第21章 二次根式
第1课时 二次根式
1．通过回忆平方根和算术平方根的意义，讨论中a满足的条件，概括出二次根式的概念，能准确识别二次根式．
2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
目标一 能识别二次根式
例1 教材补充例题下列各式中，二次根式的个数为( )
①；②；③－；④；⑤；⑥；⑦.
A．2 B．3 C．4 D．5
【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：
目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例2 教材例题针对训练当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)＋.
【归纳总结】 二次根式有意义的“一必须、三注意”：
“一必须”：要使二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数．
“三注意”：(1)对于单个二次根式或多个二次根式，可以列不等式(组)，求得相应的未知字母的取值范围；
(2)若被形数中含分式、零指数幂、负整数指数幂等，则未知字母的取值还应该使它们都有意义；
(3)实际问题中除了要使二次根式有意义外，还必须使实际问题有意义．
小结 ◆◆◆
知识点一 二次根式的概念
形如________(a≥0)的式子叫做二次根式．
[点拨] 当a≥0时，有意义，是二次根式；而当a＜0时，没有意义.中的a可以是数、字母或含字母的式子．
知识点二 二次根式有意义的条件
在中，a的取值必须满足________，即二次根式的被开方数必须是非负数．
[点拨] 若和都有意义，则a＝0.
反思 ◆◆◆
当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由题意，得3a－1≥0，解得a≥.
即当a≥时，在实数范围内有意义．
请说出以上解答错在哪里，并给出正确的解答过程．
详解详析
【目标突破】
例1 [解析]C ②中的被开方数－3小于零，故不是二次根式；④中根指数不为2，不是二次根式；⑥中当x＞1时，无意义，不是二次根式．二次根式有①③⑤⑦，共4个．
例2 [解析] 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，对于含有多个二次根式的，需要每个二次根式都有意义．
解：(1)由x＋1≥0，解得x≥－1.
(2)由－x2≥0，得x2≤0.
又x2是一个非负数，
∴x＝0.
(3)∵|x|是一个非负数，∴|x|≥0，
∴x可以取任意实数．
(4)由x＋5>0，解得x>－5.
(5)要使＋有意义，x的取值范围是即－1≤x≤2.
【总结反思】
[小结]知识点一
知识点二 a≥0
[反思] 以上解答错在忽视了字母a的取值不能使分母为零．正确的解答过程如下：
由题意得
解得a≥且a≠3.
第21章 二次根式
课时作业(一)
[21.1 第1课时 二次根式]
一、选择题
1．下列各式：①；②；③；④；⑤中，二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．2017·衡阳要使有意义，则x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x＜－1
3．无论x取何值，下列各式中一定有意义的是( )
A.B.C.D.
4．下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是( )
A.B.C.D.
5．2017·潍坊若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
6．2017·绵阳使代数式＋有意义的整数x有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如果代数式＋有意义，那么直角坐标系中点A(a，b)的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
二、填空题
8．若是二次根式，则x必须满足的条件是________.
9．当a为________时，是二次根式.
10．如果是二次根式，那么a，b应满足的条件是______________．
11．如果是二次根式，那么x应满足的条件是________．
12．2017·益阳代数式有意义，则x的取值范围是________．
13．使式子＋ 有意义的x的取值范围是________．
14．若使式子有意义，则实数x的取值范围是________．
15．若等式(－2)0＝1成立，则x的取值范围是________．
16．2017·鄂州若y＝＋－6，则xy＝________．
三、解答题
17．下列各式：，，，，，－x，，(x>)，，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
18．当x的取值满足什么条件时，下列各式有意义？
(1)； (2)；
(3)＋.
转化思想若x，y都是实数，且y>＋＋，则＋3x＝________．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B
2．[解析]B 依题意得x－1≥0，解得x≥1，故选B.
3．[解析]C 在这四个选项的被开方数中，只有|x|一定是非负数．D选项中，当x＝0时，无意义．
4．[解析]C 若式子有意义，则解得x>2.若式子有意义，则x－2>0，解得x>2.若式子有意义，则x－2≥0，解得x≥2.若式子有意义，则2－x≥0，解得x≤2.故选C.
5．[解析]B 由题意可知解得x≥2，故选B.
6．[解析]B 由题意，得x＋3＞0且4－3x≥0，解得－3＜x≤，满足条件的整数有－2，－1，0，1，故选B.
7．[解析]A ∵代数式＋有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0，∴直角坐标系中点A(a，b)在第一象限，故选A.
8．[答案] x≥－
[解析] 若是二次根式，则3x＋5≥0，故x≥－.
9．[答案] 任意实数
[解析]∵a2＋3恒大于0，∴a可取任意实数．
10．[答案] a＝2，b≥2
[解析]∵是二次根式，∴a＝2，b－2≥0，∴b≥2.
11．[答案] x>2
[解析]∵是二次根式，∴≥0且2－x≠0，即2－x<0，解得x>2.
12．[答案] x≤
[解析] 由题意可知
∴x≤且x≠2，
∴x的取值范围为x≤.
13．x≤且x≠－2
14．[答案] x≥－1且x≠3
[解析] 由题意得x＋1≥0且x－3≠0，解得x≥－1且x≠3.
15．[答案] x≥0且x≠12
[解析] 依题意，得
所以x≥0且x≠12.
16．[答案] －3
[解析] 由题意可知解得x＝，∴y＝0＋0－6＝－6，∴xy＝－3.
17．解：，是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数．
虽然含有根号，但根指数不是2，所以不是二次根式．
－x不含二次根号，不是二次根式．
，中，不能确定被开方数是非负数，当a＜0时，无意义；当x＋1＜0时，无意义，所以，不一定是二次根式．
在中，－4＜0，没有意义，故不是二次根式．
在(x＞)中，1－2x＜0，无意义，故不是二次根式．
在中，无论a取何实数，－2－a2总是负数，没有意义，故不是二次根式．
18．解：(1)由题意知1－4x≥0，解得x≤.
(2)由题意知≥0且x≠0，∴x<0.
(3)由题意知解得x≥－且x≠－1.
[素养提升]
[答案] 3
[解析] 由题意，得3x－4≥0，4－3x≥0，即3x＝4，
∴y>，即4y>3，
∴＋3x＝＋3x＝－1＋4＝3.
课件13张PPT。第1课时 二次根式第21章 二次根式第1课时 二次根式目标一 能识别二次根式C 第1课时 二次根式第1课时 二次根式【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：第1课时 二次根式目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围[解析] 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，对于含有多个二次根式的，需要每个二次根式都有意义．第1课时 二次根式第1课时 二次根式【归纳总结】 二次根式有意义的“一必须、三注意”：
“一必须”：要使二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数．
“三注意”：(1)对于单个二次根式或多个二次根式，可以列不等式(组)，求得相应的未知字母的取值范围；
(2)若被形数中含分式、零指数幂、负整数指数幂等，则未知字母的取值还应该使它们都有意义；
(3)实际问题中除了要使二次根式有意义外，还必须使实际问题有意义．第1课时 二次根式知识点一 二次根式的概念第1课时 二次根式知识点二次根式有意义的条件a≥0第1课时 二次根式第1课时 二次根式第2课时 二次根式的性质
1．类比算术平方根的意义，理解(a≥0)的非负性，并能利用这一性质进行计算．
2．通过列举、归纳，探索出()2和的化简结果，并能对二次根式进行化简．
目标一 能利用(a≥0)的非负性进行计算
例1 教材补充例题若|m－1|＋＝0，则m＋n的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【归纳总结】
1．三种常见的非负数：|a|，a2，.
2．非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.
目标二 会运用()2和的运算结果进行化简
例2 教材补充例题计算：
(1)()2； (2)－(2 )2；
(3)()2； (4)(－)2.
【归纳总结】 ()2＝a这一公式的适用范围：
()2＝a这一公式的适用范围是a为非负数(即a≥0)，逆用这一公式，可以把一个非负数写成一个数的平方的形式．
例3 教材补充例题化简：
(1)； (2)； (3)－；
(4)； (5)；
(6).
【归纳总结】 ()2与的异同点：
()2
相同点
(1)都要进行平方和开平方两种运算；
(2)运算的结果都是非负数，即()2≥0，≥0
不同点
意义不同
表示非负数a的算术平方根的平方
表示实数a的平方的算术平方根
a的取值
范围不同
a只能取非负数，即a≥0
a可以取全体实数
运算顺
序不同
先求非负数a的算术平方根，再进行平方运算
先求实数a的平方，再求a2的算术平方根
运算依据
不同
根据开平方与平方互为逆运算得到的
根据算术平方根的定义得到的
小结 ◆◆◆
知识点 二次根式的基本性质
性质1：≥0(a≥0)．
性质2：()2＝a(a≥0)．
性质3：＝|a|＝
[点拨] 1.性质()2＝a(a≥0)，也可以反过来应用：a＝()2(a≥0)；特别注意性质＝a(a≥0)成立的条件，当a＜0时，＝－a.
2．若＝a，则a≥0；若＝－a，则a≤0.
反思 ◆◆◆
学完本节后，老师留了一道题：化简＝________．
小明是这样考虑的：
因为＝a，所以＝－2.
你认为他的解法正确吗？若不正确，请说明理由，并改正．
详解详析
【目标突破】
例1 [解析]A 由题意，得m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝1＋(－2)＝－1，故选A.
例2 [解析] 利用公式()2＝a(a≥0)及(ab)2＝a2b2进行计算．
解：(1)()2＝7.
(2)－(2 )2＝－22×()2＝－4×5＝－20.
(3)()2＝()2×()2＝×7＝.
(4)(－)2＝(－1)2×()2＝1×17＝17.
例3 [解析] 利用＝a(a≥0)进行化简．
解：(1)＝＝8.
(2)＝＝.
(3)－＝－|－6|＝－6.
(4)＝＝10－2＝.
(5)∵π＞3.14，
∴π－3.14＞0，
∴＝π－3.14.
(6)＝＝－.
【总结反思】
[反思] 他的解法不正确．
理由：因为＝|a|，当a≤0时，＝－a.
改正：＝－(－2)＝2－.
[21.1 第2课时 二次根式的性质]
1．对于任意实数a，下列不等式一定成立的是( )
A．|a|＞0 B.＞0
C．a2＋1＞0 D．(a＋1)2＞0
2．下列二次根式，化简结果为－4的是( )
A. B．(－)2
C．－ D.
3．如果|a|－a＝0，那么等于( )
A．－aB．0 C．a D．±a
4．若|y＋2|＋＝0，则(x＋y)2018的值为( )
A．－1 B．1 C．32018 D．－32018
5．2017·枣庄实数a，b在数轴上对应的点的位置如图K－2－1所示，化简|a|＋的结果是( )
B
图K－2－1
A．－2a＋bB．2a－b C．－bD．
6．已知△ABC的三边长分别为2，x，5，则化简＋的结果为( )
A．2x－10 B．4
C．10－2xD．－4
二、填空题
7．能够说明“＝x不成立”的x的值是________．(写出一个即可)
8．已知()2＝2，则b＝________.
9．二次根式有最________(填“大”或“小”)值，此时x＝________．
10．若是整数，则正整数n的最小值为________．
11．若a＜0，化简：|a－3|－＝________.
12．在实数范围内分解因式：
(1)x2－9＝x2－ (______)2＝(x＋________)·(x－________)；
(2)x2－3＝x2－(______)2＝(x＋ ________)·(x－________)．
13．若代数式＋的化简结果为7，则a的取值范围是_________．
三、解答题
14．计算：
(1)(－3 )2； (2)()2； (3)；
(4)－； (5)(x≥1)．
15．计算：－＋.
材料阅读题阅读下面的文字，回答问题：
小明和小芳解答题目“先化简，再求值：a＋，其中a＝9”时，得出了不同的答案．
小明的解答：原式＝a＋＝a＋(1－a)＝1.
小芳的解答：原式＝a＋＝a＋(a－1)＝2a－1＝2×9－1＝17.
(1)________的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：________________．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析]C A．a＝0时，|a|＞0不成立，故本选项错误；B.a＝0时，＞0不成立，故本选项错误；C.对实数a，a2＋1＞0一定成立，故本选项正确；D.a＝－1时，(a＋1)2＞0不成立，故本选项错误．故选C.
2．[解析]C A.＝|－4|＝4，故此选项不合题意；B.(－)2＝4，故此选项不合题意；C.－＝－4，故此选项符合题意；D.＝4，故此选项不合题意．故选C.
3．[解析]C 由|a|－a＝0，得|a|＝a，
故＝|a|＝a.
4．[解析]B 根据题意得x－1＝0，y＋2＝0，解得x＝1，y＝－2，则原式＝(－1)2018＝1，故选B.
5．[解析]A 由图可知：a＜0，a－b＜0，则|a|＋＝－a－(a－b)＝－2a＋b，故选A.
6．[解析]B 根据三角形三边关系，得3＜x＜7，则＋＝|x－3|＋|x－7|＝x－3＋7－x＝4，所以选B.
7．－1(答案不唯一，只要填一个负数即可)
8．[答案] 1
[解析] 因为()2＝2，所以3－b＝2，解得b＝1.
9．[答案] 小
10．[答案] 5
[解析]∵20n＝22×5n，
∴正整数n的最小值为5.
11．[答案] 3
[解析]∵a＜0，∴a－3＜0，
∴|a－3|－＝－a＋3＋a＝3.
12．(1)3 3 3 (2)
13．[答案] 4≤a≤11
[解析] 原式可化为|a－4|＋|a－11|，因为最终结果为7，所以去掉绝对值符号后应是(a－4)＋(11－a)，故有解得4≤a≤11.
14．解：(1)(－3 )2＝9×7＝63.
(2)()2＝＝.
(3)＝＝＝.
(4)－＝－＝－.
(5)＝＝|1－x|＝x－1(x≥1)．
15．解：原式＝－＋5＝5.
[素养提升]
(1)小明 (2)＝|a|＝
课件14张PPT。第2课时 二次根式的性质第21章 二次根式第2课时 二次根式的性质A第2课时 二次根式的性质[解析]由题意，得m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝1＋(－2)＝－1，故选A.【归纳总结】
第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质知识点 二次根式的基本性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质第2课时 二次根式的性质二次根式的乘除
二次根式的乘法
1．通过计算、观察、对比，由特殊到一般地归纳出二次根式的乘法法则．
2．通过对二次根式的乘法法则的学习，能熟练地进行二次根式乘法的运算．
3．通过回顾乘法的结合律，能进行多个二次根式乘法的运算．
目标一 归纳出二次根式的乘法法则
例1 教材补充例题填空：
(1)×＝______，＝______；
(2)×＝______，＝______；
(3)×＝______，＝______；
(4)×＝________，＝________．
通过上面的计算，你发现了什么？
【归纳总结】 二次根式的乘法法则：
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
目标二 能运用法则进行二次根式乘法的运算
例2 教材例1针对训练计算：
(1)×； (2)×.
(3)6×(－2 )；
【归纳总结】 二次根式乘法法则的应用：
(1)·＝(a≥0，b≥0)；
(2)c·d＝cd(a≥0，b≥0)．
目标三 能进行多个二次根式乘法的运算
例3 教材补充例题计算：
(1)××；
(2)2 ×3 ×.
【归纳总结】 多个二次根式乘法的运算：
(1)当a≥0，b≥0，c≥0时，··＝；
(2)当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，···…·＝.
小结 ◆◆◆
知识点 二次根式的乘法
一般地，有·＝________(a≥0，b≥0)．
[点拨] (1)注意，在上式中，a，b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
(2)二次根式乘法法则的推广：··＝(a≥0，b≥0，c≥0)．
反思 ◆◆◆
在实数和整式的乘法中存在ab＝ba(交换律)、 a(bc)＝(ab)c(结合律)，那么在二次根式的乘法中是否也存在交换律和结合律呢？若存在，请举出一个具体例子．
详解详析
【目标突破】
例1 (1)6 6 (2)20 20 (3)60 60
(4)1 1 发现略
例2 解：(1)×＝＝.
(2)×＝＝＝1.
(3)6 ×(－2 )＝6×(－2)×＝－12 ＝－12×9＝－108.
例3 解：(1)××＝＝.
(2)2 ×3 ×＝2×3××＝.
备选目标 二次根式乘法法则的应用
例 已知直角三角形两边的长分别为和，求这个直角三角形的面积．
[解析] 已知直角三角形的两边长求面积，有两种可能：一种是已知两条边长都是直角边长，另一种是已知一条直角边长和一条斜边长．
解：当和都是直角边长时，如图①所示．
在Rt△ABC中，AC＝，BC＝，
∴S△ABC＝AC·BC＝××＝.
图①
图②
当是直角边长，是斜边长时，如图②所示．
在Rt△ABC中，AC＝，AB＝，
∴BC＝＝＝，
∴S△ABC＝AC·BC＝××＝.
因此，这个直角三角形的面积是或.
【总结反思】
[小结]知识点
[反思] 在二次根式的乘法中存在交换律和结合律，例如：(1)×＝×＝＝4(交换律)；(2)××＝×＝2×＝2 ＝2×5＝10.
[21.2 1. 二次根式的乘法]
一、选择题
1．下列计算结果是的是( )
A.×B.×
C.×D.×
2．计算×的结果为( )
A.B．9 C.D.
3．下列各数中，与的积为有理数的是( )
A.B．3 C．2 D.
4．下列各式不成立的是( )
A.×＝1 B.×＝
C.×＝1 D.×＝0.3
5．下列各等式成立的是( )
A．4 ×2 ＝8 B．5 ×4 ＝20
C．4 ×3 ＝7 D．5 ×4 ＝20
二、填空题
6．计算：(1)2017·长春×＝________；
(2)×＝________．
7．计算：(1)×＝________；
(2)×＝________．
8．若一个长方体的长为2 cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为________cm3.
9．化简：×＝________．
三、解答题
10．计算：(1)×；
(2)××；
(3)3 ×(－4 ).
材料阅读题阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2 ＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则a＋b＝m2＋2n2＋2mn，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把部分形如a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝________，b＝________；
(2)利用你探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：______＋______＝(______＋______)2；
(3)若a＋4 ＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B
2．[解析]B ×＝＝9.
3．C 4.[全品导学号：34942169]D
5．[解析]D 4 ×2 ＝8×()2＝8×5＝40；
5 ×4 ＝20 ；4 ×3 ＝4×3×＝12.故选D.
6．[答案] (1) (2)2
[解析] (1)×＝.
(2)×＝＝＝2.
7．(1)6 (2)2
8．[答案] 12
[解析] 依题意，得长方体的体积为2××＝12(cm3)．
9．3
10．解：(1)原式＝＝＝5.
(2)××＝＝＝10.
(3)原式＝－3×4 ＝－12 ＝－12×9＝－108.
[素养提升]
解析] (1)将(m＋n)2展开，得m2＋3n2＋2mn，因为a＋b＝(m＋n)2，所以a＋b＝m2＋3n2＋2mn，所以a＝m2＋3n2，b＝2mn.
(2)答案不唯一，根据(1)中a，b和m，n的关系式，取的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．
解：(1)m2＋3n2 2mn
(2)(答案不唯一)4 2 1 1
(3)将(m＋n)2展开，根据题意，得
∵2mn＝4，
∴mn＝2，且m，n为正整数，
∴当m＝2时，n＝1；当m＝1时，n＝2，
∴a＝m2＋3n2＝22＋3×12＝7或a＝m2＋3n2＝12＋3×22＝13.
即a的值是13或7.
课件11张PPT。1. 二次根式的乘法第21章 二次根式1. 二次根式的乘法1．通过计算、观察、对比，由特殊到一般地归纳出二次根式的乘法法则．
2．通过对二次根式的乘法法则的学习，能熟练地进行二次根式乘法的运算．
3．通过回顾乘法的结合律，能进行多个二次根式乘法的运算．目标一 归纳出二次根式的乘法法则662020606011发现略1. 二次根式的乘法【归纳总结】二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．1. 二次根式的乘法目标二 能运用法则进行二次根式乘法的运算1. 二次根式的乘法1. 二次根式的乘法目标三 能进行多个二次根式乘法的运算1. 二次根式的乘法知识点 二次根式的乘法1. 二次根式的乘法在实数和整式的乘法中存在ab＝ba(交换律)、 a(bc)＝(ab)c(结合律)，那么在二次根式的乘法中是否也存在交换律和结合律呢？若存在，请举出一个具体例子．1. 二次根式的乘法1. 二次根式的乘法2．积的算术平方根
1．通过对·＝(a≥0，b≥0)的逆向思考，归纳出积的算术平方根的性质．
2．经历积的算术平方根的性质的学习和例题的阅读，能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简．
目标一 归纳出积的算术平方根的性质
例1 教材补充例题填空：
(1)＝________，×＝______；
(2)＝________，×＝________．
观察(1)(2)并填空：
(3)________×；
(4)________×.
比较(3)(4)左右两边的式子，你发现的规律是：__________________________．
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
例2 教材例2针对训练化简：
(1)；
(2)；
(3).
【归纳总结】 积的算术平方根注意事项：
(1)二次根式乘法法则的逆用就是积的算术平方根的性质；
(2)在应用此性质时，要保证其前提条件是a，b均为非负数，如≠×，而应为＝＝×；
(3)＝··(a≥0，b≥0，c≥0)；
(4)积的算术平方根的结果应尽量化简．
小结 ◆◆◆
知识点 积的算术平方根的性质
等式·＝(a≥0，b≥0)也可以直接写成＝________(a≥0，b≥0)．
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．
[点拨] (1)被开方数的两个因数是负数时，先进行符号运算，把两个因数转化为正数，再应用 ＝·(a≥0，b≥0)化简．(2)应用积的算术平方根化简的一般步骤：①将被开方数(式)分解因数或分解因式；②根据二次根式的性质＝a(a≥0)化简．
反思 ◆◆◆
化简：.
解：＝×＝(－2)×(－3)＝6.
以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．
详解详析
【目标突破】
例1 (1)66 66 (2)45 45 (3)＝ (4)＝ ＝·(a≥0，b≥0)
例2 [解析] 首先将被开方数进行因数分解，化为乘积的形式，如果根号内有开得尽方的因数就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，达到化简的目的．
解：(1)＝＝＝×＝3 .
(2)＝×＝7×5＝35.
(3)＝×＝×＝7×11＝77.
备选目标 二次根式的化简
例 计算：.
解：＝＝＝9×5＝45.
【总结反思】
[小结]知识点 ·
[反思] 不正确，改正如下：
＝＝×＝2×3＝6.
[21.2 2. 积的算术平方根]
一、选择题
1．化简的结果是( )
A．2 B．5 C．10 D．5
2．化简的结果是( )
A．－2B．2 C.D．－
3．下列各式成立的是( )
A.＝4×3＝12
B.＝7＋21＝28
C.＝20－12＝8
D.＝32×42＝144
4．计算的结果是( )
A．7 B．－7C．28 D．－28
5．将a中根号外的a移到根号内，结果是( )
A．－ B.
C．－ D.
二、填空题
6．计算：(1)×＝________；
(2)2 ×(－)＝________．
7．矩形的长为，宽为，则此矩形的面积为________，对角线的长为________．
8．使等式＝·成立的条件是_____________
9．有下列各式：①＝＝2 ，②＝9，③×＝3 ，④＝2 a.其中正确的序号是________．
10．设a＝，b＝，用只含有a，b的式子表示，结果是________．
三、解答题
11．化简：(1)； (2)；
(3).
12．化简：(1)×； (2).
13．用30枚长为3 cm，宽为2.5 cm的邮票摆成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？
规律探究(1)判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．
①＝2 ；( )
②＝3 ；( )
③＝4 ；( )
④＝5 .( )
(2)判断完以上各题之后，你发现了什么规律？请你用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围；
(3)请用数学知识说明你所写式子的正确性．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B
2．[解析]B ＝＝2 .
3．A 4.[全品导学号：34942172]C
5．[解析]A 因为原式有意义，所以－a≥0，故a≤0，把a移到根号内后，根号外要留下负号，故应选A.
6．(1)3 (2)－10
7．6 3
8．－4≤x≤4
9．[答案]①②
[解析] 只有①②正确，③的结果应该是×＝＝＝＝3 ，④的结果应该是2 |a|.
10[答案] ab3
[解析]＝＝3 ×＝3ab，又3＝()2，故用a，b表示成ab3.
11．解：(1)＝×＝×＝11×15＝165.
(2)＝×＝4 .
(3)＝＝×＝×＝6 .
12．解：(1)×＝×＝×××＝4×10×3＝120.
(2)＝××＝×0.4π2＝.
13．[解析] 运用等面积法：30S长方形＝S正方形，得以求解．
解：设这个正方形的边长为x cm，则
x2＝2.5×3×30＝225，
∴x＝＝15.
答：这个正方形的边长是15 cm.
[素养提升]
解：(1)①②③④括号内均打“√”．
(2)规律：＝n (n为大于1的自然数)．
(3)＝＝＝n.
课件10张PPT。2. 积的算术平方根第21章 二次根式2. 积的算术平方根目标一 归纳出积的算术平方根的性质2. 积的算术平方根66664545＝＝目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简 [解析]首先将被开方数进行因数分解，化为乘积的形式，如果根号内有开得尽方的因数就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，达到化简的目的．2. 积的算术平方根2. 积的算术平方根【归纳总结】积的算术平方根注意事项：2. 积的算术平方根知识点 积的算术平方根的性质2. 积的算术平方根2. 积的算术平方根2. 积的算术平方根3.二次根式的除法
1．通过回顾、类比、动手练习和猜想，归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
2．通过对二次根式除法法则的应用与变式学习，能熟练地进行二次根式除法的运算．
3．在进行二次根式化简的过程中，归纳提炼出最简二次根式的概念，会识别最简二次根式．
4．在理解最简二次根式概念的基础上，能采用适当法则和性质把二次根式化为最简二次根式．
目标一 归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根
例1 教材补充例题(1)二次根式的除法：
①＝________，＝________；
＝________，＝________；
＝________，＝________．
②根据①，你猜想一下，在a≥0，b＞0的条件下，________.
(2)商的算术平方根：
把上式反过来写是什么？
＝________(a____0，b____0)．当a＝4，b＝9时，它成立吗？________．
【归纳总结】 二次根式的除法法则：
＝，条件限制应该是a≥0，b＞0，而不能是a≥0，b≥0；反之也成立．
目标二 能用二次根式的除法法则进行计算
例2 教材例3针对训练计算：
(1)； (2)÷；
(3)－÷.
【归纳总结】 计算二次根式除法的方法：
二次根式相除，可将系数与系数相除，根号内的被开方数与被开方数相除，注意最后的结果要化成最简二次根式或整式．
目标三 会识别最简二次根式
例3 教材补充例题在，，，，，中，最简二次根式的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【归纳总结】 判别最简二次根式的两个“没有”：
1．被开方数中没有分母；
2．被开方数中没有能开得尽方的因数或因式．
目标四 能把二次根式化为最简二次根式
例4 教材例4针对训练化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．
【归纳总结】 化简二次根式的类型和方法：
类型一：被开方数不含分母，此时需分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
类型二：被开方数含分数(式)或小数．此类问题有两种解法，一种是利用分数(式)的基本性质，把被开方数的分母变成平方数(式)；另一种是先逆用二次根式的除法法则，再将分子、分母同时乘以分母中的二次根式．
小结 ◆◆◆
知识点一 二次根式的除法法则
一般地，有＝________(a≥0，b>0)．
这就是说，两个算术平方根的商，等于它们______________________________．
[注意] 被开方数是带分数时要化为假分数；被开方数是小数时要化为分数．
知识点二 商的算术平方根
等式＝(a≥0，b＞0)也可以写成＝(a≥0，b＞0)．
这就是说，商的算术平方根，等于_________________________________________．
知识点三 最简二次根式
被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．
反思 ◆◆◆
化简：.
解：＝＝＝＝＝3.
以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确答案．
详解详析
【目标突破】
例1 (1)① ②＝
(2) ≥ > 成立
例2 [解析] 两个二次根式相除，可采用根号前系数与系数对应相除，再乘根号内被开方数对应相除后的根式．
解：(1)原式＝＝＝＝2 .
(2)原式＝＝＝＝3 .
(3)原式＝(－1÷) ＝－＝－20 .
例3 [解析]A 因为＝7，＝，＝，＝3 ，＝|y|，所以只有是最简二次根式．
例4 解：＝＝.
[备选例题] 化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．
解：＝＝＝－2.
【总结反思】
[小结]知识点一 被开方数的商的算术平方根
知识点二 算术平方根的商
[反思] 不正确，错误出现在忽略＝成立的条件：a≥0，b>0.本身有意义，但是却无意义．
正确的解答过程如下：＝＝3.
[21.2 3. 二次根式的除法]
一、选择题
1．2017·贵港下列二次根式中，最简二次根式是( )
A．－B.C.D.
2．下列计算错误的是( )
A.＝B.＝
C.＝D．－＝
3．化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母，下列各式中正确的是( )
A.＝＝
B.＝
C.＝＝＝(m>0，n≥0)
D.＝＝＝
4．计算2 ×÷的结果是( )
A.B.C.D．2
5．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝；②·＝1；③÷＝－b中，正确的是( )
A．①② B．②③C．①③ D．①②③
二、填空题
6．计算：(1)＝________；
(2)5 ÷3 ＝________．
7．在二次根式，，，中，化简后被开方数是3的是________．
8．计算的结果是________．
9．2016·聊城计算：×÷＝________．
三、解答题
10．计算：(1)； (2)；
(3)÷×.
11．2016·泉州计算： (π－3)0＋|－2|－÷＋(－1)－1.
12．已知a＝－1，求代数式÷的值．
方程思想已知实数a，b满足＋＝0，试求2a·(÷)的值．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析]A A．被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B.被开方数含能开得尽方的因数，故B不符合题意；C.被开方数含分母，故C不符合题意；D.被开方数含能开得尽方的因式，故D不符合题意．故选A.
2．[解析]D －＝－.故选D.
3．C
4．[解析]C 原式＝÷＝3÷＝，故选C.
5．[全品导学号：34942175][解析]B ∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0.①中，等式右边被开方数小于零，无意义，∴①不正确；②中，根据二次根式乘法法则知·＝＝＝1，∴②正确；③中，÷＝＝＝＝|b|＝－b，∴③正确．
6．[答案] (1) (2)
[解析] 5 ÷3 ＝＝.
7．[答案]
[解析]∵＝2 ，＝，＝，＝，∴只有符合要求．
8．5
9．[答案] 12
[解析]×÷＝3 ×÷＝3 ＝12.
10．[解析] 二次根式乘除法的混合运算，按运算顺序进行，遇到除法要变成乘法，运算结果要化成最简二次根式．
解：(1)原式＝＝1.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＝＝.
[点评] 二次根式的除法，结果应化成最简二次根式或整式．
11．解：原式＝1＋2－－1＝3－－1＝1－1＝0.
12．解：÷
＝·
＝.
当a＝－1时，
原式＝＝＝1－.
[素养提升]
解：要使＋＝0成立，必须有解得
2a·(÷)
＝2a·＝2a.
当a＝，b＝12时，原式＝2××＝×＝×2＝.
课件16张PPT。第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除第21章 二次根式3. 二次根式的除法3. 二次根式的除法1．通过回顾、类比、动手练习和猜想，归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
2．通过对二次根式除法法则的应用与变式学习，能熟练地进行二次根式除法的运算．
3．在进行二次根式化简的过程中，归纳提炼出最简二次根式的概念，会识别最简二次根式．
4．在理解最简二次根式概念的基础上，能采用适当法则和性质把二次根式化为最简二次根式． 目标一 归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根3. 二次根式的除法＝3. 二次根式的除法>成立目标二 能用二次根式的除法法则进行计算[解析]两个二次根式相除，可采用根号前系数与系数对应相除，再乘根号内被开方数对应相除后的根式．3. 二次根式的除法3. 二次根式的除法【归纳总结】计算二次根式除法的方法：3. 二次根式的除法二次根式相除，可将系数与系数相除，根号内的被开方数与被开方数相除，注意最后的结果要化成最简二次根式或整式．目标三 会识别最简二次根式 3. 二次根式的除法A【归纳总结】判别最简二次根式的两个“没有” ：3. 二次根式的除法1．被开方数中没有分母；
2．被开方数中没有能开得尽方的因数或因式． 目标四 能把二次根式化为最简二次根式3. 二次根式的除法【归纳总结】化简二次根式的类型和方法：3. 二次根式的除法 类型一：被开方数不含分母，此时需分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
类型二：被开方数含分数(式)或小数．此类问题有两种解法，一种是利用分数(式)的基本性质，把被开方数的分母变成平方数(式)；另一种是先逆用二次根式的除法法则，再将分子、分母同时乘以分母中的二次根式．知识点一 二次根式的除法法则3. 二次根式的除法 [注意] 被开方数是带分数时要化为假分数；被开方数是小数时要化为分数．被开方数的商的算术平方根知识点二 商的算术平方根3. 二次根式的除法算术平方根的商知识点三 最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．3. 二次根式的除法3. 二次根式的除法21．3 二次根式的加减
1．通过回忆同类项的概念，类比理解同类二次根式的概念，并能准确识别出同类二次根式．
2．通过自学阅读，类比整式加减运算的方法，讨论归纳出二次根式加减的法则，并用该法则进行二次根式的加减运算．
3．通过回顾整式的混合运算，理解二次根式混合运算中加、减、乘、除、乘方、开方等运算的运算顺序，能正确进行二次根式的混合运算．
目标一 会识别同类二次根式
例1 教材补充例题下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A.B.C.D.
【归纳总结】
1．判断同类二次根式的“一化、二看、三判断”法：
2．同类二次根式的“两相同、一无关”：
目标二 会利用法则进行二次根式的加减运算
例2 教材例1针对训练计算：2 ＋3 －5 －3 .
例3 教材例2针对训练计算：
(1)＋－；
(2)3 ＋2－；
(3)－2＋－3 .
【归纳总结】 二次根式加减运算“三步法”：
目标三 会进行二次根式的混合运算
例4 教材例3针对训练计算：
(1)(＋2－)×2 ；
(2)(＋)2＋(－)2.
【归纳总结】 二次根式混合运算的“五点注意”：
(1)确定运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的；
(2)灵活运用运算律；
(3)正确使用乘法公式；
(4)有些运算中约分可使运算简便；
(5)最后将结果化为最简二次根式或整式．
小结 ◆◆◆
知识点一 同类二次根式的概念
几个二次根式化为最简二次根式后，如果________________，那么这几个根式叫做同类二次根式．
知识点二 二次根式的加减法法则
法则：二次根式的加减类似于整式的加减，关键是____________________．通常应先将各个二次根式化简(化为最简二次根式)，再将同类二次根式合并．
知识点三 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，实质上就是实数的混合运算和代数式的混合运算．
反思 ◆◆◆
计算：÷.
解：÷＝÷＋÷＝2＋.
以上解答正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确答案．
详解详析
【目标突破】
例1 [解析]B 先把它们化成最简二次根式，再进行判断．
因为＝2 ，＝2 ，＝，＝，所以与是同类二次根式．故选B.
例2 解：原式＝(2－5)＋(3－3)＝－3 .
[备选例题] 若最简二次根式与x是同类二次根式，则x的值是多少？
解：因为与x都是最简二次根式，且是同类二次根式，
所以5x＋7＝8x－2，解得x＝3.
例3 [解析] 先化简，再合并．
解：(1)＋－＝＋2 －3 ＝0.
(2)3 ＋2－＝6 ＋6 －5 ＝7 .
(3)原式＝－2＋－3 ＝2 －10 ＋－＝(2＋) ＋(－10－) ＝－.
例4 解：(1)原式＝×2 ＋2 ×2 －×2 ＝2 ＋24－6 .
(2)(＋)2＋(－)2
＝()2＋2 ＋()2＋()2－2 ＋()2
＝3＋2 ＋2＋2－2 ＋3＝10.
【总结反思】
[小结]知识点一 被开方数相同
知识点二 将同类二次根式合并
[反思] 不正确．错在不能直接应用除法分配律(除法没有分配律)．正确的解答过程如下：÷＝＝＝＝2 －2.
[21.3 二次根式的加减]
一、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是( )
A．①和②B．②和③
C．①和④D．③和④
2．2017·十堰下列运算正确的是( )
A.＋＝B．2 ×3 ＝6
C.÷＝2 D．3 －＝3
3．计算－9 的结果是( )
A．－B.C.D．－
4．2017·聊城计算(5－2 )÷(－)的结果为( )
A．5 B．－5 C．7 D．－7
5．对于任意的正数m，n，定义运算“※”为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A．2－4 B．2C．2 D．20
二、填空题
6．计算：(1)2017·衡阳－＝________；
(2)2017·山西4 －9 ＝________．
7．2017·西宁计算：(2－2 )2＝________．
8．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________．
9．若一个三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则这个三角形的周长为________cm.
10．(1)若x＝2＋，y＝－2，则x＋y＝________，xy＝________；
(2)若x＝－1，则x2＋2x＋1＝________．
11．计算(＋2)2017×(－2)2018的结果是________．
三、解答题
12．计算：(1)－＋＋；
(2)－＋；
(3)(2 －3 )(2 ＋3 )；
(4)(－2)÷.
13．已知x＝2－，求代数式(7＋4 )x2＋(2＋)x＋的值．
14．先化简，再求值：÷(－)，其中x＝＋1，y＝－1.
15.2017年9月28日，由袁隆平挂帅的“海水稻”项目测产结果为最高亩产620.95千克，其中一块长方形试验土地的长是宽的3倍，面积是3600平方米，则这块试验田的周长约是多少米？(精确到1米，≈1.732)
16.已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．
模拟应用在进行二次根式的除法运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝(一)；
＝＝(二)；
＝＝＝－1(三)．
以上这种化简的步骤叫分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝－1(四)．
(1)请用不同的方法化简：.
①参照(三)式得＝______________；
②参照(四)式得＝_____________.
(2)化简：＋＋＋…＋.
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析]C ∵＝2 ，＝2，＝，＝3 ，∴与是同类二次根式的是①和④，故选C.
2．[解析]C A.与不能合并，所以A选项错误；B.原式＝2×3×()2＝6×2＝12，所以B选项错误；C.原式＝＝2，所以C选项正确；D.原式＝2 ，所以D选项错误．故选C.
3．[解析]B －9 ＝－9 ＝4 －9×＝(4－3)＝.
4．[解析]A 原式＝(－6 )÷(－)＝(－5 )÷(－)＝5，故选A.
5．[全品导学号：34942178][解析]B 原式＝(－)(＋)＝(－)(2 ＋2 )＝2(－)(＋)＝2[()2－()2]＝2×(3－2)＝2.故选B.
6．[答案] (1) (2)3
[解析] (1)原式＝2 －＝.
(2)原式＝12 －9 ＝3 .
7．[答案] 16－8
[解析] 原式＝4－8 ＋12＝16－8 .
8．[答案] 2
[解析] 由题意，得7a－1＝6a＋1，解得a＝2.
9．[答案] (5 ＋2 )
[解析] 这个三角形的周长为(＋＋)cm，先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，＋＋＝2 ＋2 ＋3 ＝(5 ＋2 )cm.
10. [答案] (1)2 3 (2)2
[解析] (2)∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴当x＝－1时，原式＝(－1＋1)2＝()2＝2.
11．[答案]－2
[解析] (＋2)2017×(－2)2018＝[(＋2)2017×(－2)2017]×(－2)＝[(＋2)×(－2)]2017×(－2)＝[()2－22]2017×(－2)＝12017×(－2)＝－2.
12．解：(1)原式＝(＋)＋(－＋)＝(＋) ＋(－＋)
＝4 －.
(2)原式＝4 －＋＝.
(3)原式＝(2 )2－(3 )2＝8－54＝－46.
(4)原式＝－＝－2 .
13．解：把x＝2－代入代数式(7＋4 )x2＋(2＋)x＋，得(7＋4 )(2－)2＋(2＋)(2－)＋＝(7＋4 )(7－4 )＋4－3＋＝49－48＋1＋＝2＋.
14．解：原式＝÷＝·＝.
当x＝＋1，y＝－1时，
原式＝＝＝.
15．解：设这块试验田的宽是x米，则长是3x米．
依题意得3x·x＝3600，
解得x＝20 (负值已舍去)，则3x＝60 .
所以这块试验田的周长是(20 ＋60 )×2＝160 ≈277(米)．
答：这块试验田的周长约是277米．
16．解：∵x＝1－，y＝1＋，∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2 ，
xy＝(1－)(1＋)＝－1，
∴x2＋y2－xy－2x＋2y
＝(x－y)2－2(x－y)＋xy
＝(－2 )2－2×(－2 )＋(－1)
＝7＋4 .
[素养提升]
解：(1)①＝＝－
②＝＝＝－
(2)＋＋＋…＋＝
＝
.
课件17张PPT。第21章 二次根式21.3 二次根式的加减第21章 二次根式21.3 二次根式的加减 1．通过回忆同类项的概念，类比理解同类二次根式的概念，并能准确识别出同类二次根式．
2．通过自学阅读，类比整式加减运算的方法，讨论归纳出二次根式加减的法则，并用该法则进行二次根式的加减运算．
3．通过回顾整式的混合运算，理解二次根式混合运算中加、减、乘、除、乘方、开方等运算的运算顺序，能正确进行二次根式的混合运算． 目标一 会识别同类二次根式21.3 二次根式的加减 B【归纳总结】21.3 二次根式的加减1．判断同类二次根式的“一化、二看、三判断”法：21.3 二次根式的加减2．同类二次根式的“两相同、一无关”：目标二 会利用法则进行二次根式的加减运算21.3 二次根式的加减21.3 二次根式的加减[解析] 先化简，再合并．21.3 二次根式的加减【归纳总结】二次根式加减运算“三步法” ：21.3 二次根式的加减目标三 会进行二次根式的混合运算 21.3 二次根式的加减【归纳总结】二次根式混合运算的“五点注意” ：21.3 二次根式的加减(1)确定运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的；
(2)灵活运用运算律；
(3)正确使用乘法公式；
(4)有些运算中约分可使运算简便；
(5)最后将结果化为最简二次根式或整式． 知识点一 同类二次根式的概念21.3 二次根式的加减 几个二次根式化为最简二次根式后，如________________，那么这几个根式叫做同类二次根式．被开方数相同21.3 二次根式的加减知识点二 二次根式的加减法法则 法则：二次根式的加减类似于整式的加减，关键是____________________．通常应先将各个二次根式化简(化为最简二次根式)，再将同类二次根式合并．将同类二次根式合并知识点三 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，实质上就是实数的混合运算和代数式的混合运算．21.3 二次根式的加减21.3 二次根式的加减21.3 二次根式的加减专题训练 二次根式化简求值的五个技巧
? 技巧一 巧用二次根式的非负性
1．若实数m，n满足(m－1)2＋＝0，则(m＋n)5＝________．
2．若y＝＋＋2，求xy的值．
? 技巧二 逆用二次根式的乘除法法则
3．当ab＜0时，化简的结果是________．
4．化简：(1)；
(2)； (3)(a>0)；
(4)； (5).
? 技巧三 巧用乘法公式和幂的运算法则
5．化简：(2＋)11×(2－)10＝________．
6．计算：(1)－(＋1)2＋(＋1)(－1)；
(2)(＋)2017×(－)2018.
? 技巧四 巧用整体思想
7．若a－b＝－1，ab＝，则代数式(a－1)(b＋1)的值等于( )
A．2 ＋2 B．2 －2
C．2 D．2
8．已知x＋y＝－3，xy＝2，则＋的值是________．
9．已知x＝(＋)，y＝(－)，求下列各式的值：
(1)x2－xy＋y2； (2)＋.
? 技巧五 巧用因式分解
10．计算：(＋)2－(－)2＝[(＋)＋(－)]×[(________)－(________)]＝________．
11．计算：＋.
12．若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值．
详解详析
1．[答案] －1
[解析] ∵(m－1)2＋＝0，∴m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2，∴(m＋n)5＝(1－2)5＝－1.
2．解：由题意有x－3≥0，3－x≥0，∴x＝3，∴y＝2，∴xy＝6.
3．[答案] －a
[解析] 由ab＜0，可知a，b异号且a≠0，b≠0.又因为a2≥0，且a2b≥0，所以a＜0，b>0，所以原式＝－a.
4．解：(1)原式＝×＝5×3＝15.
(2)原式＝＝×＝4×7＝28.
(3)原式＝··＝1.5a·＝.
(4)原式＝＝＝.
(5)原式＝＝ .
5．[答案] 2＋
[解析] (2＋)11×(2－)10＝(2＋)[(2＋)×(2－)]10＝(2＋)(4－5)10＝2＋.
6．解：(1)原式＝3 －(3＋2 )＋3－1＝3 －3－2 ＋2＝－1.
(2)原式＝(＋)2017×(－)2017×(－)＝[(＋)×(－)]2017×(－)＝－.
7．[解析] B ∵a－b＝－1，ab＝，
∴(a－1)(b＋1)＝ab＋(a－b)－1＝＋－1－1＝2 －2.
8．[答案]
[解析] ∵x＋y＝－3，xy＝2，∴x＜0，y＜0，∴＋＝＋＝＋＝＝＝.
9．解：因为x＝(＋)，y＝(－)，所以x＋y＝，xy＝.
(1)x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝()2－3×＝.
(2)＋＝＝＝＝12.
10．[答案] ＋ － 4
[解析] 原式＝(＋＋－)(＋－＋)＝4 .
11．解：原式＝＋＝(－)＋(－)＝2 －2 .
12．解：由二次根式的定义，得
∴3－5a＝0，
∴a＝，
∴b＝15，
∴a＋b＞0，a－b＜0，
∴－＝－＝ － ＝(－)＝.
当a＝，b＝15时，原式＝×＝.
专题训练 根式大与小——选法作比较
二次根式的大小比较是二次根式的重点，学习的难点．比较二次根式的大小，无定法，需要因题来选法．
? 类型之一 算术平方根比较法
先将两个根式分别化为一个数的算术平方根，根据被开方数的大小，就可以判断两个根式的大小．
1．比较3 与2的大小．
? 类型之二 绝对值比较法
要比较两个含有二次根式的负数的大小，可以把它们转化为正数来比较．
2．比较－－1与－－1的大小．
3．比较－－3与－3－的大小．
? 类型之三 平方比较法
要比较两个二次根式的大小，可以将其平方后比较大小，再结合题目的其他条件得出结论．
4．比较＋与＋的大小．
.比较＋与＋的大小．
? 类型之四 估值比较法
采用“如果a
6．比较＋2与－2的大小．
7．比较与的大小．
? 类型之五 作差比较法
要比较两个二次根式的大小，可以将这两个二次根式相减，根据其差值的正负就可以判断它们的大小．
8．比较5－与2＋的大小．
? 类型之六 有理化法
通过运用分母或分子有理化，利用分子或分母的大小来判断其大小或其倒数的大小．
9．比较与的大小．
10．比较－与－的大小．
详解详析
1．解：∵3 ＝，2 ＝，而>，∴3 >2.
2．解：因为＝＋1，＝＋1，而＋1>＋1，根据两个负数，绝对值大的反而小，可知－－1>－－1.
[点评] 本题也可以先得出＜，再得出－＞－，最后得出结论．
3．解：∵|－－3|＝＋3，|－3－|＝3＋，而>，∴3＋＞＋3，∴－－3＞－3－.
4．[解析] 两个代数式中被开方数的和相等，可把这两个代数式分别平方后再比较乘积项，用乘积项的大小确定两个数的大小．
解：因为(＋)2＝18＋2 ，(＋)2＝18＋2 ，而18＋2 ＞18＋2 ，
所以(＋)2＞(＋)2，
所以＋＞＋.
5．解：(＋)2＝20＋2 ，(＋)2＝20＋2 ，而20＋2 ＜20＋2 ，
所以＋＜＋.
6．[解析] 对于此类问题，估值时不要把范围放得过大，要求范围要尽力贴近．
解：∵2＜＜3，7＜＜8，
∴＋2＜5＜－2.
7解：由题意知：2－a≥0，∴a≤2，∴a－3＜0，
∴＜0.
而≥0，
∴＞.
8．[解析] “作差比较法”是一种常用的比较方法，如果两个含根式的式子出现某些同类二次根式，就要考虑采用这种方法．
解：∵(5－)－(2＋)＝3－2 ＝－<0，∴5－<2＋.
9．解：∵＝＝＋1，＝＝＋1，
且＋1>＋1，∴>.
10． 解：∵－＝＝，
－＝＝，
且＋<＋，∴>，
即－>－.
二次根式
本章中考演练
一、选择题
1．2017·淮安下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2．2017·成都二次根式中，x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x>1
C．x≤1 D．x<1
3．2017·日照式子有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≠2
C．a≥－1且a≠2 D．a>2
4．2017·济宁若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A．x≥ B．x≤
C．x＝ D．x≠
5．2016·呼伦贝尔若1＜x＜2，则|x－3|＋的值为( )
A．2x－4 B．－2
C．4－2x D．2
6．2016·南充下列计算正确的是( )
A.＝2 B.＝
C.＝－x D.＝x
7．2017·眉山下列运算结果正确的是( )
A.－＝－ B．(－0.1)－2＝0.01
C．()2÷＝ D．(－m)3·m2＝－m6
8．2016·遂宁下列选项中，正确的是( )
A.有意义的条件是x>1
B. 是最简二次根式
C. ＝－2
D. 3 －＝－
9．2017·泸州已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S＝，其中p＝；我国南宋时期数学家秦九韶(约公元1202年—1261年)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝ .若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题
10．2017·天水若式子有意义，则x的取值范围是______________．
11．2016·曲靖如果整数x＞－3，那么使函数y＝有意义的x的值是________．(只填一个)
12．2016·潍坊计算：(＋)＝________．
13．2017·天津计算(4＋)(4－)的结果等于________．
14．2017·南京计算＋×的结果是________．
15．2017·青岛计算：(＋)×＝________．
16．2016·乐山在数轴上表示实数a的点如图21－Y－1所示，化简＋|a－2|的结果为________．
图21－Y－1
17．2016·黄石观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝－1；
第2个等式：a2＝＝－；
第3个等式：a3＝＝2－；
第4个等式：a4＝＝－2.
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an＝________________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝________．
三、解答题
18．计算：(1)2017·陕西(－)×＋|－2|－()－1；
(2)2017·上海改编＋(－1)2－＋()－1.
19．2016·乌鲁木齐先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋(2x－1)2－4x(x－1)，其中x＝2 .
20．2017·贺州先化简，再求值：÷(1＋)，其中x＝＋1.
21．2017·烟台先化简，再求值：(x－)÷，其中x＝，y＝－1.
22．2016·锦州先化简，再求值：÷(1＋)，其中x＝ －3 －(π－3)0.
详解详析
1．[解析] A A．被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B.被开方数含能开得尽方的因数，故B不符合题意；C.被开方数含能开得尽方的因式，故C不符合题意；D.被开方数含分母，故D不符合题意．故选A.
2．A
3．[解析] C 式子有意义，
则a＋1≥0，且a－2≠0，
解得a≥－1且a≠2.
故选C.
4．[解析] C 由题意可知解得x＝.故选C.
5．[解析] D ∵1＜x＜2，∴x－3＜0，x－1＞0，
∴原式＝|x－3|＋|x－1|＝3－x＋x－1＝2.故选D.
6．A
7．[解析] A A.－＝2 －3 ＝－，正确，符合题意；B.(－0.1)－2＝＝100，故此选项错误；C.()2÷＝·＝，故此选项错误；D.(－m)3·m2＝－m5，故此选项错误．故选A.
8．D
9．[解析] B ∵S＝ ，∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积S＝ ＝，故选B.
10．[答案] x≥－2且x≠0
[解析] 根据题意，得x＋2≥0，且x≠0，解得x≥－2且x≠0.
11．[答案] 0(答案不唯一)
[解析] ∵y＝，∴π－2x≥0，即x≤.∵整数x＞－3，∴当x＝0时符合要求，故答案可以为0.
12．[答案] 12
[解析] 原式＝×(＋3 )＝×4 ＝12.
13．[答案] 9
[解析] (4＋)(4－)
＝16－7
＝9.
故答案为9.
14．[答案] 6
[解析] 原式＝2 ＋＝2 ＋4 ＝6 .
15．[答案] 13
[解析] 原式＝(2 ＋)×＝×＝13.
16．[答案] 3
[解析] 由数轴可得：a－5＜0，a－2＞0，则＋|a－2|＝5－a＋a－2＝3.
17．(1)＝－
(2)－1
18．解：(1)原式＝－＋2－－2
＝－2 －
＝－3 .
(2)原式＝3 ＋2－2 ＋1－3＋2
＝＋2.
19．[全品导学号：34942185] 解：原式＝x2－4＋(4x2－4x＋1)－(4x2－4x)＝x2－4＋4x2－4x＋1－4x2＋4x＝x2－3.
当x＝2 时，原式＝(2 )2－3＝12－3＝9.
20．解：原式＝·
＝.
当x＝＋1时，
原式＝
＝.
21．解：(x－)÷
＝·
＝·
＝x－y.
当x＝，y＝－1时，原式＝－(－1)＝－＋1＝1.
22．解：÷(1＋)
＝÷
＝·
＝.
x＝ －3 －(π－3)0
＝×4 －－1
＝2 －－1
＝－1.
把x＝－1代入，得＝＝.
二次根式
本章总结提升
问题1 二次根式的概念
当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？为什么要强调x是这样的实数？
例1 2017·绵阳使代数式＋有意义的整数x有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
【归纳总结】 根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式(组)即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为0等．
问题2 二次根式的性质
例2 已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图22－1－1所示，化简：＋|a＋c|－＋|1－b|＝________．
图22－1－1
问题3 二次根式的运算
二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？
例3 2017·上海改编计算：＋(－1)2－ ＋()－1＝________．
【归纳总结】 二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．
问题4 与二次根式有关的代数式求值
化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？
例4 化简求值：(－)÷，其中a＝1－，b＝1＋.
详解详析
【整合提升】
例1 [解析] B 由题意，得x＋3＞0且4－3x≥0，解得－3＜x≤，其中的整数有－2，－1，0，1，故选B.
例2 [答案] c＋a－1
[解析] 由图可知：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，故原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1＝c＋a－1.
例3 [答案] 5
[解析] 原式＝3 ＋2－2 ＋1－＋2＝5.
例4 [解析] 先按分式的运算法则计算化简，再代入求值．
解：(－)÷
＝÷
＝·
＝.
当a＝1－，b＝1＋时，原式＝.
【章内专题阅读】
二次根式中的数学思想
日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年的时间可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神和数学思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益．”由此可见数学思想是多么的重要，那么二次根式这一章中，有哪些重要的思想呢？
1．模拟探究的思想
例1 我们规定运算符号“※”的意义是当a>b时，a※b＝a＋b；当a≤b时，a※b＝a－b，其他运算符号的意义不变．按上述规定，计算－＝________．
[解析] 根据符号“※”的意义，将其转化即可．
－＝＋－＝＋－1＋－＝2 .
[点评] 例1是模拟规定、探究计算的题型，类似的模拟理论、探究实际，模拟特殊、探究一般，模拟确定、探究分类等，是近几年中考的一个热点．
2．数形结合的思想
例2 实数p在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：＋()2.
[解析] 根据实数p在数轴上对应的点的位置，确定出1－p<0，3－p>0，再进行化简．
解：由实数p在数轴上对应的点的位置，可得10.
所以＋()2＝|1－p|＋3－p＝p－1＋3－p＝2.
[点评] 例2主要是应用＝|a|和()2＝a(a≥0)化简，注意这两个性质中a表示的范围不同．()2中a≥0，而中a可以是负数．
3．整体代入的思想
例3 已知x＝(＋)，y＝(－)，求x2－xy＋y2的值．
[解析] 从整体着手，由已知式子可以看出x＋y和xy并不复杂，x＋y＝，xy＝，因此，只要把x2－xy＋y2化成只含x＋y和xy的形式，整体代入求值即可．
解：∵x＝(＋)，y＝(－)，∴x＋y＝，xy＝.
∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝()2－3×＝2017.25.
[点评] 例3如果直接将x，y的值代入，则计算量比较大，且算式长，容易出现错误，所以整体代入可以减小计算量．
4．转化的数学思想
例4 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，求此等腰三角形的周长．
解：∵＋(2a＋3b－13)2＝0，且
∴解得
∴等腰三角形的周长是7或8.
5．归纳的数学思想
例5 计算下列各式的值：
；；；.
观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得
[答案] 102018
[解析] ＝10；＝100；＝1000；＝10000.可得，所以＝102018.
[点评] 解答例5这类题的一般步骤：算出前几个算式，找到变化规律，利用规律归纳出要解决的问题．为了促进所归纳的规律的准确性，可将规律中的n取最简单的特殊值再验证一下．
课件13张PPT。第21章 二次根式本章总结提升第21章 二次根式本章总结提升问题1 二次根式的概念本章总结提升B 本章总结提升【归纳总结】根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式(组)即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为0等．
本章总结提升问题2 二次根式的性质本章总结提升 c＋a－1本章总结提升[解析]由图可知：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，
故原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1
＝c＋a－1.问题3 二次根式的运算本章总结提升 二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？ 5【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．本章总结提升问题4 与二次根式有关的代数式求值[解析] 先按分式的运算法则计算化简，再代入求值．本章总结提升 化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？本章总结提升【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．本章总结提升