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)在区间(－2,1)上是增加的，不合题意 ；
当a＜0时，由x2＝－，得到x＝± ，要使函数f(x)＝x3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，则 ＜1或－ ＞－2，即a＞－12，
综上可知－12＜a＜0，
故命题p的否定是一个真命题时，a的取值范围是a≤－12或a≥0.
16.解：由题意得Δ＝16(2e－1)2－4×2×(4e2－1)＝0，
即4e2－8e＋3＝0，解得e＝或e＝.
当e＝时，曲线为椭圆，c＝5，e＝＝，
则a＝2c＝10，b2＝a2－c2＝100－25＝75，
所以椭圆的方程为＋＝1.
当e＝时，曲线为双曲线，c＝5，e＝＝，
则a＝c＝，b2＝c2－a2＝25－＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
17．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(1)当a＝1时，f′(x)＝2x＋ ≥2＝4，当且仅当2x＝，
即x＝1时等号成立，故函数f′(x)的最小值为4.
(2)f′(x)＝2x＋＝2(x＋)．
①当a≥0时，f′(x)＞0，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；
②当a＜0时，f′(x)＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
因此函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．且当x＝时，函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln .
18．解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－，
x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.
阶段质量检测(四) 导数应用
[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]
题 号
一
二
三
总 分
15
16
17
18
得 分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
2．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )
A. B.
C. D.和
3．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，则x＜0时( )
A．f′(x)＞0 B．f′(x)＜0
C．f′(x)＝0 D．无法确定
4．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)在R上为增加的充要条件是( )
A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0
5．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有( )
A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增加的
B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减少的
C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增加的
D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减少的
6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( )
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是( )
10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
答 题 栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________________________________________________________________________．
12．若函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a≠0)在区间[1,2]上是增加的，则实数a的最小值为________．
13．某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足：P＝，则产量定为________件时，总利润最大．
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a＞0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________________________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
16．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
17．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
18．已知函数f(x)＝x2－aln x，a∈R.
(1)若a＝2，求这个函数的图像在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．
答 案
1．选A ∵f(x)＝2x－cos x，
∴f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立．
故f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上是增加的，
既没有最大值也没有最小值．
2．选C f′(x)＝4x－＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>.
∴f(x)的单调递增区间为.
3．选B 因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又x＞0时，f′(x)＞0，故f(x)在x＞0时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x＜0时，f(x)为减少的．
4．选D 要使f(x)在R上为增加的，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立(但f′(x)不恒等于零)，故只需Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.
5．选C 设y＝xf(x)，则y′＝xf′(x)＋f(x)＞0，故y＝xf(x)在(0，＋∞)上为增加的．
6．选A y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，
又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，
∴最大值、最小值分别是5，－15.
7．选D ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
又f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.得a＝5.
8．选D 设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4(0令S′＝x－2＝0，
则x＝2，且x<2时，S′<0,20.
所以x＝2时，S取最小值2.
9．选D ∵[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f′(x)＋f(x)]ex，又x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，
∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而选项D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中图像不可能为y＝f(x)的图像．
10．选D 设毛利润为L(p)，
由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，
右侧L′(p)<0，
所以L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
11．解析：令f′(x)＝3x2＋2ax＋＝0，此方程应有两个不相等的实数根，所以Δ>0.
即4a2－12>0，
∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a<1.
答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)
12．解析：易知x＞0，且f′(x)＝ax＋2－＝，∵函数f(x)在区间[1,2]上是增加的，
∴f′(x)≥0对x∈[1,2]恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈[1,2]恒成立，即a≥＝－＝2－1恒成立，故a≥max，而当x＝2时，2－1取到最大值－，
∴实数a的取值范围为a≥－，即实数a的最小值为－.
答案：－
13．解析：总利润L(x)＝x·－1 200－＝－＋500－1 200(x ＞0)．由L′(x)＝－x2＋＝0得x＝25；令L′(x)＞0得0＜x＜25；令L′(x)＜0得x＞25.故L(x)在(0,25)上是增加的，在(25，＋∞)上是减少的，所以当产量定为25件时，总利润最大．
答案：25
14．解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x，
令g(x)＝2x2－2x2ln x，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0，得x＝e，0(舍去)，
且0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，
∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
15．解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
16．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知
解得a＝，b＝，c＝.
(2)f(x)＝x3＋x2－2x＋，
f′(x)＝x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)．
列表如下：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
6
?
?
由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)取最大值，x＝1时，f(x)取最小值.
17．解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1.f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－ ∞， －1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增加的；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)上是减少的；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增加的．
(2)要使x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，只需x∈[2，＋∞)时，f(x)min≥0即可．
由于f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)＝3[(x＋a)2＋1－a2]，
①当a2≤1时，f′(x)≥0且不恒为零，所以f(x)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)；
②当a2＞1时，由f′(x)＝0可得x＝－a±，记x1＝－a－，x2＝－a＋.结合二次函数的性质易知，当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的．而由x1＜x2＜0知x2＜2，即f(x)在[2，＋∞)上是增加的，故此时也有f(x)min＝f(2)．
综上可知，f(x)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝3(4a＋5)，由f(2)≥0，得a≥－，故a的取值范围为.
18．解：(1)a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，f(1)＝，f′(x)＝x－，f′(1)＝－1，
所以切线方程为y－＝－(x－1)，即2x＋2y－3＝0.
(2)依题意，x＞0，f′(x)＝x－＝(x2－a)，
①当a≤1时，因为x∈[1，e]，1≤x2≤e2，，所以f′(x)≥0(当且仅当x＝a＝1时等号成立)，所以f(x)在区间[1，e]上是增加的，最小值为f(1)＝.
②当a≥e2时，因为1≤x2≤e2，所以f′(x)≤0(当且仅当x＝e，a＝e2时等号成立)，所以f(x)在区间[1，e]上是减少的，最小值为f(e)＝e2－a.
③当1＜a＜e2时，解f′(x)＝(x2－a)＝0得x＝±(负值舍去)，f′(x)的符号和f(x)的单调性如下表：
x
[1，)
(，e]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
最小值
?
故f(x)在区间[1，e]上的最小值为f()＝a－a ln a.
综上所述，a≤1时，f(x)的最小值为f(1)＝；1＜a＜e2时，f(x)的最小值为f()＝a－aln a；a≥e2时，f(x)的最小值为f(e)＝e2－a.
