专题01函数图像与性质-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学（文）备考热点难点突破练（江苏版）

填空题
1．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________.
【答案】0
所以.
故答案为：0.
点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：
是偶函数，则，是奇函数，则，
是偶函数，则，是奇函数，则.
2．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________ .
【答案】
【解析】分析：利用奇函数的中心对称性及函数的单调性和奇函数满足可求解.
详解：在上单调递减，且，
当时，有.
又为奇函数，图象关于原点对称，
所以在上，可得.
又奇函数满足.
所以不等式的解集为.
故答案为：.
点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.
3．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】（2，3]
详解：
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
4．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，
当时， ，则下列结论正确的是___________.
① 的图象关于对称 ② 的最大值与最小值之和为
③方程有个实数根 ④当时，
【答案】③
【解析】分析：利用条件和函数为奇函数，结合时， ，综合考虑函数图像，逐一判断四个结论的真假，可得结论.
详解：
是定义在上的奇函数，对，均有，
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
5．设函数，则使成立的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.
详解：因为函数，所以时， ,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
6．已知函数，则_______.
【答案】
点睛：本题主要考查分段函数的解析式以及函数周期性的应用，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
7．若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论.
详解：
因为函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又在上是增函数，且，当或时，；当或时，，作出函数的草图，如图，则不等式等价为或，即或，则或，解得或，即不等式的解集为，故答案为.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解..
8．已知函数，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
考点：二次函数性质
9．设函数，则满足的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】分析：根据分段函数的解析式讨论两种情况，利用指数函数和对数函数的性质求解即可.
详解：因为函数，由，可得当时，，解得，当时，恒成立，综上所述面，满足的的的取值范围是，故答案为.
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
10．已知为偶函数，则____________．
【答案】4.
所以，所以，从而求得.
点睛：该题考查的是有关分段函数形式的偶函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，关键的步骤是建立起所满足的等量关系式，这就要求从解析式出发，所以对自变量的范围加以限制，将式子写出来，利用偶函数的定义，之后利用对应项系数相等求得结果.
11．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】（2，3]
【解析】分析：函数恰有4个零点，等价于的图象与有四个交点，只需，与，，与轴都有两个交点，画出图象，利用数形结合思想求解即可.
详解：
当时，在上，要使恰有四个零点，则满足，即，解得，故答案为.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
12．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，
当时， ，则下列结论正确的是___________.
① 的图象关于对称 ② 的最大值与最小值之和为
③方程有个实数根 ④当时，
【答案】③
【解析】分析：利用条件和函数为奇函数，结合时， ，综合考虑函数图像，逐一判断四个结论的真假，可得结论.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
13．设函数，则使成立的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.
详解：因为函数，所以时， ,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
14．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 ______ ．
【答案】
则，绘制函数的图象如图所示，
函数有3个不同的零点，
则函数与函数有个不同的交点，
观察函数图象可得：.
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
解答题
15．已知函数，且定义域为.
（1）求关于的方程在上的解；
（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
详解：（1）令，即有.
当时，方程即为，方程无解；
当时，方程即为，解得（负值舍去）.
综上，方程的解为.
（2），
由在上单调递减，则，
解得，所以实数的取值范围是.
（3）当时，， ①
当时，， ②
若，则①无解，②的解为，故不成立；
若，则①的解为 .
（Ⅱ）当，即或时，②在内有不同两根，
由，知②必有负数根，所以不成立，
综上.
点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在身上单调递减.
16．如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.
（1）求函数的解析式；
（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.
【答案】（1）；（2）当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米
详解：（1）以代入，得，
因为，得直线：，
所以.
（2）设梯形的高为米，则，且，，
所以，
所以梯形的面积，
由，
令，得，列表如下：
＋
0
－
↗
极大值
↘
所以当时，取得极大值，即为最大值为.
答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米.
点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.
17．已知函数
⑴若，且，求的值；
⑵当时，若在上是增函数，求a的取值范围是；
⑶若a=1，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：
解：(1)由知
即 ∴

(3)
图象如图
当时，
当时，
当时，
综合.
18．已知函数．
（）求函数的定义域．
（）若为偶函数，求实数的值．
【答案】（1）或；（2）当时， 是偶函数.
详解：（）因为即，
当时，不等式的解为或，
所以函数的定义域为或．
当时，不等式的解为，
所以函数的定义域为．
当时，不等式的解为或，
所以函数的定义域为或．
点睛：本题主要考查分函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
19．已知函数．
（1）证明：函数在(－2，＋∞)上为增函数；
（2）用反证法证明：方程没有负数根．
【答案】(1)见解析；
（2）见解析.
【解析】分析：第一问证法一应用单调性的定义来证明，利用取值、作差、判断符号，最后得到结果，证法二利用导数大于零，得到函数在给定区间上是增函数，第二问把握住用反证法证明问题的思路和步骤，对问题反设，推出矛盾，最后再肯定结论即可得证.
详解：证法1：任取，不妨设，则，，所以
又因为，所以
于是，
故函数在(－2，＋∞)上为增函数．
（2）假设存在满足
则，因为，，所以，所以，解得，与假设矛盾．
故方程没有负数根．
点睛：该题所考查的是有关证明函数的单调性问题，在证明的过程中，把握证明单调性的方法有两种，一是定义法，二是导数法，按照相应的步骤求解即可，第二问关于方程没有负根的问题，可以用反证法，注意把握反证法的证明过程，其理论依据就是原命题与逆否命题等价.
20．已知函数．
（）求函数的定义域．
（）若为偶函数，求实数的值．
【答案】（1）或；（2）当时， 是偶函数.
【解析】分析：（）由可得，根据一元二次不等式的解法，分三种情况讨论求解即可；（2）由是偶函数，可得函数定义域关于原点对称，
结合（）可知， ；经检验可得结论.
详解：（）因为即，
当时，不等式的解为或，
所以函数的定义域为或．
当时，不等式的解为，
所以函数的定义域为．
当时，不等式的解为或，
所以函数的定义域为或．
点睛：本题主要考查分函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
21．已知函数
⑴若，且，求的值；
⑵当时，若在上是增函数，求a的取值范围是；
⑶若a=1，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：
解：(1)由知
即 ∴
(2)
在 上是增函数

∴
(3)
图象如图
当时，
当时，
当时，
综合.