1.3 正方形的性质与判定（1）同步作业

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1.3 正方形的性质与判定（1）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（　　）
A. 对边相等 B. 对角线相等 C. 四个角都是直角 D. 对角线互相垂直
2．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
3．如图，已知□ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数是（ ）
A. 750 B. 700 C. 550 D. 500
4．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　）
A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5°
5．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于( )
A. 135° B. 45° C. 22.5° D. 30°
6．将一个正方形和两个正三角形按如图摆放，则∠1+∠2+∠3=( )
A. 3600 B. 1800 C. 2700 D. 1500
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
8．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（　　）
A. 5：8 B. 3：4 C. 9：16 D. 1：2
9．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的周长为28 cm，则矩形MNGC的周长是_____．
12．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，则GF的长为___________
13．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．
14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为_____．
15．如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是_____
16．如图，点E、F是正方形ABCD内两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，则∠BEF的度数_____________.
三、解答题
17．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE=BF。求证： EMBED Equation.DSMT4
18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，求∠BAE与∠AEB的大小
19．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF， BC=5，CF=3，BF=4.
求证：DE∥FC
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。
21．如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．
（1）求证：；
（2）求证： ．
22．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.
（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；
（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.
参考答案
1．D
【解析】A.对边相等，是平行四边形的性质，矩形和正方形都具有；B.对角线相等，是矩形的性质，正方形也有；C.四个角都是直角，是矩形的性质，正方形也有；D.对角线互相垂直，是菱形的性质，正方形具有，而矩形没有，故选D.
2．C
【解析】
试题分析：由正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，可知AB=BC，OA=OC，因此可得AB=，即可求得正方形的面积=.
故选C．
3．B
【解析】∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180° ∠AEF ∠CEF=180° 15° 90°=75°
∴∠D=180° ∠CED ∠ECD=180° 75° 35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等).
故选B.
4．D
【解析】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=135°，
又∵CE=AC，
∴∠E=22.5°．
故选D。
5．C
【解析】试题解析：正方形的对角线.
四边形是菱形.
故选C.
定睛：考查正方形，菱形的性质.
注意：菱形的对角线平分一组对角.
6．D
【解析】分析：设围成的小三角形为，分别用∠1、∠2、∠3表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
详解：如图,
在△ABC中,
∴
∴
即
故选D.
点睛：考查正方形的性质，等边三角形的性质，熟练运用性质是解题的关键.
7．B
【解析】由旋转的性质，得
BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．
在Rt△PBP′中，由勾股定理，得
PP′=，
故选：B．
8．A
【解析】通过拼接，阴影部分有10个小正方形，大正方形有16个小正方形，所以面积比为10:16=5:8选A.
9．D
【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．
详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．
∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．
10．D
【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
11．14cm
【解析】分析：根据正方形的性质得出△DMN和△BNG为等腰直角三角形，从而得出矩形的周长．
详解：∵ABCD为正方形，MN⊥CD，NG⊥BC， ∴△DMN和△BNG为等腰直角三角形，
∴MN=DM，NG=BG， ∴=MN+MC+CG+BG=DM+MC+GC+BG=DC+BC=14cm．
点睛：本题主要考查的是正方形的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键是得出△DMN和△BNG为等腰直角三角形．
12．3
【解析】分析：如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．首先证明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根据GE =BG +BE ，构建方程求出x即可解决问题．
详解：如图，连接GE，作GH⊥CD于H.则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x 2.
∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH，AG=GE=x，
∵∠BAE+∠AGF=90°,∠AGF+∠FGH=90°，
∴∠BAE=∠FGH，
∴△ABE≌△GHF，
∴BE=FH=x 2，AE=GF
在Rt△BGE中,∵GE =BG +BE ，
∴x =4 +(x 2) ，
∴x=5，
∴AB=9，BE=3，
在Rt△ABE中,AE=，即GF=.
故答案为：.
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
13． 112.5°
【解析】如图所示：
∵正方形ABCD中AC是对角线，
∴∠ACF=45°，
∴∠ACE=90°+45°=135°，
∠CAE=，
∠AFC=180°-45°-22.5°=112.5°．
在Rt△ABC中，AC=CE=4,
∴S△ACE= .
14．
【解析】设正方形边长为a，
∵S△ABE=18，
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，
∴a2=36，
∵a＞0，
∴a=6，
在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，
∴BE===．
故答案为：．
点睛：本题考查了正方形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题是关键是理解正方形面积是△ABE面积的2倍
15．8
【解析】分析：图中阴影部分的面积=三角形ABG的面积+三角形DFG的面积，根据正方形的性质和线段的和差关系分别得到两个阴影三角形的底和高，再根据三角形面积公式求解即可．
详解：
阴影部分的面积=三角形ABG的面积+三角形DFG的面积=5×（5-3）÷2+3×（5-3）÷2=5+3=8．
故答案为：8．
点睛：考查了正方形的性质，三角形的面积计算，关键是求出两个阴影三角形的底和高．
16．45°
【解析】分析：连接CF，根据正方形的性质，证明△BCF≌△DCF，然后可得∠BCF＝∠DCF＝∠BCD＝45°，再证明△BEF≌△BCF，即可得到∠BEF＝∠BCF.
详解：连接CF
∵正方形ABCD
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝90°
∵BF＝DF，CF＝CF
∴△BCF≌△DCF （SSS）
∴∠BCF＝∠DCF＝∠BCD＝45°
∵BE＝AB
∴BE＝BC
∵∠EBF＝∠CBF，BF＝BF
∴△BEF≌△BCF （SAS）
∴∠BEF＝∠BCF＝45°
故答案为：45°.
点睛：此题主要考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质，合理选用全等三角形的判定方法是解题关键.
17．证明见解析
【解析】试题分析：根据正方形的性质得出AB=BC，∠EAB=∠CBF=∠ABO=∠BCO=45°，结合AE=BF得出△ABE和△BCF全等，从而得出∠ABE=∠BCF，从而得出答案.
试题解析：在正方形ABCD中，
AB=BC， ，
∵AE=BF ∴
18．15°
【解析】分析：根据正方形和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，然后根据等腰三角形的性质得出答案．
详解：如图，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=AB,∠DAE=60°， ∴∠BAE=150°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=15°．
点睛：本题主要考查的是正方形和等边三角形的性质问题，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据性质得出∠BAE的度数．
19．证明见解析.
【解析】试题分析：根据正方形以及△ECF的性质得出△BCF和△DCE全等，从而得出∠DEC=∠BFC，根据BC、CF和BF的长度得出∠BFC=90°，即∠DEC=90°，最后根据同旁内角互补两直线平行得出答案．
试题解析：∵四边形 ABCD是正方形 ∴∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD，
∵△ECF是等腰直角三角形， ∴∠ECD+∠FCD=90°， CF=CE，
∴∠BCF=∠ECD， ∴△BCF≌△DCE，
在△BFC中，BC=5，CF=3，BF=4， ∴ CF2+BF2=BC2 ∴∠BFC=90°，
∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，∴DE∥FC．　
20．
【解析】试题分析：求证≌，得 再求证即可解此题．
试题解析：∵△ABC为直角三角形,
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC和△BAC中，
∴△DEC≌△BAC,
即AB=DE,∠DEB=30 ，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
答：DF的长为
21．证明见解析
【解析】分析：（1）由ABCD是正方形得到∠BAF+∠DAE=90°，再由∠ADE+∠DAE=90°，得到∠BAF=∠ADE，加上AB=DA，∠AFB=∠DEA，就可以证明△ABF≌△DAE；
（2）由△ABF≌△DAE得到DE=AF=EF+AE，即可得到结论．
详解：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°．
∵ABCD是正方形，DE⊥AG，∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE．
∵ABCD是正方形，∴AB=AD，
在△ABF与△DAE中，∵∠AFB=∠DEA=90°，∠BAF=∠ADE，AB=DA，
∴△ABF≌△DAE．
（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF．
又∵AF=AE+EF，∴AF=EF+FB，∴DE=EF+FB．
点睛：本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，多次转换线段，难度中等．
22．（1）=（2）
【解析】分析：
（1）①按照题中要求补全图形即可；②如图1，连接AM，由已知条件易得MF是AE的垂直平分线，由此可得MA=ME，由四边形ABCD是正方形易得点A和点C关于BD对称，由此可得MA=MC，从而可得ME=MC，进而可得∠MEC=∠MCE；
（2）如图2，由已知易得∠MAD=∠MCD结合∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°，由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°，由此可得∠MAE+∠MEA=90°，从而可得∠AME=90°，结合点F是AE的中点可得MF=AE，结合在Rt△ABE中，BF=AE即可得到BF=MF.
详解：
（1）①按题要求补全图形如下图所示：
②∠MEC=∠MCE，理由如下：
如图1，连接AM，
∵点F是AE的中点，FM⊥AE，
∴MA=ME，
∵点A、点C是关于正方形ABCD对角线BD所在直线的对称点，
∴MA=MC，
∴ME=MC，
∴∠MEC=∠MCE；
（2）如图2，FB=FM，理由如下：
∵点M在正方形ABCD的对角线BD，
∴，
∴=，
∵=，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∴，
∵ 点F是AE的中点，
∴
∵ 在△ABE中，∠ABE=90°，点F是AE的中点，
∴ ，
∴ .
点睛：熟悉“正方形的对称性、线段垂直平分线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”是正确解答本题的关键.
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