2017-2018学年下学期期末复习备考之精准复习模拟题高一数学（江苏版）（C卷01）

一、填空题
1．在中，已知是的平分线， ，则________.
【答案】
即，解得．
在中由余弦定理得．
又，
∴．
答案：
点睛：解答本题时首先根据三角形的面积公式得到三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的为止边长，然后在根据要求解题即可．
2．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=_______cm．
【答案】
【解析】
3．若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式
恒成立，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】不等式恒成立，等价于恒成立，又是奇函数，
原不等式转为在上恒成立， 函数在其定义域上是减函数， ，即，
， ，当时， 有最小值，因此的最大值是，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的最值、二倍角的余弦公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.
4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.
【答案】
∴函数的单调减区间为．
由题意得函数在区间上单调递减，
∴，
∴，解得．
点睛：解答本题时要注意以下两点：
（1）函数的周期是函数周期的一半，即；
（2）由函数在区间上单调递减可得， 是函数单调减区间的子集，由此可得到关于的不等式，对不等式中的进行适当的赋值可得结果．
5．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】由题设，令，解得，取，分别得到，它们是函数在轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以，故，故填．
点睛：因为，所以该函数的图像必过定点且在轴的右侧的第一个对称中心的横坐标在内，第二个对称中心的横坐标不在中，从而得到．
6．为了使函数在区间上出现50次最大值，则的最小值为___________.
【答案】
7．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
由正弦定理得，
又，
∴，
∵是锐角三角形，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，即．
答案：
点睛：解答本题时注意两点
（1）注意“锐角三角形”这一条件的运用，由此可得三角形三个角的具体范围．
（2）根据三角变换将化为某一角的某个三角函数的形式，然后再根据角的范围求出三角函数值的取值范围．
8．已知点为圆 外一点，若圆上存在一点，使得，则正数的取值范围是______．
【答案】
【解析】分析：易得圆的圆心为C （a，a），半径r= r=|a|，由题意可得1≥≥sin
由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．
详解：由题意易知：圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|，
∴PC=，QC=|a|，
∵PC和QC长度固定，
∴当Q为切点时，最大，
∵圆C上存在点Q使得，
∴若最大角度大于，则圆C上存在点Q使得，
∴=≥sin =sin=，
点睛：处理圆的问题，要充分利用圆的几何性质，把问题转化为更加简单的代数问题来处理即可.
9．过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________．
【答案】19
【解析】
根据题意画出上图，连接 ，过 作 ， ， 为 的中点， 为 的中点，又 ， ，∴四边形 为正方形，由圆的方程得到圆心，半径 ，


【点睛】本题的关键点有以下：
1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；
2.利用勾股定理求解.
10．点在圆上运动，若为常数，且的值是与点 的位置无关的常数，则实数的取值范围是____________.
【答案】
点睛：直线与圆的位置关系往往隐含在已知条件中，解题时注意挖掘这些性质.
11．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设P为直线上满足条件的点，由题意得

点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交
12．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________．
【答案】
点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
13．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为________．
【答案】
【解析】设
因此 ，即实数的最小值为
点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
14．曲线上存在唯一的点到A（t，-t+m）、B（-t，t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【解析】曲线上存在唯一的点到A（t，-t+m）、B（-t，t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，即线段AB的中垂线与曲线有唯一的公共点.
线段AB的中垂线为：
曲线表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在y轴以及y轴右方的部分。
点睛：本题考查了直线与半圆的交点个数问题，处理手段是数形结合，通过平行移动直线，直观的看到二者的交点情况，然后通过代数手段确定相切时的m的取值即可.
二、解答题
15．如图所示，某镇有一块空地，其中， ， 。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在的周围安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定 的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）防护网的总长度为（2）
试题解析:
（1）在中， ， ， ， ，
在中， ，
由余弦定理，得，
，即， ，
为正三角形，所以的周长为，
即防护网的总长度为.
（2）设， ，
，即，
在中，由，得，
从而，即，由，
得， ，即 .

，
当且仅当，即时，
的面积取最小值为 .
【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用,考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式,考查三角函数的最值的求法.对于实际应用问题,首先将题目的已知条件标明在图象上,然后根据已知选择正弦定理或者余弦定理来解三角形.
16．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数， 时的图象，且图象的最高点为.赛道的中间部分为长千米的直线跑道，且.赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧.
(1)求的值和的大小；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且,求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．
又，
∴,
∴.
(2)由(1)，可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.
设,,“矩形草坪”的面积为
.
∵，
∴,
故当，即时，取得最大值．
17．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调递增，且.
（1）若，求的取值范围；
（2）若， ， .是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由函数的单调性及奇偶性可得，可化为，解三角函数不等式可得结果；（2）先求出的解，结合三角函数的单调性进行分为， 和三种情形求解即可.
故的取值范围为，
（2）由题意知，当时， 又，
∵，∴，∴
综上所述，使恒成立时， 的范围为.
18．如图，已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】分析：（1）由题可得b＝，＝，结合椭圆可得椭圆方程；（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，然后结合内切圆的半径表示三角形的面积可得面积比值；（3）分直线斜率不存在和斜率存在时两种情况进行讨论，连立方程结合韦达定理求出AE方程得到定点再验证其在BD上即可得到结论.
解：（1）由题意，b＝，又因为＝，所以＝，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）因为点N为△F1AF2的内心，
所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.
则＝＝＝＝.
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，
直线AE的方程为y－y2＝ (x－4)，
令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝0，
所以点T(，0)在直线AE上，
同理可证，点T(，0)在直线BD上.
所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).
点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，能正确计算直线方程表示是解题关键，计算量较大，属于难题．
19．给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点
（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：
（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。
【答案】(1) (2)过原点
试题解析：
（1）因为点是椭圆上的点.
即椭圆
伴随圆得同理，计算
当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点
当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得
由直线与椭圆有且只有一个公共点得
解得，由对称性取直线即
圆心到直线的距离为
直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长
同理因为
所以 三点共线
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
20．如图，已知圆： ，点.
（1）求经过点且与圆相切的直线的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点， 为线段的中点，求线段长度的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值
（2）由题意可得， 点的轨迹是以为直径的圆，记为圆．
则圆的方程为．
从而，
所以线段长度的最大值为，最小值为，
所以线段长度的取值范围为．