3.1
(1)怎样用数学模型刻画不等关系？
(2)你能举例说明生活中的不等关系吗？
(3)怎样比较两个数或式子的大小？
1．不等号：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连结两个数或代数式，以表示不等关系．“＝”表示相等关系，如a＝b表示a与b相等；“a≠b”则应包含“a>b”或“a
2．关于a≤b或a≥b的含义：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指 “或者a3．比较两个实数的大小：通常用作差法或作商法．
[点睛] (1)表示不等关系时，要抓住题意中的关键词，明确基本数量关系，类比列方程的方法，准确表示不等式．
(2)在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．
1．某小区的绿化面积B不小于该小区占地面积A的16%，写成不等式为________．
解析：“不小于”就是“≥”．故B≥16%·A.
答案：B≥16%·A
2．已知x>1，则x3________x2－x＋1(填“>”或“<”)．
解析：x3－(x2－x＋1)＝(x3－x2)＋(x－1)＝(x－1)·(x2＋1)>0，∴x3>x2－x＋1.
答案：>
3．某企业生产A，B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在两个车间都需经过1.6 h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h．若设该企业分别生产A产品x件，B产品y件，则用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示为_____________________________．
解析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，
则
答案：
4．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有M，N的大小关系为________．
解析：M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2>0，所以M>N.
答案：M>N
不等关系与不等式
[典例] 《铁路旅行常识》规定：
“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票、每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”
设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
文字表述
身高在1.2～1．5米之间
身高超过1.5米
身高不足1.2米
符号表示
[解] 身高在1.2～1.5米之间可表示为
1．2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2.
用不等式表示不等关系的注意事项
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质、可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
(2)在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．
[活学活用]
1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为__________．
答案：10b＋a>50
2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为________．
答案：T≤40
3．大圆O1的半径为R，小圆O2的半径为r，两圆的圆心距O1O2为d，若两圆相交，则d需要满足的条件是________．
答案：R－r用不等式组表示不等关系
[典例] 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．该车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可．
即
用不等式(组)表示不等关系的3个步骤
(1)分析题中有哪些未知量．
(2)选择其中起关键作用的未知量设为x或x，y，再用x或x，y来表示其他未知量．
(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．
[活学活用]
某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则即
比较大小
题点一：作差法比较
1．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解析：由a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
∵a1≤a2，b1≥b2，
∴(a1－a2)(b1－b2)≤0，
即a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1
题点二：作商法比较
2．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
解析：＝＝16＝1616＝16，∵∈(0,1)，∴16<1，
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a答案：a(1)作差法一般步骤是①作差；②变形；③判号；④定论．其中变形是关键，常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式．当两个式子都含有开方运算时，可以先乘方再作差．
(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作商比较大小时，要注意式子的符号以避免得出错误结论．
层级一 学业水平达标
1．实数m不超过，是指________．
解析：“不超过”就是“小于等于”．
答案：m≤
2．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)
答案：5x－2(19－x)≥80，x∈N*
3．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________．
答案：8(x＋19)>2 200 >9
4．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是________．
解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
答案：A≥B
5．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本．若铅笔买x支，练习本买y本，则满足的不等式组为____________．
答案：
6．已知－2解析：∵－3又∵－2答案：(0,2)
7．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是________________．
解析：专业成绩x不低于95分可表示为x≥95；
文化课总分y高于380分可表示为y>380；
体育成绩z超过45分可表示为z>45.
故不等式组为
答案：
8．已知a，b，c∈R，给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若ab≠0，则＋≥2；
③若a>b>0，n∈N*，则an>bn；
④若logab<0(a>0，a≠1)，则a，b中有且只有一个大于1.
其中正确的个数为________(填序号)．
解析：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，所以①错误；当a与b异号时，<0，<0，所以②错误；③正确；若logab<0(a>0，a≠1)，则有可能a>1,01，0答案：2
9．私人办学是教育发展的方向，某企业准备投资不超过1 200万元兴办一所完全中学，每个初中班的硬件建设需要28万元，每个高中班的硬件建设需要58万元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，初中至少12个班，高中至少8个班，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设招收x个初中班，y个高中班，
则
10．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大．使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从这个事实中提炼出一个不等式组．
解：第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是钉长的；第二次受击后，该次钉入木板部分的长度为，此时进入木板的部分的铁钉的总长度为＋，有＋<1; 第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为，此时进入木板部分的铁钉的总长度为＋＋，有＋＋≥1，所以，从这个事实中提炼出一个不等式组是
层级二 应试能力达标
1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是________．
答案：v≤40 km/h
2．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.
解析：由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a＜b，a＞b，a≥b.
答案：a＜b a＞b a≥b
3．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是________．
解析：由题设得0<2α<π，0≤≤，
∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.
答案：
4．人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船，它们的飞行速度(记作v km/s)不小于第一宇宙速度(记作v1 km/s)，且小于第二宇宙速度(记作v2 km/s)，那么v，v1，v2之间的关系可以用数学符号表示为________________．
答案：v1≤v5．设a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是________．
解析：∵P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，a>0，
∴a3－1>0，a2－1>0，∴a>1.
又∵(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，
∴a3－1>a2－1，
∴loga(a3－1)>loga(a2－1)，即P>Q.
答案：P>Q
6．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝(n∈N*，n>2)，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是________．
解析：∵f(n)＝－n＝<＝φ(n)，
g(n)＝n－＝>＝φ(n)，
∴f(n)<φ(n)答案：f(n)<φ(n)7．比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；
(2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.
解：(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
(2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b.
①当a>b，即a－b>0，>1时，a－b>1，
∴aabb>abba.
②当a1，
∴aabb>abba.
综上，当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.
8．下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.
比赛项目
票价(元/场)
足球
100
篮球
80
乒乓球
60
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．
解：设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得
解得5≤n≤5，
由n∈N*知，n＝5，∴15－2n＝5，
故可预订足球比赛门票5张．
3.2
第一课时 一元二次不等式的解法
(1)什么样的不等式是一元二次不等式？
(2)如何求解一元二次不等式？
(3)怎样理解三个二次之间的关系？
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集
?
?
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________．
解析：变形为(3x＋1)2≤0，∴x＝－.
答案：
2．不等式2x＋35－x2>0的解集是________．
解析：原不等式等价于x2－2x－35<0，即(x＋5)(x－7)<0，即－5答案：{x|－53．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
解析：由x2－2x－5>2x得x2－4x－5>0，
因为方程x2－4x－5＝0的两根为－1,5.
故不等式x2－4x－5>0的解为x<－1或x>5.
答案：{x|x<－1或x>5}
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是________．
解析：根据定义，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2答案：(－2,1)
一元二次不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)x2－x－6>0；
(2)25x2－10x＋1>0；
(3)－2x2＋x＋1<0.
[解] (1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}．
(2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝.结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知25x2－10x＋1>0的解集为.
(3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为和(1,0)，如图，观察图象知不等式的解集为.
法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．
观察图象，可得原不等式的解集为.
一元二次不等式的2种方法
(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x
[活学活用]
1．不等式x2＋x－12<0的解集是________．
解析：由x2＋x－12＝0，解得x1＝3，x2＝－4.
∴不等式x2＋x－12<0的解集是{x|－4答案：{x|－42．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0;
(2)x(4－x)≤x(x＋3)－3.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
∴(2x＋1)(x－2)<0.
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－3≥0，
∴(2x－3)(x＋1)≥0，
故原不等式的解集是.
简单分式不等式的解法
[典例] 解不等式：>1.
[解] 法一：原不等式化为－1>0，
即>0，所以x－4与x＋3同号．
故有或
解得x>4或x<－3，
所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>4}．
法二：原不等式化为>0，
等价于(x－4)(x＋3)>0，
∴原不等式解集为{x|x<－3或x>4}．
简单的分式不等式在求解时多化为>0，<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等式是否含有等号，如≥0?或但不等价于f(x)g(x)≥0.
[活学活用]
不等式≥2的解集为____________．
解析：≥2化为－2≥0，
即≥0，即≤0.
它等价于?－1≤x<0.
∴原不等式解集为{x|－1≤x<0}．
答案：{x|－1≤x<0}
三个“二次”关系的应用
[典例] 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q＜0的解集为
，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x ＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
[活学活用]
1．已知x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝____________.
解析：<0等价于(ax－1)(x＋1)<0.
即ax2＋(a－1)x－1<0.
∴－1，－是方程ax2＋(a－1)x－1＝0的根．
∴解得a＝－2.
答案：－2
2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知即
代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．即6x2＋5x＋1<0，解得－所以所求不等式的解集为.
层级一 学业水平达标
1．不等式x2>x的解集是________．
解析：由x2>x，得x(x－1)>0，所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
2．不等式(x＋2)≤0的解集为________．
解析：或x2－9＝0，即或x＝±3，即x≤－3或x＝3.
答案：(－∞，－3]∪{3}
3．不等式组的解集为____________．
解析：∵x2－1<0的解集为{x|－1x2－3x<0的解集为{x|0∴的解集为{x|0答案：{x|04．关于x的不等式(ax－2)(x＋1－a)<0的解集为A，若2∈A，则a的取值范围为________．
解析：因为2∈A，所以(2a－2)(2＋1－a)<0，得a∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)
5．不等式≤0的解集为____________．
解析：不等式≤0等价于
解得≤x<2.
答案：
6．函数y＝＋log2(x2－4x＋3)的定义域为________．
解析：要使函数有意义，只需
即解得－3≤x<1或x>3.
答案：[－3,1)∪(3，＋∞)
7．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在1解析：令f(x)＝2x2－8x－4－a＝2(x－2)2－12－a数形结合知只需f(4)>0即可．
即2×42－8×4－4－a>0，解得a<－4.
答案：(－∞，－4)
8．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________．
解析：<1化为－1<0，即<0.
等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0.
∴(a－1)x2－(a－2)x－1<0.
∴1,2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的两个根．
∴解得a＝.
答案：
9．求函数y＝lg(x2－2x－3)＋的定义域．
解：依题意可得
解得
∴不等式组的解是－2∴函数的定义域为(－2，－1)∪(3,5)．
10．若函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，有即
所以0综上可知，实数a的取值范围是[0,2)．
层级二 应试能力达标
1．不等式<0的解为________．
解析：x(2x－1)<0?x∈.
答案：
2．集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－5x＋6>0}，则A∩B＝________.
解析：A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，所以A∩B＝{x|1≤x<2或3答案：{x|1≤x<2或33．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2,1)，则不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0的解集为________．
解析：由题意，∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2,1)，∴a<0，－2＋1＝－，(－2)×1＝，
∴b＝a，c＝－2a，
∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0为ax2＋2ax－3a<0，
即x2＋2x－3>0，
(x＋3)(x－1)>0，
∴x<－3或x>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
4．关于x的不等式ax－b>0的解集是，则关于x的不等式>0的解集是________．
解析：不等式ax－b>0的解集是?a>0，且a－2b＝0，则不等式>0等价于>0?(x－1)(x－5)<0?1答案：(1,5)
5．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则2x2＋bx＋a<0的解集为________．
解析：由题意知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，由根与系数的关系得，
解得
∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0.
即x2－x－6<0.
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2答案：{x|－26．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.
答案：2
7．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A??RB，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴∴m＝2.
(2)?RB＝{x|xm＋2}．
∵A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1，
∴m>5或m<－3.
故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
8．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－>1，
∴a<0且>1，∴ac>0，∴对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，
∴函数y＝f(x)必有两个不同的零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝2＋8＋4，
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知＝t，∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
∴|m－n|>，
∴|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
第二课时 一元二次不等式的解法及其应用(习题课)
解含参数的一元二次不等式
[典例] 已知a＞0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
[解] 当a>0时，原不等式可化为
(x－2)>0.
(1)当0(2)当a＝1时，2＝，原不等式解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>，原不等式的解集为.
综上所述，
当0当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式解集为.
解含参数的不等式时，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式再对参数进行讨论；若不易分解因式则可对判别式分类讨论；若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数为零的情形，然后考虑二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．另外，注意参数的取值范围，并在此范围内进行分类讨论．
[活学活用]
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≥0)．
解：原不等式可变形为ax2＋(a－2)x－2≥0，
(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
(2)当a＞0时，原不等式可变形为(ax－2)(x＋1)≥0，
方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1.
所以不等式的解集为.
综上，a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
a>0时，原不等式的解集为.
一元二次不等式的实际应用
[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)依题意，得
y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1 000(1＋0.6x)
＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)，
所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．
(2)依题意，得
1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1 000，
化简，得3x2－x＜0，解得0＜x＜.
所以为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的范围是.
解不等式应用题的4个步骤
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原实际问题．
[活学活用]
某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？
解：设这批台灯的销售价定为x元，则[30－(x－15)×2]·x>400，即x2－30x＋200<0，因方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解为10不等式的恒成立问题
[典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________．
[解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0.
[答案] {0}
[一题多变]
1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．
解：①当m＝0时，f(x)的值不恒大于零，舍去；
②当m≠0时，此不等式组无解，故m∈?.
综上知，不存在这样的实数m，使函数f(x)的值恒大于零．
2．[变条件]对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．
解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x－4，因为x∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．
3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－ 4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
解决不等式恒成立问题的2种思路
(1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；
(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．
层级一 学业水平达标
1．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是____________．
解析：x2－4ax－5a2>0化为(x－5a)(x＋a)>0，
∵a<0，∴5a<－a.
∴x>－a或x<5a.
答案：{x|x<5a或x>－a}
2．已知a<0，则关于x的不等式>1 的解集是________．
解析：不等式>1可化为>0，
不等式等价于(a－1)(x－2)>0.
∵a<0，
∴不等式等价于(x－2)<0.
∵<2.
∴原不等式的解集为.
答案：
3．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＝0时，有1<0，故A＝?成立；当a≠0时，要使A＝?，须满足∴0答案：[0,4]
4．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是________．
解析：由已知得若不等式组有解，
∴2a＋4>a2＋1，即a2－2a－3<0.∴－1答案：(－1,3)
5．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立， 则实数a的取值范围是________．
解析：x2－ax＋2a>0恒成立?Δ<0，即a2－4×2a<0，解得0答案：(0,8)
6．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，1答案：[－4,3]
7．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：[－1,4]
8．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由4x2＋6x＋3＝2＋>0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3?2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立?Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得1答案：(1,3)
9．已知对任意x∈(0，＋∞)不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝x2－ax＋2＝2＋2－，
(1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)为单调递增的．
f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立．
(2)当a>0时f(x)＝x2－ax＋2的对称轴为x＝.
∴当x∈(0，＋∞)时，
f(x)min＝2－.
若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)恒成立，
只要2－>0即可，∴0综上，若x2－ax＋2>0在(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，2)．
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
∴x＝1与x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，
得解得
(2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
层级二 应试能力达标
1．不等式x2－2x＋3≤a2－3a－2在R上的解集为?，则实数a的取值范围是________．
解析：∵x2－2x－(a2－3a－5)≤0的解集为?，
∴Δ＝4＋4(a2－3a－5)<0，∴a2－3a－4<0，
∴－1答案：(－1,4)
2．对任意a∈[－2,3]，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为____________．
解析：设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a
＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
由已知条件得
即∴
∴x<0或x>5.即x的取值范围为(－∞，0)∪(5，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(5，＋∞)
3．关于x的不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，易知条件不成立；
当a≠0时，要使不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R，
必须满足解得a>1.
答案：(1，＋∞)
4．关于x的不等式x2＋ax＋－c<0的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________.
解析：由x2＋ax＋－c<0，得2答案：9
5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则a的取值范围为________．
解析：(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x成立．
∴x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，∴－答案：
6．若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为m≠0，所以分两种情况讨论：
(1)m>0，不等式的解集是，显然不适合题意；
(2)m<0，
(ⅰ)当m＝－1时，不等式化为－(x－1)2<0，对于x≠1均成立；
(ⅱ)当－1(ⅲ)当m<－1时，不等式的解集是∪，所以－≤4恒成立．
综上，实数m的取值范围是.
答案：
7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少，分析测算得从2015年开始第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且2015年后每月再投入1万元进行员工培训，且测算得自2015年后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且2015年第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问2015年后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
解：2015年改革后经过n个月的纯收入为(Tn－300－n)万元，公司若不进行改革，由题设知2015年后因竞争加剧收入将逐月减少．
分析测算得2015年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元．所以不改革，第一个月：70－3－2×(1－1)，
第二个月：70－3－2(2－1)，
第三个月：70－3－2(3－1)，
…
第n个月：70－3－2(n－1)，
所以不改革时的纯收入为：70n－万元，
由题设知所以
由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n，
整理，得n2＋11n－290>0，得n>12.4，
因为n∈N，故取n＝13.
答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
8．已知不等式mx2－2x－m＋1<0，
(1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
(2)若对一切m∈[－2,2]不等式恒成立，求x的取值范围．
解：(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，不等式变为1－2x<0，对任意实数x不恒成立，故m＝0不满足；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即则m无解．
综上可知不存在这样的m，使不等式恒成立．
(2)设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，
当x2－1＝0时，即x＝±1，检验得x＝1时符合题意，
当x2≠1时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，
由题意知该直线当－2≤m≤2时在x轴下方，
∴即
解①，得x<或x>，
解②，得由①②，得综上得x的取值范围为.
3.3
第一课时 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)如何确定二元一次不等式所确定的平面区域？
(2)如何画出二元一次不等式组所表示的平面区域？
(3)如何用不等式组表示平面区域？
1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
[点睛] 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
2．由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面 区域．
1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的________．
解析：作直线2x－y－6＝0，将原点(0,0)代入检验．
答案：右下方
2．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，则△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为________．
解析：将点(0,0)代入直线AB：2x－y＋4＝0，得4>0，代入直线AC：2x＋y－4＝0，得－4<0，故可知△ABC的内部位于x轴的上方，故
答案：
3．点(1,3)和点(－4,2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．
解析：∵(1,3)和(－4,2)在2x＋y＋m＝0的两侧，
∴(2×1＋3＋m)[2×(－4)＋2＋m]<0，
即(m＋5)(m－6)<0，即－5答案：(－5,6)
4．不等式组表示的平面区域的面积是________．
解析：如图所示，区域为△ABC，∴S＝×4×2＝4.
答案：4
二元一次不等式表示的平面区域
[典例] 画出不等式2x＋y－6≤0表示的平面区域．
[解] 先画直线2x＋y－6＝0(画成实线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－6.
∵2×0＋0－6＝－6<0，
∴原点在2x＋y－6≤0表示的平面区域内，
不等式2x＋y－6≤0表示的区域如图阴影部分所示．
画平面区域的注意事项
(1)边界虚实要分清．一般地，ax＋by＋c≥0(≤0)表示的区域包括直线ax＋by＋c＝0，该直线要画成实线；ax＋by＋c>0(<0)表示的区域不包括直线ax＋by＋c＝0，该直线要画成虚线．
(2)测试点选取要恰当．一般地选原点(0,0)，(0,1)或(1,0)，如果测试点的坐标满足不等式，则所求区域为包括测试点的直线一侧，否则在直线的另一侧，最后将区域用阴影表示出来．
[活学活用]
1．图中的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为________．
解析：直线过(4,0)，两点，
故直线为2x＋3y－8＝0，
则阴影部分表示为2x＋3y－8≥0.
答案：2x＋3y－8≥0
2．已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)，其中不在不等式2x＋y<4所表示的平面区域内的点是________．
解析：代入验证知C(2,0)不在平面区域内．
答案：C(2,0)
二元一次不等式组表示的平面区域
[典例] 画出不等式组表示的平面区域．
[解] 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合；x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以不等式组表示的平面区域如图所示．
不等式组对应的平面区域的边界就是各个不等式所对应的直线，边界虚实要画清，测试点可以选一个，也可以选多个，最后把区域用阴影部分表示出来．
不等式(组)所表示的平面区域的应用
题点一：求平面区域面积
1．已知点M(x，y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S＝________.
解析：作出不等式组
表示的平面区域，如图所示，则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S＝×2×1＝1.
答案：1
题点二：由面积求参数值
2．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么a的值为________．
解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到直线x＋y＝0与直线x－y＋4＝0的交点坐标是(－2,2)，点(－2,2)到直线x＝a(其中a>－2)的距离为a＋2.易知直线x＝a与x＋y＝0，x－y＋4＝0的交点坐标分别是(a，－a)，(a,4＋a)．结合图形及题意知[(4＋a)＋a](a＋2)＝9，即(a＋2)2＝9.又易知a>－2，因此a＝1.
答案：1
题点三：确定区域内整点的个数
3．由满足上题中的a所确定的区域内的整点有________个．
解析：满足上题中的a所确定的平面区域如图中的△ABC的内部(包括边界)．△ABC三个顶点为A(－2,2)，B(1,5)，C(1，－1)．
则在直线x＝1上的整点有7个．
在直线x＝0上的整点有5个，
在直线x＝－1上的整点有3个，
在直线x＝－2上的整点有1个，
故共有7＋5＋3＋1＝16个．
答案：16
(1)求区域面积的2个注意点
①求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的区域，然后根据区域的形状求面积．
②求面积时，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标，这样易求底与高，必要时分割区域为特殊图形．
(2)求区域内整点个数的方法
①画出满足不等式组的区域．
②作出直线x＝n(n∈Z)，观察x＝n上有满足不等式组的区域内的多少个整点．
③求出所有整点的和．
层级一 学业水平达标
1．若点P(a,3)在y<－2x＋3表示的区域内，则实数a的取值范围是________．
解析：点P(a,3)在y<－2x＋3表示的区域内，则3<－2a＋3，解得a<0.
答案：(－∞，0)
2．点A(0,0)，B(2,1)，C(3,0)，D(0,4)在不等式x＋2y－3>0表示的平面区域内的有________．
解析：把各点坐标逐一代入不等式检验知B，D点符合不等式．
答案：B，D
3．图中阴影部分表示的区域满足不等式____________．
解析：把原点(0,0)代入检测可知，阴影部分表示的区域满足不等式2x＋2y－1≥0.
答案：2x＋2y－1≥0
4．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足不等式组则实数m的最大值为________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．所以，若直线y＝2x上存在点(x，y)满足不等式组，则3－m≥2m，即m≤1.故实数m的最大值为1.
答案：1
5．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组表示为________．
解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示．
取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0，代入x＋2y＋1得1>0；代入2x＋y＋1得1>0.
结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为
答案：
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，必须使点A位于直线x－2y－2＝0的右下侧，即m－2(－m)－2>0，∴m>.
答案：
7．在平面区域{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}上恒有ax＋3by≤4，则动点P(a，b)所形成平面区域的面积为________．
解析：由条件可知，已知区域是以(－2，－2)，(－2,2)，(2,2)，(2，－2)为顶点的正方形内部及边界，
从而动点P(a，b)所形成平面区域是一个菱形，所求面积为S＝4××2×＝.
答案：
8．设不等式组表示的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1)＋1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是________．
解析：作出平面区域，如图所示．因为函数的图象是过点P(－1,1)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A(1,2)时，k取最大值；当直线l过点B(3,0)时，k取最小值－，故k∈.
答案：
9．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)
解：(1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．
(2)不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0及左下方的区域．
不等式x－2y＞3表示直线x－2y－3＝0右下方的区域．
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及右上方的区域．
所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
10．已知不等式组表示的平面区域为Ⅰ，求当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积．
解：如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
层级二 应试能力达标
1．直线x＋2y－1＝0上方的区域可用不等式________表示．
解析：作图知，原点(0,0)在直线下方，所以直线上方区域不包括原点(0,0)，把(0,0)代入得0＋0－1＝－1<0，所以直线上方的区域应用不等式x＋2y－1>0表示．
答案：x＋2y－1>0
2．若mx＋ny－6>0(mn≠0)所表示的区域不含第三象限的点，则点(m，n)在第________象限．
解析：由题意知，直线mx＋ny－6＝0在两轴上的截距均大于0，∴m>0，n>0，∴点(m，n)在第一象限．
答案：一
3．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是____________．
解析：如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故5≤a<7.
答案：[5,7)
4．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．
解析：由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的一个三角形区域，设其为△ABC，
则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a>－1，
∵S△ABC＝2，∴×(1＋a)×1＝2，∴a＝3.
答案：3
5．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．
解析：由图可知，不等式组所表示的平面区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过C，y＝kx＋将区域平均分成面积相等的两部分，故过AB的中点D，所以＝k×＋，k＝.
答案：
6．不等式组表示的平面区域内的整点坐标为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，区域图形为直角三角形(不包括x轴和y轴)，∴x的整数值只有1,2.
当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤，∴整点坐标为(1,2)，(1,1)．
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤，
∴整点坐标为(2,1)．
综上所述，平面区域内的整点坐标为(1,1)，(1,2)和(2,1)．
答案：(1,1)，(1,2)和(2,1)
7．已知点P(1，－2)及其关于原点对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，求b的取值范围．
解：点P(1，－2)关于原点对称点P′(－1,2)．
由题意知解得故满足条件的b的取值范围为.
8．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4,12)，由解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得即
亦即得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
第二课时 简单的线性规划问题
(1)线性规划的基本概念有哪些？
(2)利用线性规划解决实际问题的步骤有哪些？
(3)利用线性规划求目标函数的最值分哪几步进行？
线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．已知实数对(x，y)满足则2x＋y取最小值时的最优解是________．
解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点A(1,1)时，(2x＋y)min＝3.
答案：(1,1)
2．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是________．
解析：如图，根据题意得C(1＋，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．
答案：(1－，2)
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．
解析：由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x＋3y＋1＝0可知，在可行域的顶点(3,1)处，目标函数z＝2x＋3y＋1取得最大值，zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.
答案：10
4．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买铁矿石A，B分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由得记P(1,2)，
画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.
答案：15
求线性目标函数的最大(小)值
[典例] 设变量x, y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为________．
[解析] 约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数y＝2x＋z经过直线x－y－2＝0和y＝3的交点(5,3)时，z取得最小值－7.
[答案] －7
解决线性规划问题的3个步骤
(1)作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条l;
(2)平移：将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值：解方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
[活学活用]
设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件求z的最大值和最小值．
解：作出满足不等式组的可行域如图所示．
作直线l：2y－2x＝t，
当l过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；
当l过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
求非线性目标函数的最值
题点一：距离型最值
1．设x，y满足条件求u＝x2＋y2的最大值与最小值．
解：画出满足条件的可行域如图所示，x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大．取(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
题点二：斜率型最值
2．在上题的条件下，求v＝的最大值与最小值．
解：v＝表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，
所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有：
① 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
简单线性规划的实际问题
[典例] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．
[解] 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系
A原料
B原料
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有
目标函数z＝5x＋3y，作出可行域如图所示．
把z＝5x＋3y变形为y＝－x＋得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线，由图可以看出，当直线y＝－x＋经过可行域上的A点时，截距最大，即z最大．
解方程组得A的坐标为x＝3，y＝4，
∴zmax＝5×3＋3×4＝27.
故可获得最大利润为27万元．
解答线性规划应用题的4个步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺；
(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
[活学活用]
制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y，作出平面区域如图所示：
作直线l0：x＋0.5y＝0，
即2x＋y＝0.并作平行于直线l0的一组直线l：
z＝x＋0.5y，当l过点M时，z最大．
由得M(4,6)．
此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
层级一 学业水平达标
1．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是________．
解析：作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：x＋2y＝0至点A时，x＋2y取得最大值．
由?
可得(x＋2y)max＝＋2×＝.
答案：
2．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．
解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝.
答案：
3．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为________．
解析：作出如图可行域，由z＝y－ax得y＝ax＋z可知，直线在y轴上的截距最大时，z最大，结合图象可知，在A(1,3)处取得最大值，需a>1.
答案：(1，＋∞)
4．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．
解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A(1，－1)时，取到最大值3.
答案：3
5．如图所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
解析：由图知，目标函数在点A(1,1)时，2x－y＝1；
在点B(，)时，2x－y＝2－>1；
在点C(，1)时，2x－y＝2－1>1；
在点D(1,0)时，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1.
答案：1
6．已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为________．
解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.
答案：1
7．如果实数x，y满足条件那么z＝4－x·2y的最大值为________．
解析：可行域为如图所示的阴影部分，A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直线y＝2x＋t过点B(－2，－1)时，t取得最大值3，故z＝4－x·2y＝2－2x＋y的最大值为8.
答案：8
8．设变量x，y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.
答案：[8,10]
9．直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4,4)，若可行域的外接圆直径为.求实数n的值．
解：作出可行域如图所示，过原点的直线OA的倾斜角为60°，由直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4，4)，可得4＝4m＋n.又由可解得两直线的交点坐标即为A(4,4)，
又点B坐标为(n,0)，
∴＝，
∴AB＝7，
∴(4－n)2＋(4)2＝49，
∴n＝3或5.
10．已知x，y满足条件：求：
(1)4x－3y的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)作出不等式组
表示的平面区域如图阴影部分所示．
其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，
设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．
作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.
则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大．
∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，
z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.
(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.
∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0，
∴x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
层级二 应试能力达标
1．设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝<1，故最小距离为.
答案：
2．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析：由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示．
令x＋2y＝k，
则y＝－x＋，
问题由求k的最小值转化为求直线y＝－x＋的纵截距的最小值．
显然当直线y＝－x＋过原点O时，截距最小，
此时kmin＝0，
z＝3x＋2y的最小值为1.
答案：1
3．已知x，y满足不等式组且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝________.
解析：依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．由得A(a，a)，由得B(1,1)．∴zmax＝3，zmin＝3a.
∴a＝.
答案：
4．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是________．
解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，
∴2≤a≤9.
答案：[2,9]
5．设变量x，y满足约束条件则满足函数y＝2x－t的t最大值为________．
解析：由约束条件作出可行域如图所示，可知(x，y)是由点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－1)三点组成的三角形区域，令t＝2x－y，即当经过C(2，－1)时，t有最大值5.
答案：5
6．若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则loga(－b)＝________.
解析：由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分．由z＝5y－x，得y＝＋.
由图知目标函数y＝＋，过点A(8,0)时，zmin＝5y－x＝5×0－8＝－8，即b＝－8.
目标函数y＝＋过点B(4,4)时，zmax＝5y－x＝5×4－4＝16，即a＝16.所以loga(－b)＝log168＝.
答案：
7．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为ω＝2x＋3y＋300，
作出可行域，如图所示，
作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，
由得
∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．
8．已知x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；
(3)求z＝的取值范围．
解：作可行域如图所示．
(1)作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．
由得A.
由得B(5,3)．
∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋＝.
(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．
又kBC＝－，∴－a＝－.∴a＝.
(3)z＝＝，可看作区域内的点(x，y)与点D(－5，－5)连线的斜率，
由图可知，kBD≤z≤kCD.由得C.
∴kBD＝＝，kCD＝＝，
∴z＝的取值范围是.
3.4
(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
(2)“和定积最大，积定和最小”应怎样理解？
(3)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？
(4)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把称为正数a，b的算术平均数，把称为正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式定义：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时取“＝”．
(3)变形：ab≤2≤，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.
3．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
1．若x>0，则x＋的最小值为________．
解析：∵x>0，∴x＋≥4.
答案：4
2．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则xy的最大值是________．
解析：∵x，y∈(0，＋∞)，则1＝x＋4y≥4，即xy≤，当且仅当x＝，y＝时等号成立．
答案：
3．实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________．
解析：利用基本不等式可得
3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2 .
∵x＋2y＝2，∴3x＋9y≥2＝6，
当且仅当3x＝32y，即x＝1，y＝时取等号．
答案：6
4．给出下面结论：
①若x∈(0，π)，则sin x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2；
③若x∈R，则≥4.
其中正确结论的序号是________．
解析：①因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0,1]，所以①成立；②只有在lg a>0，lg b>0，即a>1，b>1时才成立；③＝|x|＋≥2＝4成立．
答案：①③
利用基本不等式比较大小
[典例] (1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．
[解析] (1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，
所以Q＝(lg a＋lg b)>＝P；
Q＝(lg a＋lg b)＝lg ＋lg ＝lg 所以P[答案] (1)m>n (2)P利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
[活学活用]
已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的 大小．
解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以 ≥(a＋b)，
同理 ≥(b＋c), ≥(c＋a)，
所以 ＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，
即＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
利用基本不等式证明不等式
[典例] 已知a，b，c均为正实数， 求证：＋＋≥3.
[证明] ∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号 成立)，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向 “未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．
[活学活用]
已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
利用基本不等式求最值
[典例] (1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值．
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
[解] (1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
(3)∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得
即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
(2)常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．
[活学活用]
(1)已知0(2)已知x>，求函数y＝4x－2＋的最小值．
解：(1)∵0∴1－3x>0.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤2＝，
当且仅当x＝时，函数y＝x(1－3x)取得最大值.
(2)∵x>，∴4x－5>0.
∴y＝4x－2＋
＝4x－5＋＋3
≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，
即x＝时取等号．
∴当x＝时，y取最小值为5.
利用基本不等式解应用题
[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy
＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
求实际问题中最值的解题策略
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
[活学活用]
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2 ＝8，
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
层级一 学业水平达标
1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是________．
解析：y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
答案：3－2
2．若2x＋y＝4，则4x＋2y的最小值为________．
解析：4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝2＝8.当且仅当2x＝y＝2，即x＝1，y＝2时等号成立．
答案：8
3．若对于任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：＝，因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，即的最大值为，
故a≥.
答案：a≥
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：设仓库与车站的距离为x千米，则y1＝，y2＝k2x.
∴2＝，8＝k2·10.∴k1＝20，k2＝.
∴y＝＋x.
∵＋x≥2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
∴x＝5千米时，y取得最小值．
答案：5
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
解析：依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4.
答案：4
6．若0解析：因为02，a2＋b2>2ab，所以四个数中最大的数应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又因为0答案：a＋b
7．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：因为a>0，b>0，由题知＋≥，即·(2a＋b)≥n，又·(2a＋b)＝4＋＋＋1＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时等号成立，故n≤9.故n的最大值为9.
答案：9
8．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4答案：(－4,2)
9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
证明：法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
故＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9.
法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，
因此≥1＋8＝9
.
10．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．
(1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
解：(1)由图形知，3a＋6＝x，
∴a＝.
则总面积S＝·a＋2a
＝a＝
＝1 832－，
即S＝1 832－(x>0)．
(2)由S＝1 832－，
得S≤1 832－2＝1 832－2×240＝1 352.
当且仅当＝，此时，x＝45.
即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：由基本不等式性质，f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在4x＝，即x2＝时取得最小值，由于x>0，a>0，再根据已知可得＝32，故a＝36.
答案：36
2．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为________．
解析：由题中条件知，＝＝＝＋≥2，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立，故≥4··，即≥.
答案：
3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．
解析：因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．
答案：4
4．已知x>1，则函数y＝x＋的值域为________．
解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝x－1＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值16，∴函数y＝x＋的值域为[16，＋∞)．
答案：[16，＋∞)
5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
解析：由题知，＋＝5，即＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)·1＝(3x＋4y)·＝＋＋＋＝＋，因为x，y>0，由基本不等式得＋＋≥＋2＝5，当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立．
答案：5
6．设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
解析：依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.
当且仅当2x＝y＝时，2x＋y取最大值.
答案：
7．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1>0，x2>0，比较[f(x1)＋f(x2)]与f的大小，并加以证明．
证明：∵f(x1)＋f(x2)＝lg x1＋lg x2＝lg(x1x2)，f＝lg，
又∵x1>0，x2>0，∴x1x2≤2，
∴lg(x1x2)≤lg2，
∴lg(x1x2)≤lg，
即(lg x1＋lg x2)≤lg.
∴[f(x1)＋f(x2)]≤f.
当且仅当x1＝x2时，等号成立．
8．已知两正数x，y满足x＋y＝1，求z＝
的最小值．
解：z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0 (时间120分钟 满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)
1．不等式x2<1的解集为________．
解析：x2<1，则－1答案：{x|－12．若关于x的不等式mx2＋2x＋4>0的解集为{x|－1解析：由已知得－1,2是方程mx2＋2x＋4＝0的两个根，
∴－1＋2＝－.
∴m＝－2.
答案：－2
3．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为_____．
解析：因为一元二次不等式f(x)<0的解集为，所以可设f(x)＝a(x＋1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·<0，即10x<，x<－lg 2.
答案：{x|x<－lg 2}
4．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
解析：根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则所以－1答案：(－1,0]
5．已知x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，＋的最小值为16，则n的值为________．
解析：因为x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，
所以＋＝(nx＋y)＝n＋4＋＋＝n＋4＋2＝n＋4＋4，当且仅当y＝2x时取等号．所以n＋4＋4＝16，解得n＝4.
答案：4
6．在条件下，z＝(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是________．
解析：由约束条件作出可行域如图．目标函数表示点(x，y)与点M(1,1)的距离的开方．由图可知，z的最小值为点M与直线x－y＝1的距离的平方．即zmin＝2＝.
z的最大值为点M(1,1)与点B(2,0)的距离的平方：
即zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2.
∴z的取值范围为.
答案：
7．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．
解析：∵a，b的等比中项是1，∴ab＝1.
∴＝b，＝a，又a>0，b>0，
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，
当且仅且a＝b＝1时取等号．
∴m＋n的最小值是4.
答案：4
8．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．
解析：∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2＝＋2≥2＝4.
(当且仅当a＝b时取等号)
答案：4
9．某校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y满足约束条件则该校招聘的教师最多是________名．
解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x＋y＝0，平移该直线，因为x∈N，y∈N，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时x＋y取得最大值，x＋y的最大值是10.
答案：10
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
解析：由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤.所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤.当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.
答案：
11．函数f(x)＝(x>0)的最大值为________．
解析：令t＝2x＋1(t>1)，
原式＝＝ ①，
因为t＋≥2(当且仅当t＝取等号)，
所以①式≤＝，故函数f(x)的最大值为.
答案：
12.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为______(m)．
解析：设矩形宽为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40?40＝x＋y≥2，当且仅当x＝y＝20时，矩形的面积S＝xy取最大值400.
答案：20
13．已知a，b为正数，且直线2x－(b－3)y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为________．
解析：依题意得2b－a(b－3)＝0，即＋＝1,2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝5时取等号，因此2a＋3b的最小值为25.
答案：25
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)解不等式组
解：≤1?≤0?x∈[－2,6)，
2x2－x－1>0?(2x＋1)(x－1)>0
?x∈∪(1，＋∞)，
所以，原不等式组的解为x∈∪(1,6)．
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋6，
(1)当a＝5时，解不等式f(x)<0；
(2)若不等式f(x)>0的解集为R，求实数a的取值范围．
解：当a＝5时，f(x)＝x2＋5x＋6，
由f(x)<0，得x2＋5x＋6<0.
即(x＋2)(x＋3)<0.
∴－3(2)若不等式f(x)>0的解集为R，
则有Δ＝a2－4×6<0，
解得－2所以实数a的取值范围是(－2，2)．
17．(本小题满分14分)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4故所求a的取值范围为(－4,2)．
18．(本小题满分16分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能．
(1)设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
解：(1)由题意，AB＝x，BC＝2－x.
因x>2－x，故1设DP＝y，则PC＝x－y.
因△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，
化简得y＝2，1(2)记△ADP的面积为S1，则S1＝(2－x)＝3－≤3－2，
当且仅当x＝∈(1,2)时，S1取得最大值．
答：当薄板长为米，宽为2－米时，节能效果最好．
19．(本小题满分16分)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
则由题意得
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图：作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立解得x＝100，y＝200.即点M的坐标为(100,200)，
所以zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
20．(本小题满分16分)已知不等式x2－4x＋3<0的解集是A，
(1)求集合A.
(2)函数f(x)＝log2(a－x)(a∈R)的定义域为集合B，若A?B求a的取值范围．
(3)不等式ax2－2x－2a>0(a∈R且a≠0)的解集为C，若A∩C≠?，求a的取值范围．
解：(1)由x2－4x＋3<0得，
(x－1)(x－3)<0.
∴1∴A＝{x|1(2)由f(x)＝log2(a－x)得，a－x>0，
∴x若A?B，则a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞)．
(3)设g(x)＝ax2－2x－2a，
①当a>0时，若A∩C≠?，则g(3)>0，
∴9a－6－2a>0.∴a>.
②当a<0时，若A∩C≠?，则g(1)>0.
∴a－2－2a>0.∴a<－2.
综上：a的取值范围是(－∞，－2)∪.
