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课题：20.2 数据的波动程度
教学目标：
1．理解方差概念的产生和形成过程．
2．了解方差的定义和计算公式，会用方差比较两组数据的波动大小．
重点：
方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题．
难点：
理解方差的概念并会运用方差的公式解决实际问题．
教学流程：
一、导入新知
情境问题：如图是某旅游景区上山的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）.哪段台阶走起来更舒适一些呢？.
二、新知讲解
问题：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
（1）这两种甜玉米的平均产量是多少？
答案：
追问：它们能说明什么？
答案：说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．
即：由样本平均数，估计总体平均数.
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
答案：画图如下：
甲产量波动较大，乙产量波动较小
归纳：我们常用下面的方法来量化这组数据的波动大小：
设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差.
注意：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
（3）农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
解：这两种甜玉米的平均产量为
它们的方差为：
∴甲种甜玉米的波动较大，乙种甜玉米的波动较小.
∴乙种甜玉米的产量比较稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
例1：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的平均身高分别是：
方差分别为：
∴甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
例2：某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
解：样本数据的平均数分别是：
样本数据的方差分别是：
由可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；
由可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀.
因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
三、巩固提升
1．甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了5次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为0.62，0.72，那么( )
A．甲、乙成绩一样稳定 B．甲成绩更稳定
C．乙成绩更稳定 D．不能确定谁的成绩更稳定
答案：B
2．若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为s2甲＝0.80，s2乙＝1.31，s2丙＝1.72，s2丁＝0.42.则成绩最稳定的是同学( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案：D
3.某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是＝610千克，＝608千克，亩产量的方差分别为s2甲＝29.6，s2乙＝2.7，则关于两种小麦推广种植的合理决策是( )
A．甲的平均亩产量较高，应推广甲
B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
答案：D
4．要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图：
(1)甲的平均成绩为8环，乙的平均成绩为_______环；
(2)观察图形，可知；
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选________参赛更适合；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选________参赛更适合．
答案：（1）8；（2）＞；（3）乙，甲
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
（1）怎样计算方差？
（2）如何理解方差的意义？
五、布置作业
教材P126页练习第2题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共20张PPT)
20.2 数据的波动程度
数学人教版 八年级下
导入新知
如图是某旅游景区上山的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）.
哪段台阶走起来更舒适一些呢？.
？
新知讲解
问题：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
新知讲解
（1）这两种甜玉米的平均产量是多少？
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．
它们能说明什么？
由样本平均数，估计总体平均数.
新知讲解
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
产量波动较大
产量波动较小
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
新知讲解
我们常用下面的方法来量化这组数据的波动大小：
设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差.
新知讲解
新知讲解
（3）农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
∴甲种甜玉米的波动较大，乙种甜玉米的波动较小.
∴乙种甜玉米的产量比较稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
新知讲解
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
例1：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：
解：甲、乙两团演员的平均身高分别是：
新知讲解
方差分别为：
∴甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
新知讲解
例2：某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
新知讲解
解：样本数据的平均数分别是：
样本数据的方差分别是：
由 可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；
由 可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀.
因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
巩固提升
1．甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了5次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为0.62，0.72，那么( )
A．甲、乙成绩一样稳定
B．甲成绩更稳定
C．乙成绩更稳定
D．不能确定谁的成绩更稳定
B
巩固提升
2．若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为s甲2＝0.80，s乙2＝1.31，s丙2＝1.72，s丁2＝0.42.则成绩最稳定的是同学( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D
巩固提升
3.某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲＝610千克，x乙＝608千克，亩产量的方差分别为s甲2＝29.6，s乙2＝2.7，则关于两种小麦推广种植的合理决策是( )
A．甲的平均亩产量较高，应推广甲
B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
D
巩固提升
4．要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图：
(1)甲的平均成绩为8环，乙的平均成绩为____环；
(2)观察图形，可知s甲2____s乙2；
(3)如果其他班级参赛选手的射
击成绩都在7环左右，本班应该选
____参赛更适合；如果其他班级参
赛选手的射击成绩都在9环左右，
本班应该选____参赛更适合．
乙
甲
＞
8
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
课堂小结
（1）怎样计算方差？
（2）如何理解方差的意义？
教材P126页练习第2题．
布置作业
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20.2 数据的波动程度
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．某村引进甲、乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550 kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳定适合推广的品种为( )
A. 甲、乙均可 B. 甲 C. 乙 D. 无法确定
2．我校四名跳远运动员在前的10次跳远测试中成绩的平均数相同，方差s2如下表示数，如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动会，应选择的选手是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．
甲 乙 丙
平均数 7.9 7.9 8.0
方差 3.29 0.49 1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
5．方差反映了一组数据的波动大小．有两组数据，甲组数据：-1，-1，0，1，2；乙组数据：-1，-1， 0，1，1；它们的方差分别记为和，则（ ）．
A. = B. ＞ C. ＜ D. 无法比较
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为 ________ （填＞或＜）．
7．中国跳水队的奥运选拔赛中，甲、乙、丙、丁四名运动员的平均成绩与标准差S如下表，因为中国跳水队的整体水平高，所以要从中选一名参赛，应选择 .
8．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 （填“变小”、“不变”或“变大”）．
9．已知一组数据-3，-2，1，3，6，x的中位数为1，则其方差为________________.
10．已知数据：1，2，1，0，-1，-2，0，-1，这组数据的方差为______．
三、解答题(共40分)
11．八(2)班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制)：
甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9
(1)甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
(2)计算乙队的平均成绩和方差；
(3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 队．
12．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲班 89 100 96 118 97 500
乙班 100 95 110 91 104 500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．
请你回答下列问题：
（1）计算两班的优秀率．
（2）计算两班比赛数据的方差．
（3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．
参考答案
1．B
【解析】根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，∵141.7＜433.3，∴S甲2＜S乙2，即甲种水稻的产量稳定，∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．故选：B．
2．D
【解析】解：由题意知：丁的方差最小，所以丁的成绩最稳定，故选D．
3．D．
【解析】观察图象可得丁射击10次的成绩为8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，则丁的成绩的平均数为×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，方差为×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，比较可得丁的成绩的方差最小，即丁的成绩最稳定，所以参赛选手应选丁，故答案选D．
4．A
【解析】平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．由平均数的公式得：（0+1+2+3+x）÷5=2，解得x=4；则方差=[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]÷5=2．
5．B
【解析】，
，
∵s甲2= [( 1 0.2)2+( 1 0.2)2+(0 0.2)2+(1 0.2)2+(2 0.2)2]=1.224，
S乙2=[( 1 0)2+( 1 0)2+(0 0)2+(1 0)2+(1 0)2]=0.8
∴S甲2＞S乙2，
故选B.
6．＞
【解析】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故S2甲>S2乙.
故答案为：>.
7．乙
【解析】∵乙、丙的平均数相等，大于甲、丁的平均数，乙的方差小于丙的方差，
∴乙的成绩高且发挥稳定.
故答案为:乙.
8．变大．
【解析】∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．故答案为：变大．
9．9
【解析】共有6个数据，排序后1总在中间．
中位数应该是排序后的第3个数和第4个数的平均数，有 （x+1）=1，
∴x=1，
数据的平均数=（-3-2+1+3+6+1）=1，
方差S2= [（-3-1）2+（-2-1）2+（1-1）2+（3-1）2+（6-1）2+（1-1）2]=9．
故答案是：9.
10．
【解析】这组数据平均数= 1+2+1-1-2-1）=0，
∴方差=（1+4+1+1+4+1）= ．
故答案是：.
11．(1) 9.5分， 10分；(2)乙队的平均成绩:9，,方差1；(3) 乙队．
【解析】（1）中位数是指将这些排列之和处于中间的数字，众数就是出现次数最多的数；（2）平均数就等于所有数之和除以数字的个数；（3）方差越小则说明越整齐．
解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9．5（分），
则中位数是9．5分；
10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
（2）乙队的平均成绩是： （10×4+8×2+7+9×3）=9，
则方差是： [4×（10﹣9） +2×（8﹣9） +（7﹣9） +3×（9﹣9） ]=1；
（3）∵甲队成绩的方差是1．4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；
12．（1）40％，60％（2）94，44.4（3）乙
【解析】（1）根据优秀率的公式：优秀人数÷总人数×100%，进行计算即可；
（2）根据方程的计算公式，计算即可；
（3）根据优秀率和方差进行比较即可．
解：（1）甲班的优秀率：=0.4=40%，
乙班的优秀率：=0.6=60%；
（2）甲班的平均数==100（个），
甲班的方差=[（89﹣100）2+2+（96﹣100）2+2+（97﹣100）2]=94；
乙班的平均数==100（个），
乙班的方差=[2+（95﹣100）2+2+（91﹣100）2+2]=44.4；
（3）冠军奖杯应发给乙班．因为乙班5名学生的比赛成绩的优秀率比甲班高，方差比甲班小，综合评定乙班踢毽子水平较好．
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