课时作业17 数学归纳法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
答案：C
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.
答案：D
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*)
D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)
解析：n∈N*且为奇数，由假设n＝2k－1(n∈N*)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N*)时成立，就完成了归纳递推．
答案：B
4．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立．则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
答案：C
5．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，
则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k
到n＝k＋1左边多出了这一项．
答案：＋＋…＋＋>－
7．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
8．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
则当n＝k＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以，当n＝k＋1时等式成立．
由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．
上述证明错误的是________．
解析：用数学归纳法证明问题一定要注意，在证明n＝k＋1时要用到假设n＝k的结论，所以②错误．
答案：②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，对一切n∈N*，命题成立．
10．求证：1＋＋＋…＋>(n∈N*)．
证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝，所以不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即
1＋＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋2k－1·＝.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为( )
A．a＝，b＝
B．a＝b＝
C．a＝0，b＝
D．a＝，b＝
解析：法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证，易知选A.
法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，
所以当n＝1,2时有
即解得
答案：A
12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
13．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明：(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，即f(k)＝.那么当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N*都成立．
14．已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式．
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.
猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)
(2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5成立．
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝5×2k－2(k≥2且k∈N*)
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2
＝5＋＝5×2k－1.
故当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，对n≥2且n∈N*.
都有an＝5×2n－2.
于是数列{an}的通项公式为
an＝
课时作业18 数系的扩充和复数的概念
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
答案：C
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
答案：D
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：由复数相等的充要条件得解得a＝－4.
答案：C
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故应选D.
答案：D
5．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．
解析：因为3i2＋7i＝－3＋7i，所以实部为－3，虚部为7.
答案：－3 7
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝________，y＝________.
解析：由复数相等可知∴
答案： 1
8．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或1.
答案：0或1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解析：(1)当z为实数时，则有m2－3m＋2＝0，
解得m＝1或2.即m为1或2时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有，
解得m＝－，即m＝－时，z是纯虚数．
10．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y.
解析：因为y是纯虚数，可设y＝bi(b∈R，且b≠0)，
则(2x－1)＋3i＋b＝bi－i＝(b－1)i，
整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i.
由复数相等的充要条件得
解得所以x＝－，y＝4i.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是( )
A．a＝0 B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0
解析：由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由且字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选项的情况，故选A.
答案：A
12．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．
解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m2－1)＋(m2－2m)i应为实数，得
解得m＝2.
答案：2
13．已知关于实数x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
解析：对①，根据复数相等的充要条件，得
解得③
把③代入②，
得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，
所以
解得
14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N?M，M∩N≠?，求整数a，b.
解析：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②
由①，得a＝－3，b＝±2，
经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．
∴a＝－3，b＝2.
由②，得a＝±3，b＝－2.
又a＝－3，b＝－2不合题意．
∴a＝3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝3，b＝－2.
课时作业19 复数的几何意义
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列不等式正确的是( )
A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|
C．|2－i|>2 D．i>－i
解析：两虚数不能比较大小，A、D错误；又|2＋3i|＝<|1－4i|＝，B不正确，故选C.
答案：C
2．给出复平面内的以下各点：A(3,1)，B(－2,0)，C(0,4)，D(0,0)，E(－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：A，C，E三点对应的复数分别为3＋i,4i，－1－5i，是虚数，B，D对应的是实数，因此共有3个点．
答案：C
3．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
解析：因为z＝|z|，所以z为实数且z≥0.
答案：D
4．已知复数z＝a＋i(其中a∈R，i为虚数单位)的模为|z|＝2，则a等于( )
A．1 B．±1
C. D．±
解析：因为|z|＝2，所以a2＋1＝4，
所以a＝±.
答案：D
5．当
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．
由0，m－1<0.
所以点Z位于第四象限，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数为________．
解析：由题意可知A(2,3)，B(3,2)，C(－2，－3)，设D(x，y)，则＝，即(x－2，y－3)＝(－5，－5)，解得故D点对应的复数为－3－2i.
答案：－3－2i
7．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
解析：∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3,4)，
∴点C的坐标为(3,4)，
∴向量对应的复数为3＋4i.
答案：3＋4i
8．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是________．
解析：∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－1答案：(－1,1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为1)．
解析：如题图所示，点A的坐标为(4,3)，
则点A对应的复数为4＋3i.
同理可知点B，C，F，G，H，O对应的复数分别为：
3－3i，－3＋2i，－2,5i，－5i,0.
10．求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限，得
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上，得
a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析：设z＝x＋yi，
∵|z－i|＝|3＋4i|，
∴＝5.
则x2＋(y－1)2＝25，
∴复数z对应点的轨迹是圆．
答案：C
12．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
答案：5
13．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i.则当m为何值时，
(1)z∈R?
(2)z是纯虚数？
(3)z对应的点位于复平面第二象限？
(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上？
解析：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a<0，b>0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，则这个点就在这条直线上．
(1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0，得m＝－3.故当m＝－3时，z∈R.
(2)由
解得m＝0，或m＝－2.
故当m＝0，或m＝－2时，z为纯虚数．
(3)由解得m<－3.
故当m<－3时，z对应的点位于复平面的第二象限．
(4)由＋(m2＋2m－3)＋3＝0，
解得m＝0或m＝－2.
故当m＝0或m＝－2时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
14．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解析：(1)|z1|＝|＋i|＝ ＝2，
|z2|＝＝1，
∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
课时作业20 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )
A. B.
C．2 D．－1＋3i
解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝.
答案：B
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得?a＝－2.
答案：C
3．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．
答案：A
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：依题意有＝＝－.
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
而对应的复数为4－2i，
故选D.
答案：D
5．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )
A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(3,2)到原点的距离
D．以上都不对
解析：由减法的几何意义可知．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为________．
解析：|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|
＝
＝
＝≤.
答案：
7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案：6 11
8．如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.
解析：因为＋＝.
所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，
所以所以
所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
答案：2－4i
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算：
(1)(－i)＋＋1；
(2)－＋i；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
解析：(1)原式＝(－)＋i＋1＝1－i.
(2)原式＝＋i＝＋i.
(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.
10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判定△ABC的形状．
解析：(1)＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
∴＝－＝(1,1)，对应的复数为1＋i，
＝－＝(－2,2)，对应的复数为－2＋2i，
＝－＝(－3,1)，对应的复数为－3＋i.
(2)∵|AB|＝＝，|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：∵z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
∴4＋b＝0，b＝－4.
∵z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，∴a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
答案：A
12．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．
解析：∵z＝3－4i，∴|z|＝5.
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.
∴该复数对应的点为(－1，－5)，在第四象限．
答案：四
13．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解析：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z＝13－2i，则x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
14．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△AOB的面积．
解析：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，
于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
即＝，＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠AOB＝－，
因此cos∠AOB＝－，故sin∠AOB＝，
故S△AOB＝||||sin∠AOB
＝×××＝.
即△AOB的面积为.
课时作业21 复数代数形式的乘除运算
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
答案：D
2．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A.
答案：A
3．设z＝＋i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
解析：因为z＝＋i＝＋i＝＋，
所以|z|＝.
答案：B
4．复数z＝对应的点在复平面的( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
解析：z＝＝
＝
＝＝－＋i.
故z对应的点在复平面的第二象限．
答案：C
5．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F
C．G D．H
解析：依题意得z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．i是虚数单位，＝________(用a＋bi的形式表示，其中a，b∈R)．
解析：＝
＝＝1＋2i.
答案：1＋2i
7．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.
解析：由题意得：
所以
答案：－1 1
8．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析：利用复数相等的条件求出a，b的值．
＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i
∴解得∴a＋b＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2).
解析：(1)(2－i)(3＋i)
＝(7－i)
＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
10．已知复数z满足＝2i，求复数z对应点坐标．
解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝＝2i，
得x＋yi＝－2y＋2(x－1)i，
则?，
则复数z＝－i.
即复数z对应点为.
方法二：由＝2i，得z＝(z－1)2i＝2zi－2i，
则z(1－2i)＝－2i，
∴z＝＝
＝＝－i.
即z对应点为.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，
从而＝
＝＝＝－2i.
答案：B
12．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，
所以z1＝bi·z2，
即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.
所以所以a＝.
答案：
13．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得
a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
14．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2，
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)求u＝，求证：u为纯虚数．
解析：(1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，所以y－＝0，
所以x2＋y2＝1，即|z|＝1.此时ω＝2x.
因为－1<ω<2，所以－1<2x<2，
从而有－(2)设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
u＝＝＝
＝＝－i.
因为x∈，y≠0，所以－≠0，所以u为纯虚数．
第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．
②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．
③若a＝0，则ai不是纯虚数．
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．
答案：A
2．“复数z是实数”的充分不必要条件为( )
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
解析：由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．
答案：A
3．设复数z＝(3－4i)(1＋2i)(i是虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－2i D．2i
解析：由z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.
答案：B
4．复数＝( )
A．2－i B．1－2i
C．－2＋i D．－1＋2i
解析：＝＝＝－2＋i.
答案：C
5．设i是虚数单位，则＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：由复数的运算法则有＝＝＝＝－(1－i)＝－1＋i，故选B.
答案：B
6．已知z是纯虚数，是实数，则z等于( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则＝＝＝[(2－b)＋(2＋b)i]．
∵∈R，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴z＝－2i.
答案：D
7．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵＝2i，
∴z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，故选B.
答案：B
8．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．25 B.
C．5 D.
解析：z＝＝－4－3i，
所以|z|＝＝5.
答案：C
9．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：由＝b＋i，得a＋2i＝－1＋bi，
所以a＝－1，b＝2，
所以a＋b＝1，故选B.
答案：B
10．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝( )
A.＋i B.＋i
C．－－i D．－－i
解析：由题图，知z1＝－2－i，z2＝i，则＝－＝－＝－＝－－i.故选C.
答案：C
11．复数z的共轭复数为，且(1＋2i)＝4＋3i，则z等于( )
A．5 B．10
C．25 D.
解析：＝＝＝＝2－i.
∴z＝2＋i，故z＝(2＋i)(2－i)＝5.
答案：A
12．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，则复数z在复平面对应的点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到(－1，－1)的距离．由图可知最小值为1.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．复数的共轭复数是________．
解析：＝＝＝－i，其共轭复数为＋i.
答案：＋i
14．若(1＋3i)(3＋bi)是纯虚数，则实数b＝________.
解析：(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
因为(1＋3i)·(3＋bi)为纯虚数，
所以3－3b＝0，且9＋b≠0，所以b＝1.
答案：1
15．若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
解析：法一 由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝，两式相加，可得2＝＋＝2＋14i，所以＝－1－7i.
法二 如图，把向量平移到向量的位置，可得＝＝－(＋)＝－1－7i.
答案：－1－7i
16．使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．
解析：∵只有两个复数均为实数时，才能比较大小，
∴由条件得
∴从而m＝3.
答案：{3}
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．
(1)求b的值；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
解析：(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
∵z是纯虚数，
∴3－3b＝0，且9＋b≠0，
∴b＝1.
(2)ω＝＝＝＝－i，
∴|ω|＝＝.
18．(12分)已知复数z＝.
(1)求z的共轭复数；
(2)若az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解析：(1)∵z＝＝＝1＋i，
∴＝1－i.
(2)由题意得a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋ai＝1－i.
解得a＝－1，b＝2.
19．(12分)已知复数z1＝2＋i,2z2＝.
(1)求z2；
(2)若在复平面上z1，z2对应的点分别为A，B，求|AB|.
解析：(1)因为z1＝2＋i，
所以2z2＝＝，
所以z2＝＝－i.
(2)因为在复平面上z1，z2对应的点分别为A，B，
所以点A，B的坐标分别为(2,1)，(0，－1)．
所以|AB|＝＝2.
20．(12分)设复数z＝a2＋a－2＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，问当a取何值时，
(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)＝28＋4i；
(4)z所对应的点在复平面的第四象限内．
解析：(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，
∴a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需
∴a＝－2.
(3)∵＝28＋4i，
∴∴a＝5.
(4)由题意知
∴
故当121．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.
求：(1)·z2；(2).
解析：z2＝＝
＝
＝＝1－3i.
(1)·z2＝(2＋3i)·(1－3i)＝2－6i＋3i＋9＝11－3i.
(2)＝＝
＝＝－＋i.
22．(12分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．
解析：(1)将b代入题中方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0，
整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0.
则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
所以点Z在以(－1,1)为圆心，2为半径的圆上．画图可知，z＝1－i时，|z|min＝.
