21.2 二次函数的图象和性质（1）同步作业

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21.2 二次函数的图象和性质（1）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. EMBED Equation.DSMT4 D. －
2．函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A. ±2 B. －2 C. 2 D. 3
3．抛物线y= EMBED Equation.DSMT4 x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
A. y=x2 B. y=4x2 C. y=－2x2 D. 无法确定
4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5．抛物线y=3x 2 的顶点坐标是（ ）
A. （3，0） B. （0，3） C. （0，0） D. （1，3）
6．若抛物线经过点P（1，－3），则此抛物线也经过点（ ）
A. P B. P C. P (1，3) D. P
7．在同一坐标系中，抛物线， ， 的共同特点是（　 ）
A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，y随x增大而减小
C. 关于y轴对称，y随x增大而增大 D. 关于y轴对称，顶点在原点
8．已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则( )
A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞
9．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A. y110．下列说法中错误的是（ ）
A. 在函数中，当时有最大值
B. 在函数中，当时随的增大而增大
C. 抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线的开口最大
D. 不论是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点
11．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，－1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A. a≤－1或a≥2 B. ≤a≤2 C. －1≤a＜0或1＜a≤ D. －1≤a＜0或0＜a≤2
二、填空题
12．已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是______ ．
13．写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式：___________.
14．某抛物线有以下性质：①开口向下；②对称轴是y轴；③与x轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x2具有的性质是_____．（填序号）
15．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
16．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= EMBED Equation.DSMT4 x2与y=–x2的图象，则阴影部分的面积是__________．
17．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________。
18．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
19．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
三、解答题
20．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
21．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
22．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
23．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
24．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质．
25．如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S△COB．
参考答案
1．B
【解析】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，
∴，解得： .
故选B.
2．C
【解析】把点(a，8)代入：y=ax2得：a3=8，解得：a=2.
故选C.
3．A
【解析】分别写出二次项系数的绝对值并比较大小．||＜|2|＜|4|，根据性质可知开口大小．
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，4），（1，-2），
因为||＜|-2|＜|4|，
所以抛物线y=x2开口最大．
故选A．
4．A
【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
5．C
【解析】试题解析：∵抛物线y=3x2，
∴抛物线y=3x2的顶点坐标是：（0，0），
故选C．
6．D
【解析】
试题解析：∵将点P（1，-3）代入y=ax2得a=-3，
∴y=-3x2，
将四个点坐标分别代入解析式可知，当x=-1时，y=-3，即D选项正确，其他三个选项均不成立．
故选D．
7．D
【解析】解：∵函数y=2x2，y=x2，y=x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＞0，a＜0，∴抛物线的开口方向分别为：向上、向上、向下，即开口方向不同；
由函数y=2x2，y=x2，y=x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故选D．
8．A
【解析】函数的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大.
因为|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故选A.
9．C
【解析】由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，又因点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以 y310．C
【解析】A．在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0，正确，
因为：此抛物线顶点坐标在原点，开口方向向下，故当x=0时y有最大值0；
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确；
因为此抛物线对称轴为y轴，开口方向向上，则x＞0时y随x的增大而增大；
C．抛物线y=2x2，y=-x2，y=-x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大；错误；
根据绝对值越大开口越小，可得抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大；
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点，正确，
因为y=ax2（a≠0）的顶点始终为原点．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大．
11．D
【解析】分析：分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a的取值范围即可.
详解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0∴a的取值范围是-1≤a<0或0故选B.
点睛：本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
12．m＜2
【解析】∵二次函数的图象开口向下，
∴m-2<0，解得：m<2.
故答案为：m<2.
13．y=2x2
【解析】图象的顶点在原点，开口向上的二次函数很多，如： .
14．①②④．
【解析】y=－2x2开口向下，对称轴是y轴，与x轴有一个交点，最高点是原点.
故答案为①②④.
点睛：掌握二次函数的图像及性质.
15． (0，0) y轴 ≤0 ＞0 0 小 0．
【解析】解：抛物线y＝2x2的顶点，坐标为（0，0），对称轴是y轴．当x≤0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x＝0时，y有最小值是0．
故答案为： （0，0） ； y轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．
16．8
【解析】函数y=x2与y=–x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4×=8.
点睛：本题考查了抛物线的性质，熟知与的图象关于x轴对称是解决问题的关键.
17．y=-3x2
【解析】把点A代入： 得， ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为： .
18．②④
【解析】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲 y乙”可知：存在以下3种情况：
（1）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（2）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（3）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④ ．
19．
【解析】当x=1时，y=x2=，则P1（1， ），所以S1=×1×=；
当x=2时，y=x2=2，则P2（2，2），所以S2=×1×（2-）= ；
当x=3时，y=x2=，则P3（3， ），所以S3=×1×（-2）=，
同样方法可得S4=，
所以Sn=．
故答案是： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了三角形面积公式．
20．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
21．（1）A点的坐标为：（2，4）；（2）（2，0），（﹣2，0），（4，0），（5，0）．
【解析】试题分析：（1）直接将A点代入解析式求出即可A点坐标即可；
（2）分别根据以O为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可．
试题解析：（1）∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为：（2，4）；
（2）如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2
∴点P坐标：（2，0），（﹣2，0），以A为顶点时，AO=OP，
∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′，
∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：（5，0），
综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2，0），（﹣2，0），（4，0），（5，0）．
22．（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
【解析】试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
试题解析：
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：
视频 ( http: / / qbm. / console / / media / Eav5S7TOlADNNq_QNVJsJ8azAU8bCp1TYsIBEk3JtT95_z9LGst1Vy9zKNNicDiideT_EHL6dJgUcbysgicX88dr8zlTjoBCtwREOpVZWepBuuU34LehdRLK01928wssd4PzhMfR9yrGqYq9wLNHJg )
23．见解析
【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
24．(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一，
【解析】试题分析：抛物线y＝ax2经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析.
解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a·1＝3.∴a＝3.
(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．
25．（1）y=﹣x+2，y=x2；（2）点C坐标为（﹣2，4）；（3）3．
【解析】试题分析：（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=kx+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；
（2）将（1）中所求的直线AB的解析式与抛物线y=ax2的解析式联立，得到方程组，解方程即可求出点C的坐标；
（3）已知A，B，C三点坐标，根据S△COB=S△AOC﹣S△OAB即可求△COB的面积．
试题解析：
（1）设直线表达式为y=kx+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=kx+b的图象上，
∴，解得 ，，
∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2；
（2）由 ，解得 或，
∴点C坐标为（﹣2，4）；
（3）S△COB=S△AOC﹣S△OAB=×2×4﹣×2×1=3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积．
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