课件33张PPT。第十三章 轴对称13.3.1 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)等腰三角形情境引入有两边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.底边情境引入剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？新课讲解ABCAB=AC等腰三角形新课讲解折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.新课讲解找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. AC B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C.∠BAD 与∠CAD∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.新课讲解性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.ABCD已知：△ABC 中，AB=AC .
求证：∠B=∠C.应用格式：
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）.新课讲解证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.新课讲解 证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.新课讲解 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.分析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与∠C、∠ABC呢？∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A,∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °
∴x+2x+2x=180 °.例1新课讲解解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.新课讲解方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.新课讲解【练习】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x.
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.新课讲解 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.A例2新课讲解方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．新课讲解 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?等腰三角形的性质2新课讲解 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C, 你还能发现什么?
A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝∠ADC=90°新课讲解性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高相互重合（简写成“三线合一”）. 填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时. （1）∵AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.122BDCDADBCBD1BCADCD新课讲解画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？不重合！为什么不一样?新课讲解1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（X）（X）（X）（X）（√）（√）辨一辨新课讲解 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图1，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.例3新课讲解证明：(1)如图1，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
G新课讲解方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．新课讲解2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30°
C．70° D．50° A1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70° B随堂即练3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ __.75°, 30°72°,72°或36°,108°30°，30°随堂即练 4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．70°或20°注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.随堂即练5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.解：∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.随堂即练6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，
∴随堂即练【拓展】A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！8个C1C2C3C4C5C6C7C8能力提升等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质，而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质课堂总结课件32张PPT。第十三章 轴对称13.3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．探索等边三角形的性质和判定．（重点）
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明．（难点） 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？问题引入等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三边都相等的三角形叫作等边三角形.新课引入等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形新课引入问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C=60°新课讲解结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
新课讲解问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一一条对称轴三条对称轴新课讲解每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，
对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60o两条边相等三条边都相等知识要点 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE、DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.例1新课讲解方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.新课讲解【变式】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．新课讲解 △ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例2新课讲解方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.新课讲解三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？★等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.新课讲解辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.不
是是是是是不一定
是新课讲解 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C,∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED,∴ △ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？例3新课讲解 证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED,
∴ ∠A =∠ADE =∠AED,
∴ △ADE 是等边三角形.【变式1】若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 新课讲解【变式2】若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E,
∴ ∠EAD =∠D =∠E,
∴ △ADE 是等边三角形．新课讲解【变式3】上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ AD=AE,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C,∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED,∴ △ADE是等边三角形.新课讲解 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．例4新课讲解方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.新课讲解【练习】 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．新课讲解 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个D1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150° B随堂即练3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15°
C．20° D．25° 4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.12B随堂即练5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°.
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．随堂即练6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.∵ A、O、D三点共线，∴ ∠DOB=∠COA=120°，∴ △COA ≌△DOB(SAS).∴ ∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵ ∠EFB=∠AFO，∴ ∠AEB=∠AOB=60°.F随堂即练【拓展】图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图1，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．能力提升解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN＝BM.随堂即练(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等边三角形．随堂即练等边
三角形定义底=腰性质边三边相等角三个角都等于60 °轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定三边法三角法等腰三角形法课堂总结课件25张PPT。第十三章 轴对称13.3.2 等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB问题引入问题2 将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？新课引入▼性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,新课讲解【证法1】在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连结AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, 新课讲解 【证法2】 在BA上截取BE=BC，连结EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°，
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
新课讲解★含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.▼应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°， 知识要点判断下列说法是否正确：
（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半. （2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. （3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 （4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√ 新课讲解 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例1新课讲解 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2
C.1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC例2新课讲解方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．新课讲解 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，例3新课讲解在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.新课讲解方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．新课讲解想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？例4新课讲解解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.新课讲解 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. ACBD15 °15 °20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
))例5新课讲解方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.新课讲解1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元BB随堂即练4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .55.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______.83.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4，则BD = . 1第3题图第5题图随堂即练6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连结AE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，随堂即练7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.随堂即练内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点找准30 °的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中课堂总结含30°角的直角三角形的性质
课件25张PPT。第十三章 轴对称13.3.1 等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重点）
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计
算.（难点） 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA情境引入ABC 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？新课讲解已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?【建立数学模型】做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？新课讲解在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴ △ABD ≌ △ACD. ∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明：新课讲解 ∴ AC=AB. ( )
∵∠B=∠C， ( )★等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.已知等角对等边 在△ABC中， ▼应用格式：((知识要点即△ABC为等腰三角形.（等角对等边）.（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 新课讲解 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）． 例1新课讲解 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.总结：平分角+平行=等腰三角形例2新课讲解∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.【变式】 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE解：重合部分是一个等腰三角形.由折叠可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，新课讲解
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°B2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm新课讲解 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.ah作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
（4）连结AC、BC，则△ABC即为所求.D例3新课讲解 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F.求证：△CEF是等腰三角形．证明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．例4新课讲解方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.例5新课讲解方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.新课讲解1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形CA随堂即练3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 OabDA随堂即练4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCD随堂即练5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.9随堂即练6.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°-40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，
∴ BA=BC（等角对等边）.
∵AB=20×（12-10）=40(海里),
∴BC=40海里.
即B处距离灯塔C40海里.随堂即练7.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.证明：连结BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.随堂即练等腰三角形的判定等角对等边定义注意是指同一个三角形中有两边相等的三角形是等腰三角形课堂总结
