6.2.1平行四边形的判定
导学案
学习目标
1. 探索并证明两组对边分别相等和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
2. 利用两组对边分别相等和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理解决有关问题.
一.自学释疑
1. 两对长度分别相等的木条，在同一平面内，将相等的木条成对边能摆成一个平行四边形，如果这四根木条不在同一平面内，将相等的木条成对边，能摆成一个平行四边形吗？
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；如果一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？
二.合作探究
探究点一
问题1：工具:两对长度分别相等的笔.
动手:在同一平面内，将相等的笔成对边摆成一个平行四边形.
思考：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD, BC=AD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
结论： 的四边形是平行四边形.
问题2：工具: 两根同样长的木条AB、CD.
动手: 将两根同样长的木条AB、CD平行放置，再用木条AD、BC加固.
思考：四边形ABCD是平行四边形吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
结论： 的四边形是平行四边形.
探究点二
问题1：如图，已知AC是□ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，求证：四边形BMDN是平行四边形.
问题2：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形.
强化训练
1.已知四边形ABCD的四条边长依次为a，b，c，d，且满足(a－c) 2＋(b－d) 2＝0，求证：AB∥CD.
2. 如图，等边三角形ABC的边长为a，点P为△ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC那么，PD+PE+PF的值为一个定值，这个定值是多少？请你说明理由.
随堂检测
1．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是( )
A．任意四边形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
2. 如图所示 ，四个全等的三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形的个数（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
4. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．
我的收获：
.
参考答案
探究点一
问题1：证明：连接BD，
在?ABD和?CDB中
∵AB=CD, BC=AD，BD=DB
∴?ABD≌?CDB
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴四边形ABCD是平行四边形
结论：两组对边分别相等.
问题2：
证明：连接AC，
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA
又∵AB=CD，AC=CA
∴?ABC≌?CDA
∴BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
结论：一组对边平行且相等.
研究点二
问题1：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB
∴∠DAN=∠BCM
又∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，∠DNA=∠BMC=90°
∴△AND≌△CMB，
∴DN＝BM .
∴四边形BMDN是平行四边形.
问题2：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB
又∵点E，F分别是AD，BC的中点
∴ED= ? AD,FB= ?CB
∴ED=FB, ED∥FB
∴四边形BFDE是平行四边形.
强化训练
1. 证明：∵(a－c) 2＋(b－d) 2＝0，
∴a－c＝0，b－d＝0.
∴a＝c，b＝d.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD.
2. 解：PD+PE+PF=a.理由如下：
如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，
∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等边三角形，
∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，
∴△PFG是等边三角形，
同理可得△PDH是等边三角形，
∴PF=PG，PD=DH.
又∵PD∥AB，PE∥BC，
∴四边形BDPG是平行四边形，
∴PG=BD，
∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a.
随堂检测
1.B
2.C
3.B
4.证明：∵AB∥CD,
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE.
∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中，
∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，∠BAE＝∠DCF，
∴△AEB≌△CFD(ASA)．
∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
课件16张PPT。八年级下册6.2.1 平行四边形的判定12探索并证明两组对边分别相等和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;利用两组对边分别相等和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理解决有关问题.1.在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD=BC
C.AB ∥CD,AB=CD D.AB∥CD,AD=BC
2.把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成不同的平行四边形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件 （只需填一个 条件即可）.
4.□ABCD中，已知AB=CD=4，BC=6,则当AD= 时，四边形ABCD是平行四边形. DCAD=BC6探究点一
问题1：工具:两对长度分别相等的笔.
动手:在同一平面内，将相等的笔成对边摆成一个平行四边形.
思考：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？探究点一
问题1：已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD, BC=AD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接BD，
在?ABD和?CDB中
∵AB=CD, BC=AD，BD=DB
∴?ABD≌?CDB
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴四边形ABCD是平行四边形
结论： 的四边形是平行四边形.两组对边分别相等问题2：工具: 两根同样长的木条AB、CD.
动手: 将两根同样长的木条AB、CD平行放置，再用木条AD、BC加固.
思考：四边形ABCD是平行四边形吗？问题2：已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA
又∵AB=CD，AC=CA
∴?ABC≌?CDA
∴BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
结论： 的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等探究点二
问题1：如图，已知AC是□ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
求证：四边形BMDN是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB
∴∠DAN=∠BCM
又∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，∠DNA=∠BMC=90°
∴△AND≌△CMB，
∴DN＝BM .
∴四边形BMDN是平行四边形.问题2：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB
又∵点E，F分别是AD，BC的中点
∴ED= AD,FB= CB
∴ED=FB, ED∥FB
∴四边形BFDE是平行四边形. 1.已知四边形ABCD的四条边长依次为a，b，c，d，且满足(a－c) 2＋(b－d) 2＝0，
求证：AB∥CD.
证明：∵(a－c) 2＋(b－d) 2＝0，
∴a－c＝0，b－d＝0.
∴a＝c，b＝d.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD.2.如图，等边三角形ABC的边长为a，点P为△ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC那么，PD+PE+PF的值为一个定值，这个定值是多少？请你说明理由.
解：PD+PE+PF=a.理由如下：
如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，
∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等边三角形，
∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，
∴△PFG是等边三角形，
同理可得△PDH是等边三角形，
∴PF=PG，PD=DH.
又∵PD∥AB，PE∥BC，
∴四边形BDPG是平行四边形，∴PG=BD，
∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a.1．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是( )
A．任意四边形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
2. 如图所示 ，四个全等的三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形的个数（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个BC3． 若点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种B4．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中，
∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，∠BAE＝∠DCF，
∴△AEB≌△CFD(ASA)．
∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．平行四边形的判定定理：
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.再见6.2.1平行四边形的判定
课后作业
1．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C D．AD∥BC，AD＝BC
2.有两块全等的含30°的三角板，拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，在平面直角坐标系中，以A(－1，0)，B(2，0)，C(0，1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是( )
A．(3，1) B．(－4，1) C．(1，－1) D．(－3，1)
4. 如图，在?ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，
∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60 °.
∴∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE，
即∠DCF＝∠BAE.
∴△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.
∴四边形BEDF是平行四边形．
6.2.1平行四边形的判定
预习案
预习目标
能证明两组对边分别相等和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
一.回顾旧知
平行四边形：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
平行四边形的性质：
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的中心；
边：对边平行且相等；
角：对角相等，邻角互补；
对角线：对角线相互平分.
二.预习要点
平行四边形的判定方法：
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
三.预习检测
1.在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD=BC
C.AB ∥CD,AB=CD D.AB∥CD,AD=BC
2.把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成不同的平行四边形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件 （只需填一个条件即可）.
4.□ABCD中，已知AB=CD=4，BC=6,则当AD= 时，四边形ABCD是平行四边形.
思学质疑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
.
参考答案
预习检测
1. D
2.C
3. AD=BC
4. 6.
6.2.2平行四边形的判定
导学案
学习目标
1. 探索并证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理；
2. 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理解决有关问题.
一.自学释疑
1.教材证明小明的猜想，是先证明一组对边平行且相等进行判定的，你认为可以
（1）先证明两组对边分别平行，再根据定义判定呢？
（2）先可以证明两组对边相等呢？
2.平行四边形的性质和判定定理有什么区别和联系？
3.你认为两组对角相等的四边形是平行四边形吗？
二.合作探究
探究点一
问题1：
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？
思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？
问题2：小明是这样做的，如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.你同意他的想法吗？你能证明他的结论吗？
归纳： 的四边形是平行四边形.
问题3：如图，在□ ABCD中，O是AC，BD的交点，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由.
探究点二
问题1：已知：如图,在平行四边形ABCD 中，对角线AC与BD交于点O,点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形
问题2：如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度运动，若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF是平行四边形？
强化训练
1.已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
2.已知如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到E，延长CB到F，使得DE=BF，连接EF，分别交AB、CD于点M、N，连结AN、CM．
（1）求证：△DEN≌△BFM；（2）试判断四边形ANCM的形状，并说明理由．
随堂检测
1．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中不能判断四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．OB＝OD B．AB∥CD
C．AB＝CD D．∠ADB＝∠DBC
2．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，△PCD的面积将( )
A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动
3.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF D.∠AED=∠CFB
4. 已知：如图，在□ ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，CF⊥BD垂足为F，求证：四边形AECF为平行四边形．
我的收获：
.
参考答案
探究点一
问题2：
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是 平行四边形.
证明：∵OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB，
∴△AOB≌△COD.
∴AB=DC，∠BAO=∠DCO，
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
结论：对角线互相平分.
问题3: 解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵在平行四边形ABCD中,O是AC,BD的交点
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形对角线互相平分）
∵点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点
∴OE＝?OA，OF＝?OB，OG＝?OC，OH＝?OD
∴OE＝OG，OF＝OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
探究点二
问题1：
证明：∵ AC、BD是□ ABCD的对角线.
∴ OA=OC，OB=OD.
又∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
问题2：
解：存在.
要使四边形AECF为平行四边形，则需AO＝OC，EO＝OF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD＝6 cm.
∴EO＝6－t，OF＝2t.
由题意可得0≤t≤3.
∴6－t＝2t.
解得t＝2.满足0≤t≤3.
∴存在这一时刻，当t为2时，四边形AECF是平行四边形．
强化训练
1. 证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF＝OD，OE＝OC，
∴EO＝FO，
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
2. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，∠ADC=∠ABC，
∴∠E=∠F，∠EDN=∠FBM，
∴△DEN≌△BFM（ASA）．
（2）解：四边形ANCM是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD即AM∥CN．
又由（1）知，△DEN≌△BFM，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形．
随堂检测
1.C
2.C
3.B
4. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC，AD∥BC
∴ ∠ADB=∠CBD
∵ AE⊥BD，FC⊥BD
∴ ∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF
∴ △AED≌△CFB，∴AE=CF
∴ 四边形AECF是平行四边形
课件20张PPT。八年级下册6.2.2 平行四边形的判定12探索并证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理;利用对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理解决有关问题.1.在四边形ABCD中，对角线AC,B D相交于点O，且OA=OC,OB=OD,下列结论不一定成立的是（ ）
A.AD=BC B.AB//CD
C.∠DAB=∠BCD D.∠DAB=∠ABC
2、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O ，且OA=OC，如果要使四边形ABCD是平行四边形，则还需补充的条件是（ ）
A． AC⊥BD B. OA=OB C.OC=OD D.OB=OD
3、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． 一组对角相等 B. 对角线互相平分
C． 一组对边相等 D. 对角线互相相等DDB平行四边形的判定方法：
1.定义法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.判定定理
⑴两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理：
对角线相互平分的四边形是平行四边形. 探究点一
问题1：工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？
思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？问题2：小明是这样做的，如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.你同意他的想法吗？你能证明他的结论吗？
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是 平行四边形.
证明：∵OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB，
∴△AOB≌△COD.
∴AB=DC，∠BAO=∠DCO，
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.本题还有哪些证明方法？还可以证明两组对边平行，根据定义判定，
也可以证明两组对边相等，根据判定定义判定.归纳：对角线互相平分的四边形是平行四边形.问题3：如图，在□ ABCD中，O是AC，BD的交点，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由.
解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵在平行四边形ABCD中,O是AC,BD的交点
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形对角线互相平分）
∵点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点
∴OE＝ OA，OF＝ OB，OG＝ OC，OH＝ OD
∴OE＝OG，OF＝OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）探究点二
问题1：问题1：已知：如图,在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形
证明：∵ AC、BD是□ ABCD的对角线.
∴ OA=OC，OB=OD.
又∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形问题2：如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度运动，若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF是平行四边形？
解：存在.
要使四边形AECF为平行四边形，则需AO＝OC，EO＝OF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD＝6 cm.
∴EO＝6－t，OF＝2t.
由题意可得0≤t≤3.
∴6－t＝2t.
解得t＝2.满足0≤t≤3.
∴存在这一时刻，当t为2时，四边形AECF是平行四边形．1.已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO ，E、F分别是OC、OD中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
AO＝OB，
∠AOC＝∠BOD，
∠C＝∠D，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；1.已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO ，E、F分别是OC、OD中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明： (2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF＝ OD，OE＝ OC，
∴EO＝FO，
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．2. 已知如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到E，延长CB到F，使得DE=BF，连接EF，分别交AB、CD于点M、N，连结AN、CM．
（1）求证：△DEN≌△BFM；
（2）试判断四边形ANCM的形状，并说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，∠ADC=∠ABC，
∴∠E=∠F，∠EDN=∠FBM，
∴△DEN≌△BFM（ASA）．2. 已知如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到E，延长CB到F，使得DE=BF，连接EF，分别交AB、CD于点M、N，连结AN、CM．
（1）求证：△DEN≌△BFM；
（2）试判断四边形ANCM的形状，并说明理由．
（2）解：四边形ANCM是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD即AM∥CN．
又由（1）知，△DEN≌△BFM，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形．1．如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中不能判断四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．OB＝OD B．AB∥CD
C．AB＝CD D．∠ADB＝∠DBC
2．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，△PCD的面积将( )
A．变大 B．变小 C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
CC3．如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF D.∠AED=∠CFBB4．已知：如图，在□ ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，CF⊥BD垂足为F，
求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC，AD∥BC
∴ ∠ADB=∠CBD
∵ AE⊥BD，FC⊥BD
∴ ∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF
∴ △AED≌△CFB，
∴AE=CF
∴ 四边形AECF是平行四边形平行四边形的判定方法：
1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4．对角线互相平分的四边形是平行四边形.再见6.2.2平行四边形的判定
课后作业
1．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）．
A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
2．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）．
A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;
B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;
C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;
D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
3．如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点．当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA所得到的四边形ABCD始终为 ．
4. 已知：如图，在□ABCD中，点M,N分别在AD和BC上，点E,F在BD上，且DM=BN,DF=BE.
求证：四边形MENF是平行四边形.
参考答案
1.C
2.D，
3.平行四边形；
4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠MDF=∠NBE.
∵DM=BN,DF=BE,
∴△MDF≌△NBE.
∴MF=NE,∠MFD=∠NEB.
∴∠MFE=∠NEF.
∴MF∥NE.
∴四边形MENF是平行四边形.
6.2.2平行四边形的判定
预习案
预习目标
学会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理；
一.回顾旧知
平行四边形的判定方法：
1.定义法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.判定定理
⑴两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
二.预习要点
平行四边形的判定定理：
对角线相互平分的四边形是平行四边形.
三.预习检测
1.在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且OA=OC,OB=OD,下列结论不一定成立的是（ ）
A.AD=BC B.AB//CD
C.∠DAB=∠BCD D.∠DAB=∠ABC
2、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=OC，如果要使四边形ABCD是平行四边形，则还需补充的条件是（ ）
A． AC⊥BD B. OA=OB C.OC=OD D.OB=OD
3、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． 一组对角相等 B. 对角线互相平分
C． 一组对边相等 D. 对角线互相相等
思学质疑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
.
参考答案
预习检测
1.D
2.D
3.B
6.2.3平行四边形的判定
导学案
学习目标
1. 探索并证明夹在平行线间的平行线段相等的性质；
2. 利用平行线间的平行线段相等的性质解决有关问题，理解平行线间的距离的含义.
一.自学释疑
1.直线外一点与直线引所有点的连线中,什么线段最短？
2.两平行线之间的公垂线段可以作多少条?它们之间有什么关系？
3.两平行线间的距离与两点间的距离,点到直线的距离有什么区别与联系？
二.合作探究
探究点一
问题1：下图是一段笔直的铁轨，通过观察，两根笔直的铁轨间有什么样的位置关系？夹在铁轨之间的枕木又有什么样的位置关系？两个枕木与两根笔直铁轨围成一个什么几何图形？根据这个图形的性质，夹在两根笔直的铁轨之间的枕木是一样长吗？
问题2：已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图，
（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？
（2）比较线段AC，BD的长.
归纳：若两直线互相平行，其中一条直线上 到另一条直线的距离 ，这个距离称为平行线间的 .
探究点二
问题1：夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？请你说明理由.
问题2：以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明你的画得方法和其中的道理.
探究点三：
问题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，且AE＝CF.求证：BE＝DF.
问题2: 如图，已知四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
强化训练
1. 在?ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH.
2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO.
随堂检测
1.平行线之间的距离是指( )
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2.两条平行线a、b被第三条直线c所截得到的同旁内角的平分线的交点到直线c的距离是2cm，则a、b之间的距离是（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
3.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4 cm，S△ABC＝12 cm2，求AB与DC间的距离．
4. 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)请连接BF，CE，试证明四边形BECF是平行四边形．
我的收获：
.
参考答案
探究点一
问题1
解:笔直的铁轨彼此平行，而夹在铁轨之间的枕木也是彼此平行的，两个哪个枕木与两根铁轨围成一个平行四边形，平行四边形对边相等，因此，夹在笔直的铁轨之间的枕木是相等的.
问题2：
解：（1）AC∥BD
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴∠ACD+∠BDC=90°+90°=180°
∴AC∥BD
（2）AC=BD
∵AB∥CD
AC∥BD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD
归纳：若两直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离.
研究点二
问题1：
解：相等.
如图，m1∥m2
作任意两条平行线m3、m4分别交m1于点A 、B，交m2于点D、C，
可以得知四边形 ABCD 为平行四边形
所以AC=BD
因此，夹在两平行线间的线段相等。
问题2：
略
探究点三
问题1
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD.
∴∠BCA＝∠DAC.
又∵AE＝CF，
∴AE＋AC＝CF＋AC，即EC＝AF.
在△BCE和△DAF中，
∴△BCE≌△DAF(SAS)．
∴BE＝DF.
问题2
解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，且AD＝EF.
∵四边形BEFC为平行四边形，
∴EF∥BC，且EF＝BC.
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
强化训练
1. 证明：∵在?ABCD中，BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD.
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD.
∴∠BCE＝∠E.
∴BE＝BC.
又∵BH⊥EC，
∴CH＝EH.
2. 证明：(1)∵BE＝DF，
∴BE－EF＝DF－EF，即BF＝DE.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90 °.
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵△ADE≌△CBF，
∴∠ADE＝∠CBF.
∴AD∥BC.
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO.
随堂检测
1.B
2.B
3. 解：S△ABC＝?AB?BC＝?×4?BC＝12，
解得BC＝6.
∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴AB与DC间的距离等于BC的长度．
∴AB与DC间的距离等于6 cm.
4. 证明：(1)∵CF∥BE，∴∠EBD＝∠FCD.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(ASA)．
(2)证法1：由△BDE≌△CDF，得ED＝FD.
又∵BD＝CD，
∴四边形BECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
证法2：由△BDE≌△CDF，得BE＝CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
课件20张PPT。八年级下册6.2.3 平行四边形的判定12探索并证明夹在平行线间的平行线段相等的性质;利用平行线间的平行线段相等的性质解决有关问题，理解平行线间的距离的含义.平行四边形的判定方法：
1.定义法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.判定定理
⑴两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
⑶对角线相互平分的四边形是平行四边形.1.若两直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离；
2.夹在两条平行线间的平行线段相等.1. 两条平行线之间的公垂线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．无数条 D．以上说法均不对
2.两平行线之间的距离是指它们的( )
A.垂线 B.公垂线段
C.公垂线 D.公垂线段的长度
3. 在同一平面内,若直线a∥b∥c,且直线a到b的距离为5cm,直线b到c的距离为3cm,则直线a到c的距离是( )
A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D. 以上说法均不对CDC探究点一
问题1：下图是一段笔直的铁轨，通过观察，两根笔直的铁轨间有什么样的位置关系？夹在铁轨之间的枕木又有什么样的位置关系？两个枕木与两根笔直铁轨围成一个什么几何图形？根据这个图形的性质，夹在两根笔直的铁轨之间的枕木是一样长吗？解:笔直的铁轨彼此平行，而夹在铁轨之间的枕木也是彼此平行的，两个哪个枕木与两根铁轨围成一个平行四边形，平行四边形对边相等，因此，夹在笔直的铁轨之间的枕木是相等的.问题2：已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图，
（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？
（2）比较线段AC，BD的长.
解：（1）AC∥BD
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴∠ACD+∠BDC=90°+90°=180°
∴AC∥BD
（2）AC=BD
∵AB∥CD，AC∥BD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD归纳：若两直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离.探究点二
问题1：夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？请你说明理由.
解：相等.
如图，m?∥m?
作任意两条平行线m?、m4分别交m?于点A 、B，交m?于点D、C，
可以得知四边形 ABCD 为平行四边形
所以AC=BD
因此，夹在两平行线间的线段相等.问题2：以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明你的画得方法和其中的道理.
每组对边相等吗？为什么？
这样的四边形是什么图形？ 探究点三：
问题1：如图，四边形ABCD是平行四边形 ，点E，A，C，F在同一直线上，且AE＝CF.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD.
∴∠BCA＝∠DAC.
又∵AE＝CF，
∴AE＋AC＝CF＋AC，即EC＝AF.
在△ BC E和△DAF中，BC＝DA，∠BCE＝∠DAF，EC＝FA，
∴△BCE≌△DAF(SAS)．
∴BE＝DF.问题2： 如图，已知四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形吗？ 为什么？
解：四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，且AD＝EF.
∵四边形BEFC为平行四边形，
∴EF∥BC，且EF＝BC.
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．1. 在?ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，
求证：CH＝EH.
证明：∵在?ABCD中，BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD.
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD.
∴∠BCE＝∠E.
∴BE＝BC.
又∵BH⊥EC，
∴CH＝EH.2.如图，在 四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若A C与BD相交于点O，求证：AO＝CO.
证明：(1)∵BE＝DF，
∴BE－EF＝DF－EF ，即BF＝DE.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90 °.
在Rt△ADE与Rt△CBF中，AD＝CB，DE＝BF，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)．2. 如图，在 四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若A C与BD相交于点O，求证：AO＝CO.
证明： (2)∵△ADE≌△CBF，
∴∠ADE＝∠CBF.
∴AD∥BC.
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行 四边形．
∴AO＝CO.1.平行线之间的距离是指( )
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2.两条平行线a、b被第三条直线c所截得到的同旁内角的平分线的交点到直线c的距离是2cm，则a、b之间的距离是（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cmBB3．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4 cm，S△ABC＝12 cm2，求AB与DC间的距离．
解：S△ABC＝ AB?BC＝ ×4?BC＝12，
解得BC＝6.
∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴AB与DC间的距离等于BC的长度．
∴AB与DC间的距离等于6 cm.4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)请连接BF，CE，试证明四边形BECF是平行四边形．
证明：(1)∵CF∥BE，∴∠EBD＝∠FCD.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(ASA)．
(2) 由△BDE≌△CDF，得ED＝FD.
又∵BD＝CD，
∴四边形BECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．1.若两直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离；
2.夹在两条平行线间的平行线段相等. 再见6.2.3平行四边形的判定
课后作业
1．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
2. 如图，已知l?∥l?，AB∥CD，CE⊥l?于点E，FG⊥l?于点G，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D． l?与l?的距离就是线段CD的长度
3. 如图，已知□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F，求证：四边形AECF是平行四边形．
4. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E，F是AC上的点，CF=AE．?请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
参考答案
1.C
2.D，
3.证明：∵已知□ABCD中，∠BAD=∠DCB，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠3，
∵已知□ABCD中，AD∥BC，∴∠3=∠5，∠2=∠6，
∴∠3=∠6，∴AE∥CF，
又∵AF∥BC，∴四边形AECF是平行四边形．
4. 解：猜想：BE∥DF，BE=DF．
证明：如图，∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∠1=∠2，
又∵CE=AF，∴△BCE≌△DAF，∴BE=DF，∠3=∠4．
∴BE∥DF．
6.2.3平行四边形的判定
预习案
预习目标
理解证明夹在平行线间的平行线段相等的性质；
一.回顾旧知
平行四边形的判定方法：
1.定义法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.判定定理
⑴两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
⑶对角线相互平分的四边形是平行四边形.
二.预习要点
1.若两直线互相平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离；
2.夹在两条平行线间的平行线段相等.
三.预习检测
1. 两条平行线之间的公垂线段有（ ）
A．1条 B．2条 C．无数条 D．以上说法均不对
2.两平行线之间的距离是指它们的( )
A.垂线 B.公垂线段
C.公垂线 D.公垂线段的长度
3. 在同一平面内,若直线a∥b∥c,且直线a到b的距离为5cm,直线b到c的距离为3cm,则直线a到c的距离是( ).
A.2cm B.8cm， C.2cm或8cm D. 以上说法均不对
思学质疑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区.
参考答案
预习检测
1.C
2.D
3.C
