课件34张PPT。第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角情境引入1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出三角形的外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角的性质．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48 °三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180 °.2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，∠ACD= .50 °130°复习引入BDCAO●40 ° 70 ° ？●●●问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？问题引入利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？？思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.BDCAO●40 ° 70 ° ？●●●由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.问题引入如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD新课讲解问题1： 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？E∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.新课讲解问题2： 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；E新课讲解★三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角， 每一个三角形都有6个外角．归纳总结FABCDE练一练：如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角.∠AEC是△BEC的外角.∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
新课讲解三角形的外角相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠BCD与∠ACB互补.新课讲解问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？三角形的外角相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？新课讲解D证明：过C作CE∥AB，ABC∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.验证结论★三角形内角和定理的推论三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.知识要点练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：∠1=40 °, ∠2=140 °∠1=18 °, ∠2=130 °新课讲解 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，∵∠A=42° ，∠ACE=18°，∴ ∠BEC=60°.∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28°， ∠BEC=60°，∴ ∠BFC=88°.解：FACDEB例1新课讲解 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于点E，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E例2新课讲解解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.新课讲解【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.新课讲解解法一：连接AD并延长至点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.E ))12)3)4你发现了什么结论？新课讲解E )1解法二：延长BD交AC于点E.
∠1=∠ABE+∠BAE，
∠BDC=∠1+∠ECD.
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F 总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.新课讲解如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.2图1图2解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.三角形的外角大于与它不相邻的内角.拓展研究三角形的外角和 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.你还有其他解法吗？例3新课讲解解法二：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
∠ACD +∠3=180 ° .③
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.新课讲解解法三：过A作AM平行于BC，所以∠3＝ ∠4BC123A∠2＝ ∠BAM，所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°.M所以∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，结论：三角形的外角和等于360°.？思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？DEF新课讲解 1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）随堂即练2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于 （ ）FABECDA.26°
B.63°
C.37°
D.60°A随堂即练3.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.ABCDE△ADE△ADC解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.随堂即练解：因为∠ADC是△ABD的外角，4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180o-40o-70o=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，ABCD随堂即练12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+ ∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180o,∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180o. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.能力提升拓展1BACPNMDEF
如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.360°拓展2能力提升三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360 °课堂总结课件28张PPT。第十一章 三角形11.2.1 三角形的内角第1课时 三角形的内角和学习目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内
角和等于180°.（重点）我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.？思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？情境引入发现：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.新课讲解验证结论：三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12新课讲解证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.ED新课讲解EDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？新课讲解思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.新课讲解 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.★思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.★作辅助线知识要点 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得∠BAD= ∠BAC=20 °.在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.三角形的内角和定理的运用例1新课讲解【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC、∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.新课讲解 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.已知∠A＝30°∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例2新课讲解基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易∠1+∠2=∠3+∠4.总结归纳 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A、∠B、∠C的度数.解: 设∠B为x°，则∠A为3x°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.即∠A、 ∠B、 ∠C的度数分别为99°、 33°、 48°.几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.例3新课讲解【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB、∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.新课讲解解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.新课讲解2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形 . 练一练：1.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . 3.在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .102°直角60°50°70°新课讲解 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.例4新课讲解解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°
=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.新课讲解【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A/B两岛的视角∠ACB的度数.解：如图，由题意,得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，
∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．DE新课讲解1.求出下列各图中的x值．x=70 x=60x=30 x=50 随堂即练2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .280 °随堂即练3.如图，四边形ABCD中，点E在B上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．随堂即练4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.随堂即练 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．拓展提升拓展三角形的
内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 °课堂总结课件22张PPT。第十一章 三角形11.2.1 三角形的内角第1课时 直角三角形的性质和判断1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）学习目标2.掌握直角三角形的判定.（难点）3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点） 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争情境引入 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.在这个家里，我是永远的老大.新课引入问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?新课讲解问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.？思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？新课讲解1.直角三角形的两个锐角互余． ▼应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 2.直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC．归纳总结解：方法一（利用平行的判定和性质）
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D. （1）如图1，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？图1例1新课讲解解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.（2）如图2，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.图2与图1有哪些共同点与不同点？新课讲解 如图， ∠C=∠D=90 °,AD、BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.例2新课讲解 解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.【变式题】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？新课讲解？思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D归纳总结问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.新课讲解ABC▼应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳总结 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.即△ADE是直角三角形.例3新课讲解 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是
直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.例4新课讲解2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.52°第1题第2题3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.直角三角形随堂即练4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70° B5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ ）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C D随堂即练6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD C随堂即练7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.随堂即练直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形课堂总结
