课时跟踪训练(一) 命 题
1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是( )
A．若x＞1，则x≤－1 B．若x≤1，则x＞－1
C．若x≤1，则x≤－1 D．若x＜1，则x＜－1
2．给出下列三个命题：( )
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是__________________________，q是_________________________．
6．命题“若x2<4，则－2
7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
答 案
1．选C 原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
4．选B 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
6．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4 真
7．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
1．选C 原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
4．选B 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
6．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4 真
7．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
课时跟踪训练(七) 抛物线及其标准方程
1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，－2)
C．(－，0) D．(－，0)
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．4 B．2
C．6 D．8
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C．8 D．－8
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
5．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________________．
6．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________________．
7．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求焦点在直线2x－y＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)已知抛物线方程为2x2＋5y＝0，求其焦点和准线方程．
(3)已知抛物线方程为y＝mx2(m≠0)，求其焦点坐标及准线方程．
8.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
答 案
1．选B 抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
2．选A ∵a2＝6，b2＝2，
∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.
椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.
3．选B 由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.
4．选A 设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
5．解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
答案：
6．解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.
答案：4
7．解：(1)直线2x－y＋5＝0与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y2＝－10x，x2＝20y.
其对应准线方程分别是x＝，y＝－5.
(2)抛物线方程即为x2＝－y，焦点为，准线方程：y＝.
(3)抛物线方程即为x2＝y(m≠0)，焦点为，准线方程y＝－.
8．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是，4＋＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
课时跟踪训练(三) 全称量词与存在量词
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
3．下列命题为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立
C．对任意x＞0，都有3x＞3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_________________________．
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
8．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
答 案
1．选A 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
2．选A “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
3．选A A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1＜2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)＜0?0＜3x－1＜1?＜x＜，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，x－2＝0?x＝∈/ Q，所以D是假命题，故选A.
4．选C ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
5．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，)．
课时跟踪训练(九) 双曲线及其标准方程
1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21 B．14或36
C．2 D．21
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
3．k<2是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设P为双曲线x2－＝1上的 一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．12 D．24
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为____________．
6．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则C的方程为
________________________________________________________________________．
7．已知双曲线C1：x2－＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程．
8．若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．
答 案
1．选D 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.
2．选A ∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由
解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
3．选A ∵k<2?方程＋＝1表示双曲线，
而方程＋＝1表示双曲线?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4?/ k<2.
4．选B 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2.由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.
∴三角形PF1F2为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
5．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
6．解析：点P(2,1)在直线y＝x上，则1＝，a＝2b ①.
双曲线的焦距为10，则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．解：双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
8．解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为－＝1.
课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件
1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
3．已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“＋＝2”，则命题p是命题q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________________________．
6．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件
②必要不充分条件
③充要条件
④既不充分也不必要条件
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上为增函数”的________．
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．
答 案
1．选A 当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
2．选A 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
3．选A 若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选A.
4．选A 当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
5．解析：直线l与圆C有公共点?≤?|m－1|≤2?－1≤m≤3.
答案：m∈[－1,3]
6．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)③ (2)①
7．解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.
∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
8．解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，不符合要求；
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为
解得0所以ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0课时跟踪训练(五) 椭圆及其标准方程
1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±3,0) B．(±，0)
C．(±，0) D．(0，±)
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．4 D．1
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.
7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
8．点P为椭圆＋y2＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
答 案
1．选D 椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－ b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为，故选D.
2．选A 由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
3．选C ∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，
又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.
又c＝1，∴b2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
4．选A 由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.
∴a＝.∴b＝＝.
5．解析：椭圆方程可化为：x2＋＝1，
则a2＝－，b2＝1，又c＝2，
∴－－1＝4，∴k＝－1.
答案：－1
6．解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.
答案：
7．解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.
则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|
＝＋
＝(2－)＋(2＋)
＝4，
∴a＝2，即a2＝12.
∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
所求椭圆方程为＋＝1.
8．解：由题意知，a＝2，b＝1，c＝，|PF1|＋|PF2|＝4.①
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16.③
由②③得：|PF1||PF2|＝.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60°＝××＝.
课时跟踪训练(八) 抛物线的简单性质
1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．2或－2
2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
3．(新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8
C．8 D．16
5．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是____________________．
6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．
7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．
8．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
答 案
1．选C 由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p＞0)，
则＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.
2．选C 根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
3．选C 如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.
4．选B 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
5．解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.
∴|y|＝ ＝＝|a|.
由于通径长为6，即2|a|＝6，
∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
6．解析：由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.
答案：②⑤
7．解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x＝－.
∵M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即
∴ ＝ ＝3.
解得：p＝1，y0＝±2，
∴抛物线方程为y2＝2x.
∴点M(2，±2)，根据两点间距离公式有：
|OM|＝＝2.
8．解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．故实数m的值为－8.
课时跟踪训练(六) 椭圆的简单性质
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( )
A．3 B．3或
C. D.或
2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
4．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．
6．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
答 案
1．选B 若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，
∴b＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.
若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，
∴m＝.
2．选D 由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选D.
3．选C 由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.
∴3a＝4c.∴e＝.
4．选B 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.
5．解析：由题意2b>2c，即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.
∴<，∴0答案：
6．解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝9，
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8．解：如图，∵·＝0，
∴AF2⊥F1F2，
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴b2＝a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(x，y)代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝.∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2＝c·＝2，
而＝，∴b2＝8，a2＝2b2＝16，
故椭圆的标准方程为：＋＝1.
课时跟踪训练(十一) 变化的快慢与变化率
1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )
A．Δx＋ B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 B．1
C. D.
4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )
A．①②③④ B．②①③④
C．②①④③ D．②④①③
5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．
6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．
7．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.
(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；
(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．
8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
答 案
1．选C Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝Δx＋2.
2．选A ＝＝
＝＝6＋Δt.
3．选C 因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.
4．选C 以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.
5．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，
Δx＝e2－e，
∴＝.
答案：
6．解析：＝＝
＝－，当Δt趋于0时，＝－.
答案：－
7．解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：
＝＝－14.
故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；
(2)∵＝
＝
＝
＝－5·Δt－4，
∴当Δt趋于0时，趋于－4，
即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.
8．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物休的初速度v0即求物体在t＝0的瞬时速度．
.∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴当Δt趋于0时，趋于－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
∴当Δt趋于0时，趋于－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
课时跟踪训练(十七) 实际问题中导数的意义
1．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( )
A．6 B．9
C．9π D．6π
2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为( )
A．－9 B．－8
C．9 D．8
3．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1 s内的位移
B．汽车刹车后1 s内的平均速度
C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1 s时的位移
4．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )
A．27 C/s B．20 C/s
C．25 C/s D．23 C/s
5．某物体的位移是时间的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________．
6．某商品价格P(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式P(t)＝(1＋10%)t，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________．
7．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(时间：s)间的关系式为h(t)＝－4t2＋7t＋16.
(1)求t从2 s到3 s时，高度关于时间t的平均变化率；
(2)求h′(2)，h′(3)，并解释它们的实际意义．
8．蜥蜴的体温随周围环境的温度而变化，T(t)＝＋15表示蜥蜴的体温T(t)(单位：℃)为太阳落山后的时间t(单位：min)的函数．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并解释它的实际意义．
答 案
1．选D 面积S在r＝3时的变化率即为S′(3)＝2π×3＝6π.
2．选B f′(t)＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8，
即为t＝1时的加速度．
3．选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
4．选D 某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．
∵q′＝4t＋3，
∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．
5．解析：s′＝6t2－a，由题意得6×12－a＝8，∴a＝－2.
答案：－2
6．解析：P′(t)＝1.1tln 1.1，∴P′(8)＝1.18ln 1.1(元/年)．
答案：1.18ln 1.1
7．解：(1)∵h(2)＝14，h(3)＝1，
∴t从2 s到3 s时，h关于t的平均变化率为
＝＝－13(m/s)．
(2)∵h′(t)＝－8t＋7，
∴h′(2)＝－9 m/s，h′(3)＝－17 m/s.
h′(2)和h′(3)分别表示t＝2 s和t＝3 s时，运动员每秒向下运动的高度为9 m和17 m.
8．解：(1)∵T(10)－T(0)＝＋15－
＝－16(℃)，
∴从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴体温的平均变化率是：＝＝－1.6(℃/min)，
它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6℃.
(3)∵T′(t)＝′＝，
∴T′(5)＝－＝－1.2(℃/min)，
它表示t＝5 min时蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.
课时跟踪训练(十三) 计算导数
1．若f(x)＝log3x，则f′(3)等于( )
A. B．ln 3
C. D.
2．曲线f(x)＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.
3．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若f(x)＝sin α，则f′(x)＝cos α；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知f(x)＝logax(a＞1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则( )
A．A＞B＞C B．A＞C＞B
C．B＞A＞C D．C＞B＞A
5．设直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为________．
6．f(x)＝cot x，则f′＝________.
7．求下列函数的导数．
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝logx；
(5)y＝2cos2－1.
8．若曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
答 案
1．选C f′(x)＝，∴f′(3)＝.
2．选A ∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，
∴f′(0)＝1.
即曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
3．选B 对于②y＝，y′＝x＝x＝，故②错；对于③f(x)＝sin α，为常数函数，∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．
4．选A 记M(2，f(2))，N(3，f(3))，则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝loga x在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝loga x在点N处的切线的斜率．由f(x)的图像易得A＞B＞C.
5．解析：f′(x)＝(ln x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝，则x0＝2，y0＝ln 2，代入切线方程y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
6．解析：f′(x)＝－，∴f′＝－＝－2.
答案：－2
7．解：(1)∵c′＝0，∴y′＝2′＝0.
(2)∵(xn)′＝n·xn－1，
∴y′＝()′＝(x)′＝x＝x＝ .
(3)∵(ax)′＝ax·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln 10.
(4)∵(logax)′＝，
∴y′＝(logx)′＝＝－.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
8．解：对函数f(x)＝x－求导得f′(x)＝－x (x＞0)，则曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线l的斜率k＝f′(a)＝－a，由点斜式得切线的方程为y－a＝－a (x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a＝a＝18，解得a＝64.
课时跟踪训练(十二) 导数的概念及其几何意义
1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则 等于( )
A．2 B．1
C. D.
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于( )
A．1 B．2
C．4 D．6
3.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
4．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
5．若函数y＝f(x)在点(4,3)处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则f′(4)＝________.
6．一运动物体的运动方程为s(t)＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体的初速度是__________m/s.
7．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．
8．求曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程．
答 案
1．选B ＝f′(1)＝1.
2．选C 可得f′(1)＝
＝ ＝ ＝a，
又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，故a＋b＝2，即b＝0，
所以f(x)＝2x，有f(2)＝4.
3．选B f′(xA)与f′(xB)分别为A，B处切线的斜率，设A，B处切线的倾斜角分别为α，β，则<α<β<π.
∴tan α4．选C ＝＝，
∴当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.
∴直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.
5．解析：因为直线x＋2y－1＝0的斜率k＝－，所以f′(4)＝－.
答案：－
6．解析：物体的初速度即为t＝0时的瞬时速度，
∴s′(0)＝ ＝ (3－Δt)＝3.
答案：3
7．解：当x＝1时，＝＝
＝.
由导数的定义，得f′(1)＝ ＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝ (Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
8．解：设点(1,1)处的切线斜率为k，则
k＝f′(1)＝
＝
＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，
∴点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性
1．在下列命题中，正确的是( )
A．若f(x)在(a，b)内是增加的，则对任意x∈(a，b)都有f′(x)＞0
B．若在(a，b)内对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内是增加的
C．若在(a，b)内f(x)为单调函数，则f′(x)也为单调函数
D．若可导函数在(a，b)内有f′(x)＜0，则在(a，b)内有f(x)＜0
2．y＝8x2－ln x在和上分别是( )
A．增加的，增加的 B．增加的，减少的
C．减少的，增加的 D．减少的，减少的
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
4.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如右图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是( )
5．函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是____________．
6．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
7．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．
8．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，求f(x)的单调区间．
答 案
1．选B 由函数的单调性与导数间的关系可知选项B正确．
2．选C y′＝16x－＝，当x∈时，y′<0，函数在上是减少的，当x∈时，y′>0，函数在上是增加的．
3．选A ∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增加的，
∴f(2)＜f(e)＜f(3)．
4．选C 由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．
5．解析：∵f(x)＝(3－x2)ex，
∴f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex.
令f′(x)＞0，则－x2－2x＋3＞0，解得－3 ＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递增区间是(－3,1)．
答案：(－3,1)
6．解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
答案：－75
7．解：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，
∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增加的，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3(x－)2－，x∈(－1,1)显然g(x)而当t＝5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是[5，＋∞)．
8．解：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a＜0时，对任意x∈R，都有f′(x)＞0，
即a＜0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a ＞0时，f′(x)＞0时，解得x＞或x＜－，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f′(x)＜0时，解得－＜x＜，所以f(x)的单调递减区间为(－，)．
即a＞0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－，)．
课时跟踪训练(十八) 最大值、最小值问题
1．函数f(x)＝在x∈[2,4]上的最小值为( )
A．0 B.
C. D.
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
3．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )
A. B.
C.d D.d
5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
6.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，则它的底面半径等于______时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．
7．函数f(x)＝x3＋f′x2－x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(cos x)的最小值和最大值．
8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
答 案
1．选C ∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)的最小值为.
2．选B 由题意f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍去)
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
所以f(x)的最大值为a＋2＝3，故a＝1.
3．选D ∵f(x)＝ax－ln x，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，
∴a>在(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，
∴x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝<0，
即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)∴a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)
4．选C 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±d(舍去负值)．当0＜x＜d时，f′(x)＞0，f(x)是增加的；当d＜x＜d时，f′(x)＜0，f(x)是减少的．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d.所以x＝d时，f(x)有最大值．
5．解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
答案：32
6．解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则表面积S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝，则S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝－＋4πr，令S′＝0得r＝，因为S只有一个极值，所以当r＝时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．
答案：
7．解：(1)f′(x)＝3x2＋2f′x－1，
则f′＝3×2＋2f′×－1，得f′＝－1，
故f(x)＝x3－x2－x.
令f′(x)＝3x2－2x－1＞0，解得x＜－或x＞1.
故f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；同理可得f(x)的单调递减区间为.
(2)设cos x＝t∈[－1,1]，由(1)知f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的，故f(cos x)max＝f＝；又f(－1)＝f(1)＝－1，故f(cos x)min＝－1.
8．解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减少的；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增加的．
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
课时跟踪训练(十六) 函数的极值
1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
2．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
3．函数f(x)＝1＋3x－x3( )
A．有极小值，无极大值 B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值 D．有极小值，有极大值
4．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
5．函数y＝x3＋x2－x＋1在x＝________处取极大值．
6．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．
7．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
8．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
答 案
1．选B 极大值点在导函数f′(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图像可知这样的极值点共有3个．
2．选B f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，
得x＝－.
当x<－时f′(x)<0，当x>－时，f′(x)>0，
∴当x＝－时，函数f(x)取极小值．
3．选D ∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.
当x∈(－1,1)时f′(x)＞0，
∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；
同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.
4．选B 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，
即
解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.
5．解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．
当－1或x<－1时，y′>0.
∴函数在x＝－1处取极大值．
答案：－1
6．解析：f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，
故f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
答案：0
7．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.
因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，
所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，
于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
8．解：(1)f(x)＝aln x＋＋x＋1，
f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，f′(x)＝－－＋＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减少的；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增加的．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
课时跟踪训练(十) 双曲线的简单性质
1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
6．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
答 案
1．选C 由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2．选A 双曲线标准方程为：y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－.
由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
3．选B 由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.
4．选B 由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.
由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，
所以e＝＝.
5．解析：由题意知k<0，且a＝2，c＝，
∴1<<2，解得－12答案：(－12,0)
6．解析：设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，所以|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝－|PF′|＋|MF|－|FN|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
答案：－1
7．解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①
又过点P(3，－)有：－＝1，②
由①②得：a2＝b2＝4，
双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有：a2＝b2，③
－＝1，④
由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．
综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，
半焦距c1＝＝，
所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设条件及双曲线的性质，有
解得
即双曲线方程为－y2＝1.
8．解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
课时跟踪训练(十四) 导数的四则运算法则
1．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
3．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)等于( )
A. B．e
C．－ D．－e
5．函数y＝在x＝处的导数为________．
6．若点P是曲线f(x)＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．
7．求下列函数的导数．
(1)y＝＋；
(2)y＝；
(3)y＝1－sin2.
8．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
答 案
1．选A y′＝′＝
＝＝.
2．选A ∵y′＝＝，
∴k＝f′(－1)＝＝2.
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
3．选B 设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0＞0，所以a＝2－＜2.
4．选C 由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，
则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－.
5．解析：y′＝′＝′＝，
∴x＝时，y′＝＝2.
答案：2
6．解析：过点P作y＝x－2的平行直线l，且与曲线f(x)＝x2－ln x相切．设P(x0，x－ln x0)，则直线l的斜率k＝f′(x0)＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，
∴点P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
7．解：(1)∵y＝＋＝
＝－2,
∴y′＝′＝＝.
(2)y′＝′＝′＋′
＝＋
＝
＝.
(3)∵y＝1－sin2
＝＝(3＋cos x)＝＋cos x，
∴y′＝′＝－sin x.
8．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋，
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切线方程是y＝－2.
(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋.
即f′(x)＝＝，
当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0，可得f′(x)≥0.
课时跟踪训练(四) 逻辑联结词“且”“或”“非”
1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则( )
A．p是真命题，q是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题
D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题
2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∈/?，下列说法正确的是( )
A．p且q为假命题 B．p或q为假命题
C．非p为真命题 D．非q为假命题
3．命题“若a?A，则b∈B”的否定是( )
A．若a?A，则b?B B．若a?A，则b∈B
C．若a∈A，则b?B D．若b?A，则a∈B
4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．綈p B．綈p或q
C．綈q且p D．q
5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．
7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
答 案
1．选C 由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.
2．选D 由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.
3．选A 命题的否定只否定其结论，为：若a?A，则b?B.故应选A.
4．选C 很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.
5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
答案：p且q p或q 非p
6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.
法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．
8．解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．
p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，
∴a≥4或a≤－4；
q为真命题时，对称轴x＝－≤3，
∴a≥－12.
当p真q假时，得a<－12；
当p假q真时，得－4综上所述，a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
