专题06概率与数学期望-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学（理）备考热点难点突破练（江苏版）（解析版）

填空题
1. 1．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为__________ .
【答案】0.65
点睛：本题主要考查对立事件及独立事件的概率公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
2．随机变量的分布列为，1，2，3，4，则__________ .
【答案】
【解析】分析：根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出变量等于和时的概率,结合互斥事件的概率公式可得结果.
详解： ，
，
，故答案为.
点睛：本题主要考查分布列的性质以及互斥事件的概率公式，属于简单题.
3．口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为__________．
【答案】
4．已知随机变量X～B(5， )，则P(X≥4)＝________.
【答案】
【解析】.
5．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为_____．
【答案】
【解析】分析：根据条件概率进行求解即可．
详解：设“第一次取得白球”为事件A，“第二次恰好取得黄球”为事件B．
由题意得，
∴．
点睛：解决概率问题时，若条件中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样，则一般为条件概率类型．求解时可根据条件概率的定义进行，即进行求解．
6．随机变量ξ的取值为0，1，2，若，则________.
【答案】
【解析】分析：结合方差的计算公式可知，应先求出 ，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．
详解：设 ，则由已知得
解得
所以
故答案为.
点睛：本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．属基础题.
7．甲、乙两人独立地破译一密码,他们能单独破译该密码的概率分别是,假设他们破译密码彼此没有影响,则该密码被破译的概率为了__________．
【答案】
点睛：该题考查的是有关相互独立事件同时发生的概率以及对立事件发生的概率求解问题，在解题的过程中，也可以用加法来算，分析密码被破译应该有三种情况：甲破译而乙没有破译、乙破译而甲没有破译、甲乙同时破译，当对应的情况较多时，可以用其对立事件的概率来求解.
8．已知变量满足,且,则______________.
【答案】4.8
【解析】由可知，X服从二项分布，
则,
又因为，所以,
则.
9．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若表示取到次品的个数，则______________；
（2）设随机变量的分布列为 ，0，1，2，…，，且，则 ______________；
（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差______________．
【答案】 8
10．已知随机变量的分布列如下表：
若，则______；______．
【答案】 0. .
【解析】分析：先根据分布列的性质求出b的值，再根据期望计算出a的值，最后计算方差.
详解：由题得
所以.
解得a=0.
所以
故答案为：0，.
点睛：本题主要考查分布列的性质，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生离散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.
11．下表是随机变量的分布列，其中，，成等比数列，，且，，互不相等.则__________．
-1
0
2
【答案】
解得：或.
，，互不相等，则：，分布列为：
故，其方差为：
.
点睛：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的计算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．某大型超市经销一种商品,根据以往资料统计,顾客采用分期付款的期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
该超市经销一件该商品,采用1期付款,利润为200元;分2期或3期付款,利润为260元;分4期或5期付款,利润为300元.若η表示经销一件该商品的利润,则η的分布列为___________.
【答案】
η
200
260
300
P
0.4
0.4
0.2
【解析】η的可能取值为200,260,300, 则P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=260)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.2.
所以η的分布列为
η
200
260
300
P
0.4
0.4
0.2
13．甲、乙、丙、丁四位师范生要分到A、B、C三所学校工作,每所学校至少一人,已知甲被分到A校工作,求乙被分到B校工作的概率为___________.
【答案】
【解析】甲、乙、丙、丁四位师范生要分到A、B、C三所学校工作，每所学校至少一人,总共有种，设“甲被分到A校工作”为事件,“乙被分到校工作”为事件,
，，则
14．抛掷红、黄两颗骰子，设事件为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件为“两颗骰子的点数之和大于7”.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．
【答案】
详解：设为掷红骰子的点数，为黄掷骰子得的点数，共有种结果，则黄色的骰子的点数为或所有种结果，两颗骰子的点数之和大于所有结果有种，利用古典概型概率公式可得，由条件概率公式可得，故答案为.
点睛：本题主要考查条件概率以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出；(3)利用两个原理及排列组合知识.
解答题
15．如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．
（1）求S＝的概率；
（2）求S的分布列及数学期望E(S)．
【答案】（1）（2）见解析
（2）S的所有可能取值为，，.
S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，
所以P(S＝)＝＝.
S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，
所以P(S＝)＝＝.
又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为
S
P
所以E(S)＝×＋×＋×＝.
点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
16．一位游戏爱好者设计了一个滚弹珠游戏,在一条直线上依次有个红色圆圈标记,从左到右分别记为(为给定的正整数),设每两个相邻红色圆圈标记的间距为1个单位长度.一个弹珠从中间位置的红色圆圈标记处开始,按以下规律在这些红色圆圈标记之间随机滚动分钟：每分钟滚动两次,每次沿直线随机向左或向右滚动0.5个单位,且向左或向右滚动的可能性相等.
（1）求该弹珠第分钟末处在红色圆圈标记位置的概率；
（2）当时,求该弹珠第分钟末所在位置与起始位置（即红色圆圈标记）之间的距离的数学期望.
【答案】（1）；（2）.
对某个,设从出发,经过次随机滚动到达的全过程中,
设向右滚动0.5个单位长度和向左滚动0.5个单位长度分别有次和（）次,
则,解得,
即在次随机滚动中有次向右滚动,次向左滚动,
而这样的情形共有种,故所求的概率.
（2）对于,红色圆圈标记与相距个单位长度,
而该弹珠到红色圆圈标记的概率为,
故所求的数学期望为.
当时,
.
17．某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.
该公司所在地区汽车限行规定如下：
（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；
（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）.（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）先求出其对立事件（该公司在星期四最多有一辆汽车出车）的概率，则所求概率 .（2）的可能值为0，1，2，3，4，分别求出即可得的分布列和数学期望.
答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.
（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4
；
；
；
；
.
.
答：的数学期望为.
【点睛】
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题第（1）题采用的是法二.
18．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（1）求事件 “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，
至少有两次得到虚数” 的概率；
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析：（1）根据卡片上分别标有数﹣i，i，﹣2，2其中i是虚数单位，可求P（A），利用对立事件的概率公式，可求P（B）；
（2）确定随机变量ξ=|a?b|的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望Eξ．
试题解析：
（1）∵卡片上分别标有数﹣i，i，﹣2，2其中i是虚数单位，
∴P（A）==，
P（B）=1﹣P（）=1﹣[]=1﹣=
（2）a，b，ξ的可能取值如下表所示：
由表可知：P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==
∴随机变量ξ的分布列为

∴Eξ=1×+2×+4×=
19．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；
(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
试题解析：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以P＝＝＝.
(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.
{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；
{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
故P(X＝3)＝＝＝；
于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)
＝1－－＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
P
因此随机变量X的数学期望
E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
20．在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．
（1）求概率；
（2）求的概率分布及数学期望．
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
∴．
（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．
则， ，
， ．
∴的概率分布列为：
X
300
400
500
600
700
P
∴（元）．
21．已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 .
（1）求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；
（2）记X为选出的女选手的人数，求X的概率分布和数学期望.
【答案】（1）21；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）求1名女生3名男生的选法：甲1女1男，乙2男；甲2男乙1女1男，再利用组合数列式求解，（2）先确定随机变量的取法，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
的概率分布为：
．
22．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据题意，可先求乐队至少演唱1首原创新曲的对立事件的概率来解；（2）根据超几何分布，可写出相应互动指数对应的概率，写出分布列求其期望即可.
试题解析：
（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为，则
（2）由题意可得： .
,
.
23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据题意，可先求乐队至少演唱1首原创新曲的对立事件的概率来解；（2）根据超几何分布，可写出相应互动指数对应的概率，写出分布列求其期望即可.
,
.
24．已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：
若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则；
若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
（1）求的值；
（2）求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
（1）；
（2）， ，
根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：
根据上表， .
25．某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立.规定：有一门学科获等级加1分，有两门学科获等级加2分，有三门学科获等级加3分，四门学科全获等级则加5分，记表示该生的加分数， 表示该生获等级的学科门数与未获等级学科门数的差的绝对值.
（1）求的数学期望；
（2）求的分布列.
【答案】（1） （2）见解析
则，
即， ， ， ， ，则
所以 .
（2）的可能取值为0，2，4，则
；
；
.
26．袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,
(1)求取球3次则停止取球的概率;
(2)求随机变量的分布列.
【答案】（1）（2）见解析
（2）由题意， 可能的取值为2,3,4,5，
；
；

其分布表如下：
2
3
4
5
27．小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试．
（1）求手机被锁定的概率；
（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）．（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）设事件A：“手机被锁定”，利用相互独立事件概率计算公式能求出手机被锁定的概率．
（2）依题意X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望．
试题解析：（1）设事件A：“手机被锁定”，
则．
答：手机被锁定的概率为．
（2）依题意， 的所有可能值为1，2，3，4．
则， ，
， ，
所以的分布表为：
所以（次）．
28．在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7，…，10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏.
（1）求甲拿到礼物的概率；
（2）设表示甲参加游戏的轮数，求的概率分布和数学期望.
【答案】（1），（2）见解析
【解析】试题分析：（1）甲拿到礼物的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．
（2）随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列及数学期望．
（2）随机变量的所有可能取值是1,2,3,4.
，
，
，
，
随机变量的概率分布列为：
所以.