专题03分段函数与绝对值函数-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学（文）备考热点难点突破练（江苏版）

填空题
1. 已知函数f(x)＝若对于t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
③ 当t≤0时，f(t)＝t(t－1)2，即t(t－1)2≤kt对于t∈(－∞，0]恒成立，所以k≤(t－1)2，t∈(－∞，0]，所以k≤1.
综上，≤k≤1.
【名师指点】本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题．
2.已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为____________．
【答案】4　
【解析】设F(x)＝f(x)＋g(x)＝，利用导数知识画出F(x)的图象，它与直线y＝1，y＝－1的交点各有2个，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为4.
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a|＋|x－2a|－3|a|)．若集合{x|f(x－1)－f(x)＞0，x∈R}＝ ，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
通过图象观察，当a≤0时，f(x－1)≤f(x)恒成立；
(2) 当a>0时，当x≥0时，
∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R上的图象为(如下图)：
要使f(x－1)≤f(x)，两图象只要满足：
由图知，只要满足－3a＋1≥3a，即0综上可得，当a≤时，f(x－1)≤f(x)恒成立．
【名师指点】本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题．
4.已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝－恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为________．
【答案】
【解析】f(x)＝是偶函数，作出图象；y＝kx＋1过定点(0，1)．当k＝0时，显然成立．当直线y＝kx＋1与y＝相切时，设切点(x0，y0)即，斜率k＝.又k＝－， ∴ ＝－，得x0＝4，切点，得k＝－，此时直线与y＝f(x)有四个交点．同理得k另一个值满足条件．
5. 若函数f(x)＝x2|x－a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(－∞，0]∪[3，＋∞)
解得x1＝0，x2＝.若a＝0即a＝0时，f(x)＝x2|x|，当x∈[0，2]时，f(x)＝x3单调递增，符合题意；若a<0即a<0时，a－＝<0，a<.f(x)的图象大致如图：
易知f(x)的增区间为、[0，＋∞)．符合题意．若a>0即a>0时，a－＝>0，a>.f(x)的图象大致如图：
易知f(x)的增区间为、[a，＋∞)．要使f(x)在[0，2]上单调递增，只需≥2，a≥3.综上，a≤0或a≥3.
【名师指点】本题考查了函数的图象、导数、单调性等内容，重点考查分类讨论思想和数形结合思想．本题属于难题．
6.已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】a<－1或a>1　
7.已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则 ＝____________．
【答案】
【解析】由|sinx|－kx＝0有且只有三个根，又0为其中一个根，即y＝kx与相切，设切点为(x0，y0)，由导数的几何意义和斜率公式得－cosx0＝，即得tanx0＝x0，
8.函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为____________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】画图，y2＝kx－k过定点(1，0)，找到临界(－0.5，0.5)和(1，0)连线斜率－与临界f′(1)＝1.由图象知实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为____________．
【答案】7
10.已知f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1，2 015)上零点的个数为________．
【答案】11　
【解析】作出函数f(x)＝的图象，函数y＝2xf(x)－3的零点为方程f(x)＝的解，即零点个数为函数y＝f(x)与函数y＝图象交点个数，通过图象可得零点为·2n－1，n∈N*，令1<·2n－1<2 015，得1≤n≤11.
11.已知函数f(x)＝，x∈R，则不等式f(x2－2x)＜f(3x－4)的解集是__________．
【答案】(1，2)　
【解析】f(x)＝＝f(x)在(－∞，0)上递增，在[0，＋∞)上的值始终为1.而f(x2－2x)＜f(3x－4)，则x2－2x＜0，且x2－2x＜3x－4，解之得1＜x＜2.
12.若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1、x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
【答案】8　
② 当t＋2≤0时，g(x)在[t，t＋2]上递减，从而gmax(x)－gmin(x)＝g(t)－g(t＋2)≥8时，对任意t≤－2恒成立，即a(－4t－4)≥8.对任意t≤－2恒成立，从而a(8－4)≥8?a≥2；
③ 当t＋1≤0时，g(x)在[t，0]上递减，在[0，t＋2]上递增，且g(t＋2)≥g(t)，从而gmax(x)－gmin(x)＝g(t＋2)－g(0)＝a(t＋2)2≥8，对于任意t≥－1恒成立，从而有a≥8；
④ 同理t＋1≥0时，也有a≥8，综上知a≥8.
13.设函数f(x)＝(x－a)|x－a|＋b(a、b都是实数)．则下列叙述中，正确的是________．(填序号)
① 对任意实数a、b，函数y＝f(x)在R上是单调函数；
② 存在实数a、b，函数y＝f(x)在R上不是单调函数；
③ 对任意实数a、b，函数y＝f(x)的图象都是中心对称图形；
④ 存在实数a、b，使得函数y＝f(x)的图象不是中心对称图形．
【答案】①③
【解析】由题知f (x)＝示意图如图所示．
因而f (x)满足在R上是增函数且关于点(a，b)中心对称．
14.设函数f(x)＝则方程xf(x)－1＝0根的个数为________．
【答案】6
【解析】方程xf(x)－1＝0，显然x＝0不是方程的解，因而原方程等价于y＝f(x)与y＝两个函数图象的交点个数，f(x)示意图如下图所示．
∵ f(7)＝<，从而x>7时f(x)＝无交点，因而原方程有6个解．
15.已知集合M＝{x3＋bx2＋cx＋d＝0|b、c、d∈R，且|b|≤2，|c|≤4，|d|≤2}，设r是集合M中某一个方程的实数根，且r∈(n，n＋1)，则最大的正整数n为________．
【答案】3
16.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是____________．
【答案】－7＜a≤0或a＝2
【解析】由题意得
或x2＋(a－1)x－2a＋2＝(2x2＋ax－2a)或a＝0对任意实数x都成立，所以或
或a＝0，或a＝2，解得－7＜a≤0或a＝2.