专题05数学归纳法-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学（理）备考热点难点突破练（江苏版）

解答题
1．已知，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:.
【答案】（1）. （2）165.（3）见解析.
（3）因为，所以要得无理项，必为奇数，
所以，
要证明，
只要证明，用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当时，左边=右边，
当时，，
∴时，不等式成立.
（Ⅱ）假设当 时，成立，
则时，（*）
∵，
∴结合（*）得：成立，
∴时，不等式成立.
综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.
∴不等式成立 .
2．设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2 (n∈N*)
（1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；
（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
【答案】（1）；（2）见解析.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，
那么n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak
∴ak＋1=2ak，
这表明n＝k＋1时，猜想成立，
由①②知猜想 成立．
3．已知数列满足：，.
（Ⅰ）试求数列，，的值；
（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.
【答案】（Ⅰ） ， ， .
（Ⅱ），证明见解析.
假设时，结论成立，即有，
则对于时，




∴当时，结论成立.
综上，可得对， 成立
4．已知数列满足： .
证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
（2）由
得
设
则
由于与在上单调递增，
所以
故在上单调递增，所以
所以
即
（3）由（2）得，则
所以
又，所以，所以，故
所以，所以
5．已知数列中，且.
（1）求，，；
（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；
（3）若，且，求.
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.
（2）由此猜想.
下面用数学归纳法加以证明：
①当时，由（1）知成立；
②假设，结论成立，即成立.
则当时，有，即

即时，结论也成立；
由①②可知，的通项公式为.
6．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律下去
（1）写出第5个等式；
（2）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1）5+6+7+…+13=81（2）见解析
【解析】
（1）第5个等式 5+6+7+…+13=81
（2）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2
证明：（1）当n=1时显然成立；
（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2…（8分）
那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（2k﹣1）+3k+3k+1
=（2k﹣1）2+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1）
=4k2﹣4k+1+8k=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2
而右边=[2（k+1）﹣1]2
这就是说n=k+1时等式也成立．
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．
7．将正整数作如下分组:，，，， ，，.分别计算各组包含的正整数的和
如下， ，
，
，
，
，
，
(1)求的值； (2)由,,,的值，试猜
测的结果，并用数学归纳法证明.
【答案】(1)175. (2) =,证明见解析.
【解析】
(1)
(2)
猜测=
事实上，有题设可知
.
所以10分
所以
从而，
所以猜想在n=k+1时也成立.
综合（1）（2）可知猜想对任何.
8．（1）已知，比较和的大小并给出解答过程；
（2）证明：对任意的，不等式成立.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
(1)：.
由条件= ，， .
（2）：证法一
证明：由（1）所得结论得
=
两边开方，命题得证.
证法二
下面用数学归纳法证明不等式成立.
①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当时不等式成立,即成立.
则当时,左边
所以当时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立. .
9．已知数列中，且.
（1）求，，；
（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；
（3）若，且，求.
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.
（2）由此猜想.
下面用数学归纳法加以证明：
①当时，由（1）知成立；
②假设，结论成立，即成立.
则当时，有，即

即时，结论也成立；
由①②可知，的通项公式为.
10．用数学归纳法证明：对于任意的，.
【答案】见解析
【解析】
当n=1时，左边右边，命题成立.
假设当命题成立，即；
当n=k+1时，左边

，
即当n=k+1时，命题成立.
综上所述，对于任意的，.
11．已知数列是等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项 (其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析.
【解析】
(1) 设数列{bn}的公差为d,
由题意得,∴bn=3n－2 .
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，

,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1 ,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 .
12．是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，显然成立.
（2）假设时，能被36整除，即能被36整除.
当时，，
由于是2的倍数，故能被36整除.
这就是说，当时，也能被36整除.
由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9.
13．已知数列的前项和为，且满足，.
（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
当时，，
∴，
由此猜想，
（2）下面用数学归纳法证明，
①当时，显然成立，
②假设当时猜想成立，即，
由题意得，
∴，
∴，
∴当时猜想也成立，
由①和②，可知猜想成立，即.
14．已知数列满足，.
（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】
（1）当时，；
当时，；
当时，，
由此猜想；
15．已知数列满足且.
（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
⑴，猜想：．
（2）①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即当时，结论也成立，
由①②得，数列的通项公式为.
16．在数列中， ,且 (）．
（1）写出此数列的前5项； （2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
（2）由（1）中的分析可以猜想．
下面用数学归纳法证明：①当时，公式显然成立．
②假设当时成立，即，那么由已知，
得，即，
所以， 即，
又由归纳假设，得，
所以，即当时，公式也成立．
由①和②知，对一切，都有成立．
17．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】见解析.
【解析】假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得
以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
①当时，由以上可知等式成立；
②假设当时等式成立，
即，
由①②知等式对于一切正整数都成立．
18．已知数列满足…．
（1）求， ， 的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1）， ， ．
（2）猜想： ．
证明：①当，2，3时，由上知结论成立；
由得

，

．
又
，
于是．
所以， 故时结论也成立．
由①②得， ．
19．设，正项数列的前项的积为，且，当时， 都成立.
（1）若， ， ，求数列的前项和；
（2）若， ，求数列的通项公式.
【答案】(1) (2)
（2）当n＞k时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，
所以=，即=an+1，
因为M={3，4}，所以取k=3，当n＞3时，有an+4an﹣2=an+12；
取k=4，当n＞4时，有an+5an﹣3=an+12．
由an+5an﹣3=an+12 知，
数列a2，a6，a10，a14，a18，a22，…，a4n﹣2，…，是等比数列，设公比为q．…①
由an+4an﹣2=an+1 知，
数列a2，a5，a8，a11，a14，a17，…，a3n﹣1，…，是等比数列，设公比为q1，…②
数列a3，a6，a9，a12，a15，a18，…，a3n，…，成等比数列，设公比为q2，…③
数列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，…，a3n+1，…，成等比数列，设公比为q3，…④
由①②得， =q3，且=q14，所以q1=；
由①③得， =q3，且=q24，所以q2=；
由①④得， =q3，且=q34，所以q3=；
所以q1=q2=q3=．
由①③得，a6=a2q，a6=a3q2，所以==，
由①④得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，
所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以{an}（n≥2）是公比为q的等比数列．
因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；
当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，
所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2．
又a1=，所以{an}（n∈N*）是公比为的等比数列．
故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1?．
20．已知函数，对任意正整数，有，求方程的所有解．
【答案】见解析.
另一方面，当时， 在上单调递减；
假设时， 在上单调递减，
则时， =