21.2 二次函数的图象和性质（4）同步作业

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21.2 二次函数的图象和性质（4）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)
A. a≥0 B. a≤0 C. a＞0 D. a＜0
2．抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（　　）
A. （3，4） B. （3，﹣4） C. （﹣3，4） D. （﹣3，﹣4）
3．函数y= EMBED Equation.DSMT4 x2+2x+1写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A. y=（x﹣1）2+2 B. y=（x﹣1）2+ C. y=（x﹣1）2﹣3 D. y=（x+2）2﹣1
4．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的对称轴是（　　）
A. B. C. D.
6．对于二次函数y＝－3(x－8)2＋2，下列说法中，正确的是(　　)
A. 开口向上，顶点坐标为(8，2) B. 开口向下，顶点坐标为(8，2)
C. 开口向上，顶点坐标为(－8，2) D. 开口向下，顶点坐标为(－8，2)
7．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y2＞y3＞y1
8．已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（　　）
A. 当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 B. 当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C. 当x＞2时，y随x的增大而减小 D. 当x＞2时，y随x的增大而增大
9．抛物线y=﹣（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）
A. （4，﹣5），开口向上 B. （4，﹣5），开口向下
C. （﹣4，﹣5），开口向上 D. （﹣4，﹣5），开口向下
10．下列四个函数：①y=﹣；②y=2（x+1）2﹣3；③y=﹣2x+5；④y=3x﹣10．其中，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大的函数是（　　）
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①②
11．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　 ）
A. 3﹣ EMBED Equation.DSMT4 或1+ B. 3﹣或3+ C. 3+或1﹣ D. 1﹣或1+
二、填空题
12．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线平移后得到抛物线.请你写出一种平移方法. 答：_________________________________________.
13．若抛物线y=(x-m) +(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为________.
14．把二次函数y=2x2﹣4x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_____．
15．将二次函数化成的形式应为__________．
16．已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣2（a≠0）的图象在﹣1＜x＜0这一段位于x轴下方，在3＜x＜4这一段位于x轴的上方，则a的值为　 　．
三、解答题
17．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
18．用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
19．已知二次函数图象的顶点为（3，﹣1），与y轴交于点（0，﹣4）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求函数值y＞﹣4时，自变量x的取值范围．
20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3
(1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象
（2）根据图象回答，x取何值时，y＞0？
（3）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
21．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
22．设抛物线 y =m x2 －2m x＋3 (m ≠0) 与 x 轴交于点 A (a, 0) 和 B (b, 0) ．
（1）若 a =－1，求 m, b 的值；
（2）若 2m +n =3 ，求证：抛物线的顶点在直线 y =m x+ n 上；
（3）抛物线上有两点 P (x1, p) 和 Q (x2 , q) ，若 x1 <1 参考答案
1．D
【解析】：∵二次函数y=a（x-1）2+3，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1，
又∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0.
故选D．
【点睛】运用了二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
2．D
【解析】∵y=2（x+3）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），
故选：D．
3．D
【解析】y=x2+2x+1=（x2+4x+4）﹣2+1=（x+2）2﹣1
故选D．
【点睛】二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
4．D
【解析】
试题分析：根据抛物线的平移规律可得：把抛物线向下平移2个单位，得，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是，故选：D．
考点：抛物线的平移．
5．B
【解析】抛物线的对称轴是直线： .
故选B.
6．B
【解析】∵-3<0,
∴开口向下.
∵解析式是：y＝－3(x－8)2＋2，
∴顶点坐标为(8，2).
故选B.
点睛：本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；其顶点坐标是(h，k).
7．A
【解析】试题分析：对于开口向下的二次函数，离对称轴越远，则函数值越小，本题中函数的对称轴为直线x=1，则，故选A．
8．D
【解析】试题解析：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴A、B、C都不正确，
∵二次函数的图象为一条抛物线，当时，y随x的增大而增大
∴D正确，
故选D．
9．B
【解析】试题解析：∵抛物线的解析式为
∴抛物线的开口向下．
抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的顶点坐标为
故选B．
10．C
【解析】分析：根据反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质逐个判断即可．
详解：①y＝，k＝－2＜0，图象位于二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，但当x＞－1时不一定y随x的增大而增大；
②y＝2(x＋1)2﹣3，a＝2＞0，图象开口向上，对称轴为x＝－1，所以当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③y＝﹣2x＋5，k＝－2＜0，y随x的增大而减小；
④y＝3x﹣10，k＝3＞0，所以y随x的增大而增大．
所以当x＞﹣1时，y随x的增大而增大的函数是②④．
故选：C．
点睛：本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质等知识点，能熟记反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质的内容是解此题的关键．
11．C
【解析】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值-5，
可得：-（1-h）2+1=-5，
解得：h=1-或h=1+（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值-5，
可得：-（3-h）2+1=-5，
解得：h=3+或h=3-（舍）．
综上，h的值为1-或3+，
故选：C．
点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．
12．答案不唯一
【解析】分析：把y改写成顶点式，进而解答即可.
详解：y先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线.
故答案为：y先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到抛物线.
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式为
y=a(x-) +,然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.
13．m＞0
【解析】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+（m+1），∴顶点坐标为（m，m+1）．∵顶点在第一象限，∴m＞0，m+1＞0，∴m的取值范围为m＞0．故答案为：m＞0．
14．y=﹣2x2﹣4x﹣3
【解析】分析：求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
详解：∵抛物线y=2x2-4x+3=2（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（-1，-1），
∴所得到的图象的解析式为y=-2（x+1）2-1，即y=-2x2-4x-3．
故答案为：y=-2x2-4x-3．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
15．
【解析】将二次函数配方可得,
故答案为: .
16．．
【解析】试题分析：∵抛物线y＝a(x﹣1)2﹣2（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
而抛物线在3＜x＜4这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在﹣1＜x＜0这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y＝a(x﹣1)2﹣2（a≠0）得4a﹣2＝0，解得a＝．
故答案为．
点睛：本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性得出图象经过点（－1，0）是解决此题的关键．
17．（1）抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【解析】试题分析：（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图象与y轴的交点坐标，令y=0可求图象与x轴的交点坐标；
（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，解得x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
18．开口向下，对称轴为直线，顶点
【解析】试题分析:先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.
试题解析: ,
=,
=,
开口向下,对称轴为直线,顶点.
19．（1）y=﹣（x﹣3）2﹣1；（2）函数值y＞﹣4时，自变量0＜x＜6
【解析】试题分析：(1)、首先将二次函数设成顶点式，然后将(0，-4)代入求出函数解析式；(2)、根据函数的开口方向以及最值得出x的取值范围.
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，
把（0，﹣4）代入得9a﹣1=﹣4，
解得a=﹣．
所以二次函数解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1；
（2）∵a=﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点为（3，﹣1），
∴点（0，﹣4）对称点为（6，﹣4），
∴函数值y＞﹣4时，自变量0＜x＜6．
20．（1）图象见解析；（2）-1＜x＜3；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．
【解析】试题分析：（1）列表，描点，连线，画出抛物线；
（2）（3）根据图象回答问题即可．
试题解析：（1）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线可得如图所示抛物线．
（2）当-1＜x＜3时，y＞0；
（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．
21．（1）a=，h=1，k=-5；（2）开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，-5).
【解析】试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；
（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.
试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5，
∴a=，b=1，k=-5；
（2）二次函数y= (x-1)2-5，
开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.
22．（1）， ；（2）证明见解析；（3）当时， ，当时，即
【解析】（1）把代入
得 解得
即
由 解得
∴
（2）∵
∴ 抛物线的顶点坐标为
∵ ∴
∴ 直线表达式为
当时，
∴ 抛物线的顶点在直线上
（3）∵
∴
∵且
∴
∴ 当时， ，即
当时， ，即
（3）或用图象来判断：由（2）可得抛物线的对称轴为直线
∵且 ∴
即P、Q两点中，点Q距离对称轴较远
当时，抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大，所以；
当时，抛物线开口向下，抛物线上离对称轴越远的点函数值越小，所以．
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