专题01利用导数研究函数单调区间-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学（理）备考热点难点突破练（江苏版）

解答题
1. 【2017课标1，理21】已知函数.讨论的单调性；
【解析】
2. 【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析
（Ⅱ）由题意得 ，
因为
，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
3. 【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数， 为的导函数.
求的单调区间；
【答案】增区间是，，减区间是.当x变化时，的变化情况如下表：
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
4. 已知函数，，．
若，求证：在的单调减区间上也单调递减；
【答案】详见解析
【解析】证：因为，所以，
由得的递减区间为， …………2 分
当时，，
所以在的递减区间上也递减． …………4 分
5. 已知函数，，设.
若在处取得极值，且，求函数h(x)的单调区间；
【答案】在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.【解析】
所以，其定义域为（0，+）
令得，
当（0,1）时，，当（1,+），
所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.
6. 已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；
【答案】（1） ，（2）
【解析】（1），则 ………2分
令 ，




0
0

增
极大值
减
极小值
增
， ………4分
①当，即时，在上单调增，
………8分
②当，即时，在上单调减，在上单调增， 解得：
综上，的取值范围是． ………10分
7.已知函数，其中.
设是的导函数，评论的单调性；
【答案】当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.
【解析】由已知，函数的定义域为，
，
所以.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增.
8. 已知函数.试讨论的单调性
9. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析
【解析】（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x?2－x＋lnx，
从而f ′(x)＝2x?－1＋．
因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0． …………………… 3分
（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，
从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0． ………… 5分
当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分
当0＜a＜时，
由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，
所以f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．
当a＝时，
因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当a＞时，
由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，
所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．
10. 给出定义在上的两个函数,.
（1）若在处取最值．求的值；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围
【答案】(1) (2)

(2)
要使得在区间上单调递减，
则，即在区间上恒成立…………………………………6分
因为，所以
设函数，则 ……………………………………8分
因为，所以，所以
所以，所以
11. 已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【答案】(1) (2) 详见解析

(Ⅱ)函数的定义域为：
…………6分
当时，恒成立，所以，在和上单调递增
当时，令，即：，
，
所以，单调递增区间为，单调减区间为． …………10分