1.3 正方形的性质与判定（3）同步作业

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 正方形的性质与判定（3）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．18 D．36
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
　 A． 对角线相等 B． 对角线互相垂直
　 C． 对角线互相平分 D． 对角线平分一组对角
3．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A. B. 2 C. +1 D. 2+1
4．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（　　）
A. 7 B. 8 C. 7 D. 7
5．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）．
A. 5 B. 5 C. 6 D.
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．
A. B. 2 C. D.
7．如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　 　）
A. AM⊥FC B. BF⊥CF C. BE=CE D. FM=MC
8．有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则 A：B等于（ ）
A. 1： B. 1:2 C. 2:3 D. 4:9
9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是(　　)
A. 3 B. 2 C. 3 D. 3
10．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11．如图,已知P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4 ,则PC的最大值是________；
12．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②AG=2GC，③BE+DF=EF，④S△CEF=2S△ABE正确的有_____（只填序号）．
13．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到______
14．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为________．
15．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=_____．
16．在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，EF⊥AE交BC于点F，且F为BC的中点，若AB=4，则EF=_____．
三、解答题
17．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．
（1）若∠FAE=20°，求∠DCG的度数；
（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
18．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
19．如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2 cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动．
(1)在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由．
(2)运动多少秒后，四边形EFGH的面积为52cm2？
20．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
⑴ 求证：PC＝PE；
⑵ 若BE＝2，求PB的长.
21．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）若EC=FC=1，求AB的长度．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，可知AB=BC，OA=OC，因此可得AB=，即可求得正方形的面积=.
故选C．
考点：正方形的性质
2．A
【解析】解： EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT 矩形的对角线互相平分、相等，菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
3．B
【解析】试题解析：如图，连接BD，
∵正方形的面积为1，
∴其边长为1，
∴在中，由勾股定理得，
∵点分别为和的中点，
又∵四边形是正方形，
∴正方形的周长为
故选B.
4．C
【解析】试题解析：
如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SSS)，
∴∠ABE=∠CDF，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
即
同理：
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(AAS)，
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12 5=7，
∴四边形EGFH是正方形，
故选C.
5．D
【解析】分析: 由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
详解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3，
∴AE=3，AB=5，
∴DE=，
故PB+PE的最小值是．
故选D.
点睛:本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
6．C
【解析】分析：
如图，连接AC、FC，由勾股定理结合已知条件求得AC、CF的长，由正方形的性质得到∠ACF=90°，即可由勾股定理求得AF的长，再结合点H是AF的中点即可得到CH的长.
详解：
如下图，连接AC、FC，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AB=BC=1，EF=CE=3，∠A=∠E=90°，∠ACD=∠GCF=45°，
∴AC=，CF=，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，
∴AF=，
又∵点H是AF的中点，
∴CH=AF=.
故选C.
点睛：本题是一道综合应用正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质求线段长度的题目，解题的关键是：作出如图所示的辅助线，利用正方形的性质和勾股定理求得AC、CF的长，并证明∠ACF=90°，由此即可由勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CH的长.
【答案】A
【解析】∵△ABE经旋转，可与△CBF重合，
∴∠BAE=∠BCF，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBF=90°，
∴∠BCF+∠F=90°，
∴∠BAE+∠F=90°，
∴∠AMF=90°，
∴AM⊥FC.
故选A.
点睛：充分利用旋转对应的边相等，角相等的性质.
8．D
【解析】如答图所示：
设大正方形ABCD的边长为a，
则小正方形BEFG的边长为a，
∴CE=BE=EF=a.
∵AB=BC=a，∠B=90°，
∴AC== =a，
∴AM=HM=MJ=IJ=CJ=a，
∴AH=AM=×a=a，
∴DH=AD-AH=a-a=a=DI，
∴S1=DH·DI=×a×a=a2，
S2=CE·EF=×a×a=a2，
∴S1:S2=a2:a2=4:9.
即A:B=4:9.
故选D.
点睛：此题考查了正方形的性质，用到的知识有正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算公式，关键是根据题意求出A、B的面积.
9．C
【解析】如图，
过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,∵∠ADC=∠ABC=90°,∴四边形DPBE是矩形,∵∠CDE+∠CDP=90°,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,∴∠ADP=∠CDE,∵DP⊥AB,∴∠APD=90°,∴∠APD=∠E=90°,在△ADP和△CDE中,
,
∴△ADP≌△CDE（AAS）,∴DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP=故答案为: .
10．A
【解析】如图，可得△EPM≌△EQN，四边形EPCQ是正方形，又EP//AB，EC=2AE ，则可得CP=2BP，则有BP=BC= a，∴S重叠部分=S正方形EPCQ= ； 故选A.
11．
【解析】分析：过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE=PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大．
详解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，
则PE=PB=4，
∵∠ABE=∠ABP+90 ,∠CBP=∠ABP+90 ，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP(SAS)，
∴AE=PC，
由两点之间线段最短可知，点A. P、E三点共线时AE最大，
此时AE=AP+PE=3+4，
所以,PC的最大值是3+4.
故答案为：3+4.
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是能够巧妙利用三角形全等的知识，构造全等三角形，把求PC的长转换为求AE的长.
12．①④．
【解析】分析：先通过证明Rt△ABE≌Rt△ADF可对①进行判断；再证明AG垂直平分EF得到CG=EF，即EF=2CG，则利用EF＞AG可对②进行判断；由于∠EAG=30°，∠BAE=15°，则可判断BE≠EG，然后利用BE+DF=2BE，EF=2EG可对③进行判断；延长CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如图，易得△ABF′≌△ABE，∠EAF′=30°，设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，所以EH=x，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
详解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，所以①正确；
∠BAE=∠DAF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAG=∠FAG，
∴AG垂直平分EF，
∴CG=EF，即EF=2CG，
而EF＞AG，
∴AG＜2CG，所以②错误；
∵∠EAG=30°，∠BAE=15°，
∴BE≠EG，
∴BE+DF=2BE，EF=2EG，
∴BE+DF≠EF，所以③错误；
延长CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如图，
易得△ABF′≌△ABE，
∴∠EAF′=30°，
设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，
∴EH=x，
∴S△AF′E= 2x x=x2，S△CEF= x 2x=x2，
∴S△CEF=2S△ABE，所以④正确．
故答案为①④．
点睛：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等边三角形的性质．
13．
【解析】如图,连接AE,
因为点C关于BD的对称点为点A,
所以PE+PC=PE+AP,
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,
∵CE＝1，BE=2,
∴AB＝BC＝3，
∴在Rt△ABE中，AE= ，
∴PE+PC的最小值是；
故答案是。
14．
【解析】试题解析：延长GE交AB于点O，作于点H，
是的中点,
PH是的中位线，
中, ,
是等腰直角三角形,即
同理中,
在中,
故答案为:
15．
【解析】分析：连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF，再根据S△BEF= EF BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，列出方程即可解决问题．
详解：如图，连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=1，AF=2，
∴DE=4，DF=3，
∴EF==5，
∵S△BEF= EF BG=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，
∴ 5 BG=25﹣ 5 1﹣ 5 2﹣ 3 4，
∴BG=，
故答案为：.
点睛：本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．
【解析】分析：过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，根据正方形的性质证得△AEM≌△EFN，然后全等三角形的性质，列方程求出FN、EN的长，最后根据勾股定理求得EF的长.
详解：过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，如图，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，∠BDM=45°，
∴MN=CD=4，ME=DM，
设ME=x，则DM=x，AM=4﹣x，NE=4﹣x，
∴AM=EN，
∵F为BC的中点，
∴FN=2﹣x，
∵EF⊥AE，
∴∠AEM=∠EFN，
在△AEM和△EFN中
，
∴△AEM≌△EFN，
∴ME=FN，即x=2﹣x，解得x=1，
∴FN=1，EN=3，
∴EF==．
故答案为．
点睛：此题主要考查了正方形的性质，关键是构造直角三角形，利用勾股定理求解，注意数形结合思想和方程思想的应用，有点难度.
17．（1）70°；（2）CG=AF+FG，理由见解析
【解析】分析：（1）由正方形的性质求得∠ABC=∠D=90°，根据三角形的外角定理求得∠FED，再根据四边形内角和求得结论；
（2）由∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，证得∠ABF=∠BCG，再证得在ABF≌△BCG，AF=BG，由全等三角形的性质证得BF=CG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论．
详解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=∠D=90°，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFE=∠CGE=90°，
∵∠FAE=20°，
∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°，
∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°；
（2）猜想：CG=AF+FG，
证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABF和△BCG中
∴ABF≌△BCG（AAS），
∴AF=BG，BF=CG，
∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．
点睛：本题主要考查了正方形的性质，三角形外角和定理，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，能根据互为余角的关系证得∠ABF=∠BCG是解决问题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
试题解析：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，∴
四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180× =45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
19．（1）见解析；（2）运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2.
【解析】试题分析：
试题解析：解：(1)四边形EFGH为正方形．理由如下：
设运动时间为t s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2tcm，
在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA，∴BE＝CF＝DG＝AH.
在△AEH和△BFE中， ，
∴△AEH≌△BFE，
同理可证：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝HG，
∴四边形EFGH为菱形．
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH＝∠BFE，而∠BFE＋∠BEF＝90°，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH为正方形．
(2)设运动的时间为x s，则AE＝BF＝CG＝DH＝2xcm.
∵AB＝BC＝CD＝DA＝10cm，
∴BE＝CF＝DG＝AH＝(10－2x)cm.
由勾股定理得S四边形EFGH＝EH2＝AE2＋AH2＝(2x)2＋(10－2x)2＝8x2－40x＋100.
当S四边形EFGH＝52 cm2时，8x2－40x＋100＝52，即x2－5x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，AE＝2x＝2×2＝4＜10；
当x＝3时，AE＝2x＝2×3＝6＜10.
∴x＝2或3均符合题意．故运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2.
点睛：1：对角线相等的菱形是正方形.
2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形.
3：四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形.
4：一组邻边相等的矩形是正方形.
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
6：四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】分析： 过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G.证明△PFE≌△PGC即可.
设EF=x.根据 △PFE≌△PGC .得到GC=EF=x. 由BE=2得：BF=x＋2.
由正方形FBGP得：BG=x＋2. BG＋GC=6.列出方程，求出，在△PFB中，用勾股定理即可求出PB的长.
详解：⑴ 过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G.
∴ ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC,
∴ ∠ABD=∠ADB=45°，四边形FBGP是矩形,
∴ ∠FPB=90°－∠ABD=90°－45°=45°,
∴ ∠ABD=∠FPB,
∴ FP=FB,
∴ 矩形FBGP是正方形,
∴ PF=PG，∠FPG=90°,
∴ ∠FPG＋∠EPG=90°,
∵ EP⊥PC,
∴ ∠EPC=90°,
∴ ∠GPC＋∠EPG=90°,
∴ ∠FPG=∠GPC ,
∵ ∠FPG=∠GPC ，PF=PG，∠PFE=∠PGC,
∴△PFE≌△PGC（ASA）
∴ PE=PC.
（方法不唯一，酌情给分）
⑵ 设EF=x.
∵ △PFE≌△PGC .
∴ GC=EF=x.
由BE=2得：BF=x＋2.
由正方形FBGP得：BG=x＋2.
∵ BC=6,
∴ BG＋GC=6.
∴ （x＋2）＋x=6,
解得：x=2.
∴ PF=BF=2＋2=4 ,
△PFB中，∠PFB=90°，由勾股定理得： ,
∵ PB＞0
∴
答：PB的长为
点睛：考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等. 过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，构造全等三角形是解题的关键.
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）+1
【解析】分析：（1）由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据EG=BE，FG=DF，得到EF=BE+DF，于是得到△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，即可得到结论；
（3）根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF=，于是得到结论．
详（1）证明：由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∴∠BAD=2∠EAF=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵EG=BE，FG=DF，
∴EF=BE+DF，
∴△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，
∴三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）∵EC=FC=1，
∴BE=DF，
∴EF=，
∵EF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=+1．
点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等，另外要求同学们熟练掌握勾股定理的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)