课时作业13 合情推理
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
答案：C
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇＝( )
A. B.
C. D．不可类比
解析：扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇＝lr.
答案：C
3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
A．111 1110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
解析：由1×9＋2＝11；
12×9＋3＝111；
123×9＋4＝1 111；
1 234×9＋5＝111 111；
…
归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，
∴123 456×9＋7＝1 111 111.
答案：B
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①②
C．①②③ D．③
解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
答案：C
5．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：把1,3,6,10,15,21，…依次记为a1，a2，…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，∴a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
7．观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
…
照此规律，第五个不等式为________．
解析：归纳观察法．
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
8．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
解析：观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)多对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
10．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．
解析：从大、小正方形的数量关系上容易发现：
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
答案：C
12．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥的体积VA－BCD＝________.
解析：内切圆半径r内切球半径R，
三角形的周长：a＋b＋c三棱锥各面的面积和：
S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，
三角形面积公式系数三棱锥体积公式系数.
∴类比得三棱锥体积
VA－BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
答案：R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.
解析：因为Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，
所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝＝＝.所以猜想an＝.
14．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解析：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
课时作业14 演绎推理
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列推理过程属于演绎推理的有( )
①数列{an}为等比数列，所以数列{an}的各项不为0；
②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；
④通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由演绎推理的定义知①、④两个推理为演绎推理，②为归纳推理，③为类比推理．故选C.
答案：C
2．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：由三段论的一般模式知应选B.
答案：B
3．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．正确
解析：此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.
答案：B
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
答案：A
5．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．给出下列推理过程：因为和都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以＋也是无理数，这个推理过程________(填“正确”或“不正确”)．
解析：结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．
答案：不正确
7．下列几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
解析：①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．
答案：①
8．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a≥0，小前提是 有意义，结论是________．
解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．
解析：(1)所有的循环小数是有理数，(大前提)
0．33是循环小数，(小前提)
所以，0.33是有理数．(结论)
(2)因为每一个矩形的对角线相等，(大前提)
而正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)
通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)
通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．(结论)
10.
已知空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．
求证：EF∥平面BCD.
证明：三角形的中位线平行于底边(大前提)．
因为E，F是AB，AD的中点，
所以EF是△ABD的中位线(小前提)，
所以EF∥BD(结论)．
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行(大前提)．
因为EF?平面BCD，BD?平面BCD，
EF∥BD(小前提)．
所以EF∥平面BCD(结论)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
答案：若a≥b，则a＋c≥b＋c
13.
已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
证明：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提)
∴∠1＝∠2.(结论)
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，(小前提)
∴∠1＝∠3.(结论)
∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)
∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.(结论)
同理可证DB平分∠CBA.
14．已知a，b，m均为正实数，b
证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b0，(小前提)
所以，mb因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb所以，mb＋ab即b(a＋m)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)0，(小前提)
所以，<，即<.(结论)
课时作业15 综合法和分析法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
解析：由综合法和分析法的定义及推理过程可知A，B，D正确，C错误．
答案：C
2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系为( )
A．a>b B．a＝b
C．a解析：因为a＝lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1，
所以b＝ex答案：A
3．要证＋<＋(a≥0)可选择的方法很多，其中最合理的是( )
A．综合法 B．类比法
C．分析法 D．归纳法
解析：要证 ＋<＋，
只需证明
2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只需证明<，
只需证明a2＋7a只需证明0<12，
故选择分析法最合理．
答案：C
4．已知a>0，b>0且a＋b＝2，则( )
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：因为a>0，b>0，
所以a＋b≥2，所以ab≤1，
a2＋b2≥(a＋b)2＝2.
答案：C
5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a索的因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：要证 <a，
只需证b2－ac<3a2，
只需证b2－a(－b－a)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0.
只需证(2a＋b)(a－b)>0，
只需证(a－c)(a－b)>0.
故索的因应为C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.－________－1.(填“>”或“<”)
解析：因为－和－1都是正数．
要比较－与－1的大小．
只需判定与1的大小即可．
而＝
＝<1，
所以－<－1.
答案：<
7．在平面内有四边形ABCD和点O，满足＋＝＋，则四边形的形状为________．
解析：由已知＋＝＋得
－＝－，
即＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
8．已知等差数列{an}，Sn表示前n项和，a3＋a9>0，S9<0，则S1，S2，S3，…中最小的是________．
解析：由于数列{an}为等差数列，所以
a3＋a9＝2a6>0.
S9＝＝9a5<0.
所以S5最小．
答案：S5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc，
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，
所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
证明：a⊥b?a·b＝0，要证≤，
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即证(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，
故原不等式得证．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设0A．c B．b
C．a D．随x取值不同而不同
解析：因为x>0，所以(1＋x)2＝1＋2x＋x2>2x.所以1＋x>.
即b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝＝>0，所以c>b即c>b>a.
答案：A
12．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
13．已知a>0，b>0，求证：＋≥ ＋.
证明：方法一：(综合法)因为a>0，b>0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥ ＋.
方法二：(分析法)要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a>0，b>0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
14．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
即证＋＝3，
也即证＋＝1.
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，
即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，
此式即分析中欲证之等式，即原式得证．
法二：∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，
得c2＋a2＝ac＋b2，
两边同时加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得＋＝1，
∴＋＝3，
∴＋＝，
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
课时作业16 反证法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三个内角都小于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
解析：“至少有一个”的反设词是“一个也没有”．故选A.
答案：A
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.
答案：D
3．下列四个命题中错误的是( )
A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角
B.， ， 不可能成等差数列
C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60°
D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数
解析：显然A、B、D命题均真，C项中若a>b>c，
则A>B>C，
若∠C>60°，则A>60°，B>60°，
∴A＋B＋C>180°与A＋B＋C＝180°矛盾．故选C.
答案：C
4．设x>0，则方程x＋＝2sinx的根的情况是( )
A．有实根 B．无实根
C．恰有一实根 D．无法确定
解析：x>0时，x＋≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，∴x＋＝2sinx无实根．
答案：B
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析：若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________________________________________________________________________．
解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，
因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
7．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________________________________________________________________________．
解析：方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．
答案：无解或至少两解
8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的排列为________．
解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．
答案：③①②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0.
即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
10．求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直．
解析：已知：平面α和一点P.
求证：过点P与α垂直的直线只有一条．
证明如下：如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)．
假设过点P还有另一条直线PB⊥α，
设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，
于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.
答案：D
12．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________________
＝________________
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
13．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
14．若a，b，c均为实数且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则有a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
因为(x－1)2，(y－1)2，(z－1)2均大于或等于0，且π－3>0，
所以a＋b＋c>0，这与假设a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．所以a，b，c中至少有一个大于0.
课时作业17 数学归纳法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
答案：C
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.
答案：D
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*)
D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)
解析：n∈N*且为奇数，由假设n＝2k－1(n∈N*)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N*)时成立，就完成了归纳递推．
答案：B
4．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立．则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
答案：C
5．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，
则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k
到n＝k＋1左边多出了这一项．
答案：＋＋…＋＋>－
7．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
8．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以，当n＝k＋1时等式成立．
由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．
上述证明错误的是________．
解析：用数学归纳法证明问题一定要注意，在证明n＝k＋1时要用到假设n＝k的结论，所以②错误．
答案：②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，对一切n∈N*，命题成立．
10．求证：1＋＋＋…＋>(n∈N*)．
证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝，所以不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即
1＋＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋2k－1·＝.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为( )
A．a＝，b＝
B．a＝b＝
C．a＝0，b＝
D．a＝，b＝
解析：法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证，易知选A.
法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，
所以当n＝1,2时有
即解得
答案：A
12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
13．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明：(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，即f(k)＝.那么当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N*都成立．
14．已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式．
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.
猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)
(2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5成立．
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝5×2k－2(k≥2且k∈N*)
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2
＝5＋＝5×2k－1.
故当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，对n≥2且n∈N*.
都有an＝5×2n－2.
于是数列{an}的通项公式为
an＝
第二章 推理与证明
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．证明：<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间式子等于( )
A．1 B．1＋
C．1＋＋ D．1＋＋＋
解析：n＝2时中间式子的最后一项为，所以中间子式为1＋＋＋.
答案：D
2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除
B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除
D．a不能被3整除
解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．
答案：B
3．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
解析：A中类比的结果应为loga(xy)＝logax＋logay，B中如x＝y＝时不成立，C中如x＝y＝1时不成立，D中对于任意实数分配律成立．
答案：D
4．若a>0，b>0，则有( )
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
解析：∵－(2b－a)＝＝≥0，∴≥2b－a.
答案：C
5．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
解析：这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A.
答案：A
6．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析：f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误．故选A.
答案：A
7．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．(5k－2k)＋4×5k－2k
B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－3×5k
解析：5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.
答案：B
8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c，
则正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
答案：B
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案：C
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 017等于( )
A. B．－1
C. 2 D．3
解析：∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 017＝a1＋3×672＝a1＝.
答案：A
11．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0，
又因为a2＋b2＋c2≥0.所以2(ab＋bc＋ac)≤0.故选D.
答案：D
12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )
A. B.
C. D.
解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝.同理易知，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14．观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
…
照此规律，第五个不等式为________________________________________________________________________．
解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
15．若三角形的周长为L，面积为S，内切圆半径为r，则有r＝，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则有________．
解析：三角形可分解为三个以内切圆圆心为顶点的三角形，于是有L·r＝S，即r＝，四面体可分解为四个以四面体各面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥．于是·S·R＝V，即R＝.
答案：R＝
16．用数学归纳法证明某不等式时，其左边＝1－＋－＋…＋－，则从“n＝k到n＝k＋1”应将左边加上________．
解析：f(k)＝1－＋－＋…＋－，f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，
∴f(k＋1)－f(k)
＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
18．(12分)已知a>0，b>0，用分析法证明：≥.
证明：因为a>0，b>0，
要证≥，
只要证，(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
19．(12分)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
解析：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
20．(12分)△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C与a，b，c都成等差数列，求证△ABC为正三角形．
证明：因为A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，①
又A＋B＋C＝π，②
由①②得B＝.③
又a，b，c成等差数列，
所以b＝，④
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，⑤
将③④代入⑤得
2＝a2＋c2－2ac×.
化简得a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，所以a＝c，⑥
由④⑥得a＝b＝c，
所以△ABC为正三角形．
21．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°.
(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°.
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°.
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°.
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：①选择(2)式计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.
②三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
22．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝，且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解析：(1)a2＝＝，又a1＝，
则a2＝，类似地，求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想an＝.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，由(1)可知猜想成立；
②假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时猜想成立，
即ak＝＝.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝，
∴Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
∴k(2k＋3)ak＋1＝，
∴ak＋1＝
＝.
∴由n＝k＋1时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何n∈N*都成立．
∴{an}的通项公式为an＝.
