6.1.1平行四边形的性质
导学案
学习目标
1.探索平行四边形有关概念和性质，发展探究意识和合作交流的习惯；
2.能运用平行四边形的性质解决简单问题；
一.自学释疑
1. 你是怎样得到的平行四边形是中心对称图形的？
2. 平行四边行具有不稳定性，容易变形，这种特性在生活中具有广泛应用，你能举出一些生活中的实例吗？
二.合作探究
探究点一
问题1：在小学数学中已经对平行四边形有所认识，平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗？结合图形填空.
四边形是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形，记作 .
平行四边形 的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 线段BD就是□ABCD的一条 .
若AD∥HE，AH∥FC，BG∥DE，用正确的方法表示下图中的平行四边形： .
问题2：
平行四边形是一种特殊的四边形，由定义可知它的边有什么特殊性质？通过观察或测量，从边的角度看，平行四边形还有什么性质？从角的角度看，平行四边形还有什么性质？
对称性：平行四边形是 ，两条对角线的交点是它的对称 ；
边：对边 ；
角：对角 ，邻角 .
探究点二
问题1：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD
问题2：已知:如图，在□ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．
拓展提升
1.如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，延长DE,AB相交于点F．求证：CD=BF．
2. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E．求证：BE=CD
随堂检测
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
2.如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55° C.25° D．30°
3．已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠A的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°
4.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
我的收获：
.
参考答案
随堂检测
1.7，
2.A,
3.A
4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB.
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴∠DCG＝∠GCB.
∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，
∴∠ECP＝∠FCP.
在△PCF和△PCE中，
CE＝CF，∠FCP＝∠ECP，CP＝CP，
∴△PCF≌△PCE(SAS).
∴PF＝PE.
课件19张PPT。八年级下册6.1.1 平行四边形的性质12探索平行四边形有关概念和性质，发展探究意识和合作交流的习惯;能运用平行四边形的性质解决简单问题.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图2所示的四边形ABCD是平行四边形.展示与助学平行四边形对边分别平行的四边形几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是平行四边形AD∥BCAD∥BC观察你手中的平行四边形，思考
（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?
（2）除了“两组对边分别平行和邻角互补”以外，猜想它的对边、对角之间有什么关系吗？
(3)你能用什么办法验证你的猜想呢？交流归纳-----探索平行四边形的性质ABCD探究点二
问题1：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD
证明：连接AC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AC=CA
∴?ABC≌?CDA
∴AB=CD，BC=DA；∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD平行四边形的性质(数学表达式)∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD， AD∥BC
AB = CD， AD= BC∵四边形ABCD是平行四边
∴ ∠A=∠C， ∠B=∠D平行四边形的对角相等；平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角相等、邻角互补.探究点二
问题2：已知:如图，在□ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：BE=DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAE=∠DCF．
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE=DF．1.填空：
（1）平行四边形 平行， 相等， 相等；
（2）如下图 中，EF∥BC, GH∥AB, EF与GH相交于点O，则图中共有 个平行四边形.抢答3、□ ABCD中, AB=3cm, BC=5cm， 则AD= ，CD= .4、在□ABCD中,∠A+∠C=120°，∠B= ；∠D= ；5、在 ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（ ）A 、1∶2∶3∶4 B、1∶2∶2∶1 C、2∶2∶1∶1 D、1∶2∶1∶2抢答6.已知 ABCD的周长是30，若AB=10，则BC=________．
7．已知 ABCD的周长是20，△ABC的周长为17，则对角线AC的长是_______． 8、已知在平行四边形ABCD中，∠B=600，∠CAD=300 ∠BAC＝ . 9.如图所示，已知点E，F在 ABCD的对角线AC上，且AE=CF．
求证：BE=DF．10.如图，四边形ABCD是平行四边形，求：
（1）∠ADC，∠BCD的度数；
（2）边AB，BC的长度. 1.如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，延长DE,AB相交于点F．求证：CD=BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，即DC∥AF
∴∠1=∠F，∠C=∠2
∵E为BC的中点，
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(SAS)．
∴CD=BF2. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E．求证：BE=CD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD．
∴∠DAE=∠BEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠BAE=∠BEA．
∴AB=BE．
又∵AB=CD，
∴BE=CD．1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形AD EF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
2.如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55° C ．25° D．30°7A3．已知□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠A的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°A4.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB.
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴∠DCG＝∠GCB.
∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，
∴∠ECP＝∠FCP.
在△PCF和△PCE中，
CE＝CF，∠FCP＝∠ECP，CP＝CP，
∴△PCF≌△PCE(SAS).
∴PF＝PE.平行四边形的性质
对称性：平行四边形是 中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；
边：对边平行且相等；
角：对角相等，邻角互补.再见6.1.1平行四边形的性质
课后作业
1．如图，在?ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
2． 如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，则?ABCD的周长等于 ．
3． 如图，把?ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝ ．
4． 如图，在?ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF.
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)求证：DE∥BF.
参考答案
1.D,
2.20,
3.55o
4. 解：(1)△ABF≌△CDE，△AED≌△CFB，△AD C≌△CBA.
(2)证明：∵四边 形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∴∠BAF＝∠DCE.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△ABF和 △CDE中，
AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，AF＝CE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)．
∴∠AFB＝∠CED.
∴DE∥BF.
6.1.1平行四边形的性质
预习案
预习目标
了解平行四边形有关概念和性质.
一.预习要点
1.平行四边形：两组对边 的四边形
几何语言表述定义:∵AD ∥BC，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的表示方法：四边形ABCD是平行四边形，记作
2.平行四边形的对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段.
3.平行四边形的性质：
对称性：平行四边形是 对称图形，两条对角线的交点是它的 ；
边：对边 ；
角：对角 ，邻角 .
二.预习检测
1.在□ABCD中，已知∠A=130°，则∠B= ，∠C= ，∠D＝ .
2.在□ABCD中，AB =2,BC=3，则这个平行四边形的周长是______.
3.已知四边形ABCD是平行四边形.
（1）若周长为30㎝，CD＝6㎝，则AB＝ ㎝；BC＝ ㎝；AD＝ ㎝.
（2）若∠A＝70°，则∠B＝ ,∠C＝ ； ∠D＝ .
（3）若∠A＋∠C=80°，则∠A＝ ，∠D＝ .
思学质疑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区.
参考答案
预习要点
分别平行；□ABCD；中心，对称中心；平行且相等；相等，互补.
预习检测
1.∠B=50°，∠C=130°，∠D＝50°.
2.周长是10.
3.已知四边形ABCD是平行四边形.
（1 AB＝6㎝；BC＝9㎝；AD＝9㎝.
（2）∠B＝110°,∠C＝70°； ∠D＝110°.
（3）∠A＝40°，∠D＝140° .
6.1.2平行四边形的性质
导学案
学习目标
1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2. 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.
一.自学释疑
□ABCD的对角线AC与BD交于O，那么□ABCD是以O为对称中心的中心对称图形，结合图形回答下列问题.
1.线段AB的对应线段是什么?它们有什么关系？为什么？
2. ∠ABC的对应角是什么？它们有什么关系？为什么？
3.点A的对应点是什么？它们与对称中心有什么关系？
二.合作探究
探究点一
问题1：是否对于任何平行四边形对角线的交点就是每一条对角线的中点？如果是，请说明理由.
2.用一句话和符号语言把平行四边形的这条性质表达出来.
问题2：
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF.
探究点二
问题1：如图, 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90o,OA=6,0B=3.求AD和AC的长度.
问题2：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长6cm，求这个平行四边形各边的长．
强化训练
1. 如图,□ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
2. 在□ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
随堂检测
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图，?ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?ABCD的两条对角线的和是( )
A．18 B．28 C．36 D．46
3． 如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝ cm.
4．如图，已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，且△AOB的周长l＝23，求AB的长．
我的收获：
.
参考答案
探究点一
问题1：
1.解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC,
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
又∵AB=DC,
∴△AOB≌△COD.
∴AO=CO,BO=DO.
2. 解：平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.
符号语言 ∵ABCD是平四边形，∴ OA=OC，OB=OD.
问题2：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AB∥CD.
∴∠ABO=∠CDO.
又∵∠BOE=∠DOF ,
∴△BOE≌△DOF.
∴OE=OF.
探究点二
问题1：
解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
∴OD=OB=3
∠ADB=90o
在Rt?AOD中，
AC=2OA=2×6=12
所以，AD和AC的长度分别为和12.
问题2：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长6cm，
∴AB－AD＝6cm..
又∵□ABCD的周长为60cm，
∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝18cm，AD＝BC＝12cm.
强化训练
1. 解：BE＝DF， BE∥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
在△OFD和△OEB中，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
2. 解：（1）在?ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)S△ABP＝S△CBP.在?ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.
随堂检测
1.B，
2.C,
3.
4. 解：∵?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，
∴AO＝AC＝6，BO＝BD＝9.
又∵△AOB的周长l＝23，
∴AB＝l－(AO＋BO)
＝23－(6＋9)＝8.
课件18张PPT。八年级下册6.1.2 平行四边形的性质12掌握平行四边形对角线互相平分的性质;利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.平行四边形的性质：
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的中心；
边：对边平行且相等；
角：对角相等，邻角互补.平行四边形对角线的性质：
对角线：对角线相互平分.
符号语言：∵在□ABCD中，AC与BD交于O，∴OA=OC，OB=OD. 1.在□ABCD中，AC与BD交于O，下列结论不一定成立的是（ ）
A.BO=DO B.CD=AB C. ∠BAD=∠BCD D.AC=BD
2.在□ABCD中的对角线AC=5，则它的两条对角线的长可以是（ ）
A.12和2 B.3和4 C.4和6 D.4和8
3. 如果□ABCD的对角线相交于O则图中全等三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对DDD探究点一
问题1：是否对于任何平行四边形对角线的交点就是每一条对角线的中点？如果是，请说明理由.
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC,
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
又∵AB=DC,
∴△AOB≌△COD.
∴AO=CO,BO=DO. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.
∵ABCD是平四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.探究点一
问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AB∥CD.
∴∠ABO=∠CDO.
又∵∠BOE=∠DOF ,
∴△BOE≌△DOF.
∴OE=OF.探究点二
问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90o,OA=6,0B=3.
求AD和AC的长度.
解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
∴OD=OB=3
∠ADB=90o
在Rt?AOD中，
AC=2OA=2×6=12
所以，AD和AC的长度分别为 和12.问题2：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长6cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长6cm，
∴AB－AD＝6cm..
又∵□ABCD的周长为60cm，
∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝18cm，AD＝BC＝12cm. 1.如图,□ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF， BE∥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，OD＝OB，∠DOF＝∠BOE，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF. 2 在□ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线 BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解：（1）在□ABCD中，AO＝CO，
设点B到AC的距离为h，
则S△ABO＝ AO ? h，S△CBO＝ CO ? h，
∴S△ABO＝S△CBO；2 在□ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线 BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解： (2)S△ABP＝S△CBP.
在□ABCD中，点A、C到BD的距离相等，
设为h，则S△ABP＝ BP ? h，S△CBP＝ BP ? h，
∴S△ABP＝S△CBP.1．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图，?ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?ABCD的两条对角线的和是( )
A．18 B．28 C．36 D．46BC3．如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝ cm.4．如图，已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，且△AOB的周长l＝23，求AB的长．
解：∵?A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，
∴AO＝ AC＝6，BO＝ BD＝9.
又∵△AOB的周长l＝23，
∴AB＝l－(AO＋BO)
＝23－(6＋9)＝8.平行四边形的性质
对称性：平行四边形是 中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；
边：对边平行且相等；
角：对角相等，邻角互补.
对角线：相互平分再见6.1.2平行四边形的性质
课后作业
1．如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是( )
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
2．如图，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
3．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为 ．
4．已知，如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且BE∥DF.求证：BE＝DF.
参考答案
1.C，
2.A，
3.20.
4.证明：∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(AAS)．
∴BE＝DF.
6.1.2平行四边形的性质
预习案
预习目标
理解平行四边形对角线互相平分的性质；
一.回顾旧知
平行四边形的性质：
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的中心；
边：对边平行且相等；
角：对角相等，邻角互补.
二.预习要点
平行四边形对角线的性质：
对角线：对角线相互平分.
符号语言：∵在□ABCD中，AC与BD交于O，∴OA=OC，OB=OD.
三.预习检测
1.在□ABCD中，AC与BD交于O，下列结论不一定成立的是（ ）
A.BO=DO B.CD=AB C. ∠BAD=∠BCD D.AC=BD
2.在□ABCD中的对角线AC=5，则它的两条对角线的长可以是（ ）
A.12和2 B.3和4 C.4和6 D.4和8
3. 如果□ABCD的对角线相交于O则图中全等三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
思学质疑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
.
参考答案
预习要点
分别平行；□ABCD；中心，对称中心；平行且相等；相等，互补.
预习检测
1. D
2.D
3.D
