电场和磁场
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电场和磁场
例1 如图7－7所示，在第一象限的abcO范围内存在沿x正向的匀强电场，质量为m、电量为q的带电粒子，从原点O点以与x轴成θ角的初速度v0射入电场中，飞出电场时速度恰好沿y轴的正方向．不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子穿过电场的过程中，电场力对粒子的冲量的大小是mv0cosθ，方向沿y轴负方向
B．粒子射出电场时速度大小为v0sinθ
C．粒子穿过电场的过程中，电场力做功
D．粒子穿过电场的过程中，电势能减小
解析：带电粒子只受电场力，由轨迹可判断电场力方向沿x轴负方向，粒子带负电；在y方向粒子不受力，因此做匀速直线运动，且速度为．粒子出电场时速度恰好沿y轴的正方向，因此x方向速度恰好减小到零，由动量定理得，即电场力冲量的大小为，方向沿x轴负方向，A错B对；粒子穿过电场的过程中，只有电场力做功，由动能定理得，C错；且电场力做的功等于电势能的减小量，电场力做负功，因此电势能增大，D错．
答案：B
反思：带电粒子飞出电场时速度恰好沿y轴的正方向，反过来看，从粒子飞出点到原点O，该曲线就是一条类平抛运动的抛物线，即粒子的运动为类平抛运动，因此y方向速度不变，x方向做匀减速运动，飞出时速度恰好减小到零．
例2如图7－8所示，带正电的小球穿在绝缘粗糙倾角为θ的直杆上，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直于杆斜向上的匀强磁场，小球沿杆向下滑动，在a点时动能为100J，到C点时动能为零，则b点恰为a、c的中点，则在此运动过程中（ ）
A．小球经b点时动能为50J
B．小球电势能增加量可能大于其重力势能减少量
C．小球在ab段克服摩擦力所做的功与在bc段克服摩擦力所做的功相等
D．小球到c点后可能沿杆向上运动
解析：电场力方向竖直向上，因此电场力与重力的合力P恒定且一定在竖直方向上；小球到C点时动能为零，说明小球有减速运动．若小球先做加速运动，则随速度的增大洛伦兹力（垂直于杆）增大，小球受到杆的弹力增大，因此滑动摩擦力增大，加速度减小，当加速度减小到零时速度最大，然后做匀速运动，不合题意，故小球一开始就做减速运动，由于速度减小而洛伦兹力减小，则滑动摩擦力随之减小，因此从a到b的平均摩擦力大于从b到c，两段合力做功不行，A、C错；若合力P若向下，mg>qE，则运动过程中电势能的增加量小于重力势能的减小量，若P＝0，则二者相等，若P向上，则B正确；P向上，当小球速度为零时若有，则小球可沿杆向上运动，D对．
答案： BD
反思：根据洛伦兹力随速度变化的特点，结合运动和力的关系判断小球的运动状态和受力变化是解题要点．难点在于洛伦兹力对杆的弹力的影响．由于磁场方向垂直于杆斜向上，由左手定则可判断小球向下运动时洛伦兹力垂直于杆指向纸内，杆的弹力N2垂直于杆向外，由于合力P产生的弹力N1垂直于杆向下或向上，N1与N2的合力N随洛伦兹力而变．
例3 如图7－9所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U, 带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则：粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化情况为（ ）
A、d随v0增大而增大，d与U无关
B、d随v0增大而增大，d随U增大而增大
C、d随U增大而增大，d与v0无关
D、d随v0增大而增大，d随U增大而减小
解析：带电粒子射出电场时速度的偏转角为θ，如图7－10所示，有：
，又，而
，A正确．
答案：A
反思：由于粒子的偏转角与U有关，不少考生由此计算粒子射出电场时的速度v与d、U的关系，无端多出几个未知量使判断受阻．第一直觉是d与粒子在电场的偏转角有关没错，但偏转角和粒子在磁场中的轨道半径又都与粒子射出电场时的速度相关，因此直接围绕偏转角列方程求解即可．
例4（2008年上海）如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。
解析：（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为v0，此后电场II做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有
解得 y＝，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（－2L，）
（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有
解得 xy＝，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置。
（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有
，
解得 ，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置。
反思：带电粒子在电场中运动的分析方法，与力学中的这类问题的处理方法相同，只是在受力分析时多了一个电场力，若为匀强电场，既可用牛顿第二定律结合运动学公式求解，又可用动能定理求解，若为非匀强电场，因带电粒子受到的电场力是变力，加速度是变量，只能用能量观点解答。
例5地磁场可以有效抵御宇宙射线的侵入，保护地球．赤道剖面外地磁场可简化为包围地球厚度为d的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图7－12所示．只要速度方向在该剖面内的射线粒子不能到达地面，则其它粒子不可能到达地面．宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子，设β粒子的质量为m，电荷量为e，最大速度为v，地球半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，不计大气对β粒子运动的影响．要使在赤道平面内从任意方向射来的β粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应满足什么条件？
解析：设β粒子从A点以任意方向向往地磁场后做匀速圆周运动的半径为r，要粒子不到达地面，则圆轨道最多与地面相切，如图7－13所示．作速度方向的垂线AO’，O’为轨道圆心，连接OO’得△OO’A，由三角知识得
①
则，即当、粒子速度方向与地磁场边界相切射入时轨道半径最小，磁场厚度最小．
而粒子最大轨道半径 ②
所以有为轨道与地面相切的磁场最小厚度，要粒子不到达地面，则磁场厚度应满足
答案：
反思：不能直接将②代入不等式①求解，那样将得到的结论．①式只用来判断“粒子速度方向与地磁场边界相切射入时轨道半径最小”，但β粒子最大轨道半径轨道为定值，地磁场厚度d必须大于2r才能满足要求．
例6如图7－14所示，固定的光滑绝缘圆形轨道处于水平方向的匀强电场和匀强磁场中，已知圆形轨道半径R＝2.00m，磁感应强度B=1.00T，方向垂直于纸面向内，电场强度E=1.00×102V/m，方向水平向右．一个质量m=4.00×10-2kg的小球（可视为质点）在轨道上的C点恰好处于静止状态，OC与竖直直径的夹角θ＝37°（g取10m/s2，sin37°=0.6，计算结果要求保留三位有效数字）
⑴求小球带何种电荷，电荷量q是多少？
⑵现将电场突然反向，但强弱不变，因电场的变化而产生的磁场可忽略不计，小球始终在圆弧轨道上运动，试求在小球运动过程中与初始位置的电势差最大值Um是多少？对轨道的最大压力是多大？
解析：⑴由平衡条件有：
带负电荷
⑵电场反向后，电场力和重力的合力F大小仍为不变，方向与竖直方向夹角为θ＝37°指向右下方，小球的平衡位置O’，O O’与OC的夹角为2θ＝74°，故小球从C点开始向O’做加速运动，到达O’时速度最大，根据对称性，小球会继续运动到与OO’成2θ＝74°的C’点，即在CC’之间振动．由图7－15可知，C点与同O等高的D点间电势差最大，由U＝Ed得
小球经过平衡位置O’点时速度最大，当小球从C运动到O’点时，由左手定则可判断洛伦兹力沿OO’方向向下，此时小球对轨道的压力最大．从C到O’由动能定理得
在O’点，由牛顿第二定律得
即
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力
答案：⑴负电荷，q=3.00×10-3C；⑵Um=320V,FN=1.24N
反思:带电粒子在复合场中的运动问题，解答采用了等效场、对称性等解题常用方法．此类试题的“平衡位置”的确定是要点，正确的受力分析和运动状态分析是前提．
v0
图7－7
O
E
x
y
θ
c
b
a
a
b
c
θ
图7－8
v0
M
N
B
图7－9
v0
M
N
B
图7－10
φ
v
r
θ
d
O
(b)
(a)
θ
v
v0
B
d
R
图7－12
A
B
d
R
图7－13
B
O
O’
r
r
v
v
图7－14
O
C
θ
A
D
E
B
mg
O’
图7－15
O
C
θ
A
D
E
B
qE
F
F
C’
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电场和磁场
例1 如图7－7所示，在第一象限的abcO范围内存在沿x正向的匀强电场，质量为m、电量为q的带电粒子，从原点O点以与x轴成θ角的初速度v0射入电场中，飞出电场时速度恰好沿y轴的正方向．不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子穿过电场的过程中，电场力对粒子的冲量的大小是mv0cosθ，方向沿y轴负方向
B．粒子射出电场时速度大小为v0sinθ
C．粒子穿过电场的过程中，电场力做功
D．粒子穿过电场的过程中，电势能减小
解析：带电粒子只受电场力，由轨迹可判断电场力方向沿x轴负方向，粒子带负电；在y方向粒子不受力，因此做匀速直线运动，且速度为．粒子出电场时速度恰好沿y轴的正方向，因此x方向速度恰好减小到零，由动量定理得，即电场力冲量的大小为，方向沿x轴负方向，A错B对；粒子穿过电场的过程中，只有电场力做功，由动能定理得，C错；且电场力做的功等于电势能的减小量，电场力做负功，因此电势能增大，D错．
答案：B
反思：带电粒子飞出电场时速度恰好沿y轴的正方向，反过来看，从粒子飞出点到原点O，该曲线就是一条类平抛运动的抛物线，即粒子的运动为类平抛运动，因此y方向速度不变，x方向做匀减速运动，飞出时速度恰好减小到零．
例2如图7－8所示，带正电的小球穿在绝缘粗糙倾角为θ的直杆上，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直于杆斜向上的匀强磁场，小球沿杆向下滑动，在a点时动能为100J，到C点时动能为零，则b点恰为a、c的中点，则在此运动过程中（ ）
A．小球经b点时动能为50J
B．小球电势能增加量可能大于其重力势能减少量
C．小球在ab段克服摩擦力所做的功与在bc段克服摩擦力所做的功相等
D．小球到c点后可能沿杆向上运动
解析：电场力方向竖直向上，因此电场力与重力的合力P恒定且一定在竖直方向上；小球到C点时动能为零，说明小球有减速运动．若小球先做加速运动，则随速度的增大洛伦兹力（垂直于杆）增大，小球受到杆的弹力增大，因此滑动摩擦力增大，加速度减小，当加速度减小到零时速度最大，然后做匀速运动，不合题意，故小球一开始就做减速运动，由于速度减小而洛伦兹力减小，则滑动摩擦力随之减小，因此从a到b的平均摩擦力大于从b到c，两段合力做功不行，A、C错；若合力P若向下，mg>qE，则运动过程中电势能的增加量小于重力势能的减小量，若P＝0，则二者相等，若P向上，则B正确；P向上，当小球速度为零时若有，则小球可沿杆向上运动，D对．
答案： BD
反思：根据洛伦兹力随速度变化的特点，结合运动和力的关系判断小球的运动状态和受力变化是解题要点．难点在于洛伦兹力对杆的弹力的影响．由于磁场方向垂直于杆斜向上，由左手定则可判断小球向下运动时洛伦兹力垂直于杆指向纸内，杆的弹力N2垂直于杆向外，由于合力P产生的弹力N1垂直于杆向下或向上，N1与N2的合力N随洛伦兹力而变．
例3 如图7－9所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U, 带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则：粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化情况为（ ）
A、d随v0增大而增大，d与U无关
B、d随v0增大而增大，d随U增大而增大
C、d随U增大而增大，d与v0无关
D、d随v0增大而增大，d随U增大而减小
解析：带电粒子射出电场时速度的偏转角为θ，如图7－10所示，有：
，又，而
，A正确．
答案：A
反思：由于粒子的偏转角与U有关，不少考生由此计算粒子射出电场时的速度v与d、U的关系，无端多出几个未知量使判断受阻．第一直觉是d与粒子在电场的偏转角有关没错，但偏转角和粒子在磁场中的轨道半径又都与粒子射出电场时的速度相关，因此直接围绕偏转角列方程求解即可．
例4（2008年上海）如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。
解析：（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为v0，此后电场II做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有
解得 y＝，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（－2L，）
（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有
解得 xy＝，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置。
（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有
，
解得 ，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置。
反思：带电粒子在电场中运动的分析方法，与力学中的这类问题的处理方法相同，只是在受力分析时多了一个电场力，若为匀强电场，既可用牛顿第二定律结合运动学公式求解，又可用动能定理求解，若为非匀强电场，因带电粒子受到的电场力是变力，加速度是变量，只能用能量观点解答。
例5地磁场可以有效抵御宇宙射线的侵入，保护地球．赤道剖面外地磁场可简化为包围地球厚度为d的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图7－12所示．只要速度方向在该剖面内的射线粒子不能到达地面，则其它粒子不可能到达地面．宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子，设β粒子的质量为m，电荷量为e，最大速度为v，地球半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，不计大气对β粒子运动的影响．要使在赤道平面内从任意方向射来的β粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应满足什么条件？
解析：设β粒子从A点以任意方向向往地磁场后做匀速圆周运动的半径为r，要粒子不到达地面，则圆轨道最多与地面相切，如图7－13所示．作速度方向的垂线AO’，O’为轨道圆心，连接OO’得△OO’A，由三角知识得
①
则，即当、粒子速度方向与地磁场边界相切射入时轨道半径最小，磁场厚度最小．
而粒子最大轨道半径 ②
所以有为轨道与地面相切的磁场最小厚度，要粒子不到达地面，则磁场厚度应满足
答案：
反思：不能直接将②代入不等式①求解，那样将得到的结论．①式只用来判断“粒子速度方向与地磁场边界相切射入时轨道半径最小”，但β粒子最大轨道半径轨道为定值，地磁场厚度d必须大于2r才能满足要求．
例6如图7－14所示，固定的光滑绝缘圆形轨道处于水平方向的匀强电场和匀强磁场中，已知圆形轨道半径R＝2.00m，磁感应强度B=1.00T，方向垂直于纸面向内，电场强度E=1.00×102V/m，方向水平向右．一个质量m=4.00×10-2kg的小球（可视为质点）在轨道上的C点恰好处于静止状态，OC与竖直直径的夹角θ＝37°（g取10m/s2，sin37°=0.6，计算结果要求保留三位有效数字）
⑴求小球带何种电荷，电荷量q是多少？
⑵现将电场突然反向，但强弱不变，因电场的变化而产生的磁场可忽略不计，小球始终在圆弧轨道上运动，试求在小球运动过程中与初始位置的电势差最大值Um是多少？对轨道的最大压力是多大？
解析：⑴由平衡条件有：
带负电荷
⑵电场反向后，电场力和重力的合力F大小仍为不变，方向与竖直方向夹角为θ＝37°指向右下方，小球的平衡位置O’，O O’与OC的夹角为2θ＝74°，故小球从C点开始向O’做加速运动，到达O’时速度最大，根据对称性，小球会继续运动到与OO’成2θ＝74°的C’点，即在CC’之间振动．由图7－15可知，C点与同O等高的D点间电势差最大，由U＝Ed得
小球经过平衡位置O’点时速度最大，当小球从C运动到O’点时，由左手定则可判断洛伦兹力沿OO’方向向下，此时小球对轨道的压力最大．从C到O’由动能定理得
在O’点，由牛顿第二定律得
即
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力
答案：⑴负电荷，q=3.00×10-3C；⑵Um=320V,FN=1.24N
反思:带电粒子在复合场中的运动问题，解答采用了等效场、对称性等解题常用方法．此类试题的“平衡位置”的确定是要点，正确的受力分析和运动状态分析是前提．
v0
图7－7
O
E
x
y
θ
c
b
a
a
b
c
θ
图7－8
v0
M
N
B
图7－9
v0
M
N
B
图7－10
φ
v
r
θ
d
O
(b)
(a)
θ
v
v0
B
d
R
图7－12
A
B
d
R
图7－13
B
O
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r
r
v
v
图7－14
O
C
θ
A
D
E
B
mg
O’
图7－15
O
C
θ
A
D
E
B
qE
F
F
C’
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