6.3三角形的中位线
导学案
学习目标
1. 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同；
2. 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算.
一.自学释疑
1.三角形的中位线与中线有什么区别？
2.一个三角形你能作出几条中位线？这些中位线围成的三角形与原三角形比较，其周长和面积有什么关系？
二.合作探究
探究点一
问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
问题2：什么是三角形的中位线？ 它与三角形的中线的区别？三角形的中位线有什么特征？请你说明理由.
探究点二
问题1：如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请你说明理由
问题2：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
温馨提示：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．
探究点三
问题1： 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．
求证：EF= ?（BC-AD）．
问题2： 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长．
强化训练
1.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,求∠PFE的度数.
2.如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
小明的思路是:在图①中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.
问题:如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.
随堂检测
1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( C )
A. B．3 C．6 D．9
2.如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
3．如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是( )
A．DE＝DF
B．EF＝AB
C．S△ABD＝S△ACD
D．AD平分∠BAC
4．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于( )
A．42° B．48° C．52° D．58°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位线，F在DE延长线上，EC＝EF，则线段DF的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
6.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN.
我的收获：
.
参考答案
探究点一
问题1
操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC
（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE
（3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得到四边形BCFD.
四边形BCFD是平行四边形
问题2：
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段.
三角形的中线：连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点??
∴DE∥BC，DE=? BC．
已知：如图（1），DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE=?BC
证明:如图 (2),延长DE到F,使
EF=DE,连接CF.
在△ADE和△CFE中
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE
∴△ADE≌△CFE
∴∠A=∠ECF,AD=CF
∴CF∥AB
∵BD=AD
∴BD=CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC,DF=BC
∴DE∥BC,DE= ? BC
证2：延长DE至点F，使EF=DE
连接CF，DC，AF
∵EF=DE，?AE=EC
∴四边形ADCF是平行四边形?
∴AD∥CF，???AD=CF
∵AD=DB?∴FC∥BD???FC=BD?
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，???DF=BC
DE∥BC,DE= ? BC
证3：过点E作MN∥AB?过点A作AM∥BC?
∴四边形ABNM是平行四边形?∵AM∥BC?∴∠M=∠MNC?
在△AEM和△CEN中
∠M=∠ENC，∠AEM=∠CEN ,AE=EC.
∴△AEM≌△CEN
∴ME=NE
∴易证四边形ADEM和BDEN是平行四边形
∴DE=AM=NC=BN
∴DE∥BC,DE= ? BC
探究点二
问题1：
解：四边形EFQH是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
解： EFGH是平行四边形．
理由：如图，连接AC.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF= AC且EF∥AC.
同理，GH= AC且GH∥AC.
∴EF∥GH且EF= GH.
∴四边形EFGH为平行四边形．
问题2：
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，
∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△FCB.
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
探究点三
问题1
证明：方法一：
如图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，
∵F，E分别是对角线AC，BD的中点
∴F、E是△AGC的为中位线，
∴EF∥BC，EF= GC= （BC-BG）= （BC-AD），
即EF= （BC-AD）．
方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点，
∴EF= GA= （GD-AD）= （BC-AD），
即EF=（BC-AD）．
问题2
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形。
同理△CAD是等腰三角形。
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）。
∴PQ是△ADE的中位线。
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6。
∴PQ= DE=3.
强化训练
1. 解:∵PF是△DBC的中位线,PE是△BAD的中位线,
∴PF=BC,PE=AD.
∵AD=BC,
∴PF=PE,
∴∠PFE=∠PEF=18°
2.解:△AGD是直角三角形.
证明如下:
如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.
∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=AB,
∴∠1=∠3.同理HE∥CD,HE=CD,
∴∠2=∠EFC.
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF为等边三角形.
∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°,
∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.
随堂检测
1.C
2.A
3.C
4.B
5.B
6. 证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线．
∴EP∥BD，EP＝BD，∴∠PEF＝∠ONM，
同理可知PF为△ADC的中位线，
∴FP∥AC，FP＝AC，
∴∠PFE＝∠OMN，
∵AC＝BD，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠ONM＝∠OMN.
课件28张PPT。八年级下册6.3 三角形的中位线12知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同;理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算.1.中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半
几何语言：
∵点D、E分别是?ABC边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC．1.一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
2．如图，在△ABC中，AB＝8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8CB3．如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．8 B．10
C．12 D．14CC探究点一
问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC
（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE
（3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得到四边形BCFD.
四边形BCFD是平行四边形探究点一
问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？演示问题2：什么是三角形的中位线？ 它与三角形的中线的区别？三角形的中位线有什么特征？请你说明理由.
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段.
三角形的中线：连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
几何语言：
∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE= BC．已知：如图（1），DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC
证明方法1:如图 (2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF.
在△ADE和△CFE中
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE
∴△ADE≌△CFE
∴∠A=∠ECF,AD=CF，∴CF∥AB
∵BD=AD，∴BD=CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC,DF=BC
∴DE∥BC,DE= BC证明方法2：延长DE至点F，使EF=DE
连接CF，DC，AF
∵EF=DE， AE=EC
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AD∥CF， AD=CF
∵AD=DB
∴FC∥BD FC=BD
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF=BC
DE∥BC,DE= BC证明方法3：过点E作MN∥AB 过点A作AM∥BC
∴四边形ABNM是平行四边形 ∵AM∥BC ∴∠M=∠MNC
在△AEM和△CEN中
∠M=∠ENC，∠AEM=∠CEN ,AE=EC.
∴△AEM≌△CEN
∴ME=NE
∴易证四边形ADEM和BDEN是平行四边形
∴DE=AM=NC=BN
∴DE∥BC,DE= BC 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半.
几何语言：
∵点D、E分别是?ABC边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC．探究点二
问题1：如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请你说明理由
解：四边形EFQH是平行四边形.已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
解： EFGH是平行四边形．
理由：如图，连接AC.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF= AC且EF∥AC.
同理，GH= AC且GH∥AC.
∴EF∥GH且EF= GH.
∴四边形EFGH为平行四边形．问题2：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，
∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△FCB.
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题. 探究点三：
问题1： 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．
求证：EF= （BC-AD）．
证明1：如图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，
∵F，E分别是对角线AC，BD的中点
∴F、E是△AGC的为中位线，
∴EF∥BC，EF= GC= （BC-BG）= （BC-AD），
即EF= （BC-AD）．证2：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点，
∴EF= GA= （GD-AD）= （BC-AD），
即EF= （BC-AD）．问题2：如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长．
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形.
同理△CAD是等腰三角形.
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）.
∴PQ是△ADE的中位线.
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6.
∴PQ= DE=3.1.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,求∠PFE的度数.
解:∵PF是△DBC的中位线,PE是△BAD的中位线,
∴PF=BC,PE=AD.
∵AD=BC,
∴PF=PE,
∴∠PFE=∠PEF=18°.2.如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
小明的思路是:在图①中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.
问题:如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明. 解:△AGD是直角三角形.
证明如下:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.
∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=AB,
∴∠1=∠3.同理HE∥CD,HE=CD,
∴∠2=∠EFC.
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF为等边三角形.
∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°,
∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.1.如图，在△A BC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )
A. B．3 C．6 D．9
2.如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A ．80° B．90° C．100° D．110°CA3．如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是( )
A．DE＝DF B．EF＝12AB
C．S△ABD ＝S△ACD D．AD平分∠BAC
4．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于( )
A．42° B．48°
C．52° D．58° C B 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位线，F在DE延长线上，EC＝EF，则线段DF的长为( )
A．7 B．8
C．9 D．10 B 6.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN.
证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线．
∴EP∥BD，EP＝ BD，∴∠PEF＝∠ONM，
同理可知PF为△ADC的中位线，
∴FP∥AC，FP＝ AC，
∴∠PFE＝∠OMN，
∵AC＝BD，∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠ONM＝∠OMN.1.中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半
几何语言：
∵点D、E分别是?ABC边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC．再见6.3 三角形的中位线
课后作业
1.如图，A，B是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB为( )
A．7.5米 B．15米
C．22.5米 D．30米
2．如图，小明家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是( )
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
3. 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是( )
A．h2＝2h1
B．h2＝1.5h1
C．h2＝h1
D．h2＝h1
4．如图，在长方形ABCD中，R为CD上一定点，P为BC上一动点，E，F分别是AP，RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度( )
A．逐渐变小
B．逐渐变大
C．不变
D．无法确定
5.如图，在△ACB中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC.
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.C，
5. 证明：∵DC＝AC，CE⊥AD于E，
∴AE＝ED.
又∵点F是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BC.
6.3 三角形的中位线
预习案
预习目标
了解三角形中位线的概念和三角形中位线定理.
一.预习要点
中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半
几何语言：
∵点D、E分别是?ABC边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC．
二.预习检测
1.一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
2．如图，在△ABC中，AB＝8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
思学质疑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区.
参考答案
预习检测
1.C
2.B
3.C
4.C
