复习课(一) 解三角形
利用正、余弦定理解三角形
对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．
解三角形的常见类型及方法
(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．
(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．
(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．
(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．
[典例] 设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2bsin A.
(1)求B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求b.
[解] (1)由a＝2bsin A，
根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，所以sin B＝，
由于△ABC是锐角三角形，所以B＝.
(2)根据余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝27＋25－45＝7，
所以b＝.
[类题通法]
利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
解析：∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝.
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵0
答案：或
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝3，BC＝，那么AB的长为________．
解析：由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝1，B＝90°，
∴AB2＝AC2－BC2＝9－＝，
即AB＝.
答案：
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.
解析：由正弦定理知：＝，解得sin B＝，
又0a，可得B＝或.
答案：或
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C
＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
由余弦定理得
cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
∴cos B的最小值为.
三角形形状的判定
判断三角形的形状是一种常见的题型，其基本原则是化边为角或化角为边，实现边角的统一，而达到这一目标的工具就是正弦定理和余弦定理，题型多为填空题，难度中等．
三角形中的常用结论
(1)A＋B＝π－C，＝－.
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[典例] 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
[解] ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，
∴a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cos Asin B＝2b2sin Acos B.
法一：(化边为角)由正弦定理得2sin2Acos Asin B＝2sin2Bsin Acos B，
即sin 2A·sin Asin B＝sin 2B·sin Asin B.
∵0∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
法二：(化角为边)2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正弦、余弦定理得a2b·＝b2a·，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
[类题通法]
根据所给条件判断三角形的形状，主要有两条途径：
(1)化边为角．
(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________．
解析：∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
答案：等腰或直角三角形
2．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且A，B，C成等差数列，则△ABC的形状为________________．
解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，即3B＝π，解得B＝.∵3b＝2asin B，∴根据正弦定理得3sin B＝2sin Asin B．∵sin B≠0，∴3＝2sin A，即sin A＝，即A＝或，当A＝时，A＋B＝π不满足条件．∴A＝，C＝.故A＝B＝C，即△ABC的形状为等边三角形．
答案：等边三角形
3．已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为两内角，试判定这个三角形的形状．
解：设方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系，得
∴bcos A＝acos B.
由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
sin(A－B)＝0.
∵A，B为△ABC的内角，
∴0∴A－B＝0，即A＝B.
故△ABC为等腰三角形.
正、余弦定理的实际应用
正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度中等．
1．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
2．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．
[典例] 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．
[解] (1)在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝162＋102－2×16×10cos C， ①
在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos D＝142＋142－2×142×cos C， ②
由①②得：
142＋142－2×142cos C＝162＋102－2×16×10cos C，
解得cos C＝.
又因为∠C为三角形的内角，所以C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，
故AB＝14，即AB的长度为14.
(2)小李的设计符合要求，理由如下：
S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，
因为AD·BD>AC·BC，sin D＝sin C，所以S△ABD>S△ABC，
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低，即小李的设计符合要求．
[类题通法]
利用正余弦定理解决实际应用的四个步骤
第一步：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
1．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是5 海里，则灯塔和轮船原来的距离为________海里．
解析：画出示意图如图．△ABC中，AB＝10，BC＝5，∠BAC＝60°.由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°，得AC2－10AC＋25＝0，∴AC＝5.
答案：5
2.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若ccos A＝b，则△ABC是________．
解析：根据余弦定理，得c·＝b，即c2＝a2＋b2，故△ABC一定是直角三角形．
答案：直角三角形
2．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos A·sin C，则b的值为________．
解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B＝6cos Asin C可化为b＝6··c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3.
答案：3
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，则b＝________.
解析：由已知得：cos A＝，S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，∴bc＝3，又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2－2＝4，∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝2，解得b＝c＝.
答案：
4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.
答案：
5．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以∠C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝＝.
答案：
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则△ABC的面积等于________．
解析：由余弦定理，得cos A＝＝＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝AB·ACsin A＝×3×4×＝3.
答案：3
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b，则角A＝________.
解析：在△ABC内应用余弦定理得：cos C＝，将其代入acos C＋c＝b中可得：a×＋c＝b，化简整理得：b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝.
答案：
8．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC的形状为________．
解析：依题意得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，2sin Acos B－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos 2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sin A＝，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝________.
解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，
CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，
∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，
∴cos∠DAC＝.
答案：
10．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于________．
解析：由题意可得AB·BC·sin∠ABC＝，即AB·BC·＝，所以AB·BC＝2.再由余弦定理可得3＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝AB2＋BC2－2，所以AB2＋BC2＝5，所以(AB＋BC)2＝AB2＋BC2＋2AB·BC＝5＋4＝9，所以AB＋BC＝3，所以△ABC的周长等于AB＋BC＋AC＝3＋.
答案：3＋
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan＝2.
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
解：(1)由tan＝2，得tan A＝，
所以＝＝.
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，得
sin A＝，cos A＝.
由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.
由sin C＝sin(A＋B)＝sin，得sin C＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.
12.如图所示，某人在塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40 m到D处以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．
解：在△BDC中，CD＝40 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∠DBC＝45°＋90°＝135°.
由正弦定理，得＝，
∴BD＝＝＝20(m)．
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，AB为定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小．
即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.
在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
∴BE＝BD·sin∠BDE＝20sin 15°＝10(－1)(m)．
在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10(－1)·tan 30°＝(3－)(m)，
即塔的高度为(3－)m.
13．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin C＝·sin A＝＝.
∵AB则cos C＝＝＝.
因此，sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝.
14．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，
∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(ab＝－1舍去)，
∴S＝absin C
＝·4·sin＝.
课件25张PPT。复习课(三) 不等式
一元二次不等式
一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体．贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大．
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
[典例] 已知不等式ax2＋5x－2>0的解集是M.
(1)若2∈M，求a的取值范围；
(2)若M＝，求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
[解] (1)∵2∈M，∴a·22＋5·2－2>0，∴a>－2，
即a的取值范围为(－2，＋∞)．
(2)∵M＝，
∴，2是方程ax2＋5x－2＝0的两个根，
∴由根与系数的关系得解得a＝－2，
∴不等式ax2－5x＋a2－1>0即为－2x2－5x＋3>0，
∴2x2＋5x－3<0，解得－3∴不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为
.
[类题通法]
求解不等式的方法：(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清晰地求解．
1．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是____________．
解析：f(x0)>1?或?x0≥1或x0<－1.
答案：(－∞，－1)∪[1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2均有不等式≥m成立，
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立，
∴实数m的取值范围是(－∞，2].
简单的线性规划问题
线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．“线性规划”是必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档．
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
[典例] 已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组．
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
[解] (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.
又原点(0,0)在区域D内，
故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a的取值范围是－18故a的取值范围是(－18,14)．
[类题通法]
解决线性规划问题应关注三方面：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
1．设不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域面积为S，则当k>1时，的最小值为________．
解析：由图可知S＝S△OAB＝×OA×OB＝×4×4k＝8k，
所以＝＝.
令t＝k－1>0，则k＝t＋1，代入上式得＝8＋16，
因为t＋≥2，所以8＋16≥8×2＋16＝32.
当且仅当t＝1时，即k＝2时取等号．
故当k＝2时，取得最小值32.
答案：32
2．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a＝________.
解析：作出可行域(如图)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝时，不成立．
答案：2或－1
基本不等式的应用
基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，考试中经常出现，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．
1．基本不等式的常用变形
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立；
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立；
(3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立；
(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
2．利用基本不等式求最值
已知x，y∈(0，＋∞)，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2(x＋y≥2＝2)．
[典例] 已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
[解析] ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，max＝2.∴λ的最小值为2.
[答案] 2
[类题通法]
利用基本不等式解题应关注三方面：(1)利用基本不等式求最值的注意点，①在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．
(2)求条件最值问题的两种方法：一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．
(3)结构调整与应用基本不等式：基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有：
①x＋＝x－a＋＋a(x>a)．
②若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)．
1．定义运算“*”：x*y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x>0，y>0时，x*y＋(2y)*x的最小值为________．
解析：由题意，得x*y＋(2y)*x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．
答案：
2．函数y＝的最大值为________．
解析：令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，
所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．
答案：
1．不等式2x2－x<4的解集为________．
解析：不等式2x2－x<4?x2－x<2?－1答案：(－1,2)
2．已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，则?UA＝________.
解析：∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1答案：(－∞，－1)∪[3，＋∞)
3．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为________．
解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y＝kx－3过定点(0，－3)，所以当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3，所以k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点．
答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
4．若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2,2]恒成立，则x的取值范围是________．
解析：因为a∈[－2,2]，可把原式看作关于a的函数，即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知解得x∈R.
答案：R
5．若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为________．
解析：设f(x)＝x2＋ax－2，若x2＋ax－2>0在[1,5]上无解，则只需即解得a≤－，所以x2＋ax－2>0在[1,5]上有解时，a>－.
答案：
6．若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是________．
解析：由x＋y＋1＝xy，得y＝，又y>0，x>0，
∴x>1.∴x＋2y＝x＋2×＝x＋2×＝x＋2＋＝3＋(x－1)＋≥3＋4＝7，当且仅当x＝3时取“＝”．
答案：7
7．关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是________．
解析：方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0.所以a的最大值与最小值的和是0.
答案：0
8．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
解析：根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，
则
目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．
答案：18
9．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
解析：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，
∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.当且仅当b＝2a＝2时等号成立．
答案：2
10．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋()2＋()2＝9＋a＋b＋4＝18，所以＋≤3，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等号成立．所以＋的最大值为3.
答案：3
11．设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，
若m＝0，显然－1＜0.
若m≠0，?－4＜m＜0.
∴－4＜m≤0，即m的取值范围为(－4,0]．
(2)要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)是增函数，
∴g(x)max＝g(3)?7m－6＜0，
∴0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，∴m＜0.
综上所述：m的取值范围为.
12．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．
(1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？
(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
解：依题意，G(x)＝x＋2.
设利润函数为f(x)，
则f(x)＝
(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，
当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0
即x2－8x＋7<0，得1当x>5时，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，
∴5综上所述，要使工厂赢利，x应满足1(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6，
而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2，
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．
13．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？
解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图：
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料用×10＝28(g)，
乙种原料用3×10＝30(g)，费用最省．
答：应用甲、乙原料分别为28 g,30 g时，费用最省．
14．变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
解：由约束条件
作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由
解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)∵z＝＝，
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝5－(－3)＝8.∴16≤z≤64.
故z的取值范围为[16,64]．
课件24张PPT。复习课(二) 数 列
等差数列与等比数列的基本运算
数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小．
等差、等比数列的基本公式
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
an＝am＋(n－m)d
an＝amqn－m
前n项和公式
Sn＝
Sn＝(q≠1)
Sn＝na1＋d
Sn＝(q≠1)
求和公式的函数特征
Sn＝n2＋n
Sn＝－qn＋(q≠1)
[典例] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．
[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)，
∴b3＝5，公比q＝2，故bn＝5·2n－3.
(2)证明：由(1)知b1＝，公比q＝2，
∴Sn＝＝5·2n－2－，
则Sn＋＝5·2n－2，
因此S1＋＝，＝＝2(n≥2)．
∴数列是以为首项，公比为2的等比数列．
[类题通法]
对于等差、等比数列的基本运算主要是知三求二问题，解题时注意方程思想、整体思想及分类讨论思想的运用．
1．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝________.
解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.∴q3＝＝8，即q＝2，∴a1＝＝，则S6＝＝.
答案：
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，S7＝＝35.联立两式，解得a1＝2，d＝1，∴a7＝a1＋6d＝8.
答案：8
3．已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.
(1)求{an}的通项；
(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意得方程组
解得a1＝5，d＝4，
∴数列{an}的通项an＝4n＋1.
(2)由an＝4n＋1得，bn＝24n＋1，
∴{bn}是首项为b1＝25，公比为q＝24的等比数列，
于是得，数列{bn}的前n项和Sn＝＝.
等差、等比数列的性质及应用
等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以填空题的形式出现，一般难度较小．
等差、等比数列的主要性质
等差数列
等比数列
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p，
则am＋an＝2ap
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝ap·aq.
特别地，若m＋n＝2p，
则am·an＝a
am，am＋k，am＋2k，…仍是等差数列，公差为kd
am，am＋k，am＋2k，…仍是等比数列，公比为qk
若{an}，{bn}是两个项数相同的等差数列，则{pan＋qbn}仍是等差数列
若{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则{pan·qbn}仍是等比数列
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列(q≠－1或q＝－1且k为奇数)
若数列{an}项数为2n，
则S偶－S奇＝nd，＝
若数列{an}的项数为2n，
则＝q
若数列{an}项数为2n＋1，
则S奇－S偶＝an＋1，
＝
若数列{an}项数为2n＋1，
则＝q
[典例] (1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是________．
(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.
[解析] (1)由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，
∴a3＝35.
同理可得a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)
＝41－2n.
由得n＝20.
∴使Sn达到最大值的n是20.
(2)因为{an}为等比数列，所以am－1am＋1＝a，又由am－1am＋1－2am＝0，从而am＝2.由等比数列的性质可知前(2m－1)项积T2m－1＝a，则22m－1＝128，故m＝4.
[答案] (1)20 (2)4
[类题通法]
关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项a1和公差d(公比q)的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂．
1．等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d，的值分别是________．
解析：设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，则有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，＝＝.
由解得S奇＝288，S偶＝352.因此d＝＝＝8，＝＝.
答案：8，
2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为________．
解析：3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝＝＝＝26.
答案：26
数列的通项及求和
数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度较大．
1．已知递推公式求通项公式的常见类型
(1)类型一 an＋1＝an＋f(n)
把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．
(2)类型二 an＋1＝f(n)an
把原递推公式转化为＝f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解．
(3)类型三 an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，
先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解．
2．数列求和
(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn.
(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列．
(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和．
(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论．
[典例] (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝________.
(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，则an＝________.
(3)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
①求数列{an}的通项公式；
②设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)∵an＋1＝2an＋1，则an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
(2)当n取1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．
即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
将其两边分别相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，
∴an＝a1＋＝2＋.
[答案] (1)2n－1 (2)2＋
(3)解：①因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，(ⅰ)
所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，(ⅱ)
(ⅰ)－(ⅱ)得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．
在(ⅰ)中，令n＝1，得a1＝，满足an＝，
所以an＝(n∈N*)．
②由①知an＝，故bn＝＝n×3n.
则Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，
3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，
两式相减得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，
所以Sn＝＋.
[类题通法]
(1)由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意an的完整表达式，易忽视n＝1的情况．
(2)数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及到等比数列求和时要注意公比q对Sn的影响．
1．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.
解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]，
f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5 050，
f(2)＋…＋f(101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)
＝－5－9－…－201＝＝－5 150，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]
＝－5 150＋5 050＝－100.
答案：－100
2．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．
解析：令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，
则Sn＝9－6n，当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6，∴an＝－.
∴通项公式an＝
答案：an＝
3．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，所以an＝an－1(n≥2)．
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．故an＝·n－1＝2·n(n∈N*)．
(2)因为1－Sn＝an＝n.
所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，因为＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝.
4．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)∵Sn＝an，且a1＝1，
∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1，
即＝，
于是＝3，＝，＝，…，＝，
以上n－1个式子的两端分别相乘，得＝，
∴an＝，n≥2.
又a1＝1适合上式，故an＝，n∈N*.
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d＝________.
解析：依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2.
答案：－2
2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由题设知d＝1，S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，所以a10＝＋9＝.
答案：
3．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________.
解析：由已知，得an＋1－an＝2n，故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．
答案：n(n－1)
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 016项的乘积a1·a2·a3·…·a2 016＝________.
解析：由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，
∴数列{an}是以4为周期的数列，且a1·a2·a3·a4＝1，而2 016＝4×504，∴前2 016项乘积为a1a2a3a4＝1.
答案：1
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.
答案：3n－1
6．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝________.
解析：在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，∴a2＝2，a4＝，∴q2＝＝，∵a3>0，a2＋a4>0，∴q>0，∴q＝，a1＝＝4.
答案：4
7．已知数列{an}中，a1＝1，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．
解析：由题意可得＝(n≥2)，
所以＝，＝，＝，…＝，
上述各式左右相乘得＝(n≥2)，
解得an＝(n≥2)，又a1＝1符合，
所以，通项公式an＝(n∈N*)．
答案：an＝
8．在数列{an}中，an>0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________．
解析：由题意可得，a＝?(2an＋1＋anan＋1＋1)·(2an＋1－anan＋1－1)＝0?an＋1＝?an＋1－1＝?＝－1，∴＝－(n－1)＝－n－1?an＝?＝，∴a1＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.
答案：
9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.
解析：因为an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝3an，即＝4(n≥2)，所以数列a2，a3，a4，…构成以a2＝3S1＝3a1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a6＝a2·44＝3×44＝768.
答案：768
10．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
解析：当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.
答案：－
11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2n－1.
因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，
所以数列{bn－an}的公差d＝2，
所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
所以bn＝2n＋2n－1.
(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)
＝＋
＝n(n＋1)＋2n－1.
12．Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
13．在数列{an}中，an>0，Sn为其前n项和，2Sn＝4an－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足对任意n∈N*，都有b1an＋b2an－1＋…＋bna1＝2n－n－1，求数列{bn}的第5项b5.
解：(1)当n＝1时，2S1＝4a1－1?a1＝.
又
两式相减得：2an＋1＝4an＋1－4an，
即an＋1＝2an，
所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，
an＝2n－2.
(2)由(1)知，an＝2n－2，n∈N*，
在b1an＋b2an－1＋…＋bna1＝2n－n－1中，
令n＝1，则b1a1＝2－－1＝，又a1＝，故b1＝1.
因为b1an＋b2an－1＋…bn－1a2＋bna1＝2n－n－1，①
所以b1an－1＋b2an－2＋…＋bn－2a2＋bn－1a1＝2n－1－n－(n≥2)，
将上式两边同乘公比2得，b1an＋b2an－1＋…＋bn－1a2＝2n－n－1(n≥2)，②
①减去②得，bna1＝，故bn＝n(n≥2)，所以b5＝5.
14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2,4Sn＝an·an＋1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求证：解：(1)∵4Sn＝an·an＋1，n∈N*，
∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4.
当n≥2时，4Sn－1＝an－1·an，
得4an＝an·an＋1－an－1·an.
由题意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4.
①当n＝2k＋1，k∈N*时，a2k＋2－a2k＝4，
即a2，a4，…，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，
∴a2k＝4＋(k－1)×4＝4k＝2×2k；
②当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1－a2k－1＝4，
即a1，a3，…，a2k－1是首项为2，公差为4的等差数列，
∴a2k－1＝2＋(k－1)×4＝4k－2＝2(2k－1)．
综上可知，an＝2n，n∈N*.
(2)证明：∵＝>＝，
∴Tn＝＋＋…＋
>
＝＝.
又∵＝<
＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋
<
＝<.
综上有：课件31张PPT。