21.2 二次函数的图象和性质（6）同步作业

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21.2 二次函数的图象和性质（6）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A. E，F B. E，G C. E，H D. F，G
2．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　）
A. B. C. D.
3．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A. y=（x﹣2）2+3 B. y=（x﹣2）2﹣3
C. y=﹣（x﹣2）2+3 D. y=﹣（x﹣2）2﹣3
4．二次函数的图象经过三点，则它的解析式为
A. B. C. D.
5．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
6．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A. B. C. D.
7．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　）
A. y=﹣2x2+8x+3 B. y=﹣2x 2﹣8x+3 C. y=﹣2x2+8x﹣5 D. y=﹣2x 2﹣8x+2
8．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）
A. y=﹣（x﹣13）2+59.9 B. y=﹣0.1x2+2.6x+31
C. y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D. y=﹣0.1x2+2.6x+43
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是(　　)
A. y＝－2x2－x＋3 B. y＝－2x2＋4 C. y＝－2x2＋4x＋8 D. y＝－2x2＋4x＋6
10．已知二次函数y＝－3x2＋1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式为( )
A. y＝－3x2－1 B. y＝3x2 C. y＝3x2＋1 D. y＝3x2－1
二、填空题
11．若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0,－3）.则这个二次函数的表达式为_________________________．
12．抛物线与直线交于（1， ），则= ________ ；抛物线的解析式为_________
13．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为______________________________．
14．如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2－4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为_________________________________．
15．若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为_________________________．
16．定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”____________________________．
三、解答题
17．抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)
18．已知：抛物线经过、两点，顶点为A．
求： 抛物线的表达式；
顶点A的坐标．
19．已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点(－1，0)．
(1)求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．
(2)若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．
20．已知抛物线经过三点A(2,6)、B(-1,0)、C(3,0)．
求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标.
21．如图，抛物线y=ax2+4ax+4与x轴仅有一个公共点，经过点A的直线交该抛物线于点C，交y轴于点B，且点B是线段AC的中点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式．
22．在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求定点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
参考答案
1．C
【解析】试题解析：
∵F(2,2),G(4,2)，
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H(3,1)点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为
把E(0,10)代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为
故选C.
2．D
【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：
，∴；
再向下平移3个单位为： ，∴．
故选D．
3．C
【解析】抛物线开口向下，顶点是（2,3），所以y=﹣（x﹣2）2+3，选C.
点睛：
求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与x轴的两个交点 (，利用双根式，y= （）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, .
(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式.
其中a决定开始方向和大小,顶点坐标是（h,k）,对称轴方程是x=h.
（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.
(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 (，则可以得到对称轴方程.
4．D
【解析】设该二次函数的解析式为：，则由已知条件可得：
，解得： ，
∴该二次函数的解析式为：.
故选D.
5．B．
【解析】
试题解析：A、y=x2-1，先向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位可以得到y=x2+1，故A正确；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4，无法经两次简单变换得到y=x2+1，故B错误；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2，先向右平移2个单位得到y=（x+2-2）2=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C正确；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y=（x+4-2）2+1=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D正确．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
6．B
【解析】【分析】根据抛物线与轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线，求得抛物线与轴两个交点分别为用待定系数法求出抛物线的解析式，根据平移规律求得平移后的抛物线解析式，再把点的坐标代入进行验证即可.
【解答】抛物线与轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线，
可知抛物线与轴两个交点分别为
代入得： 解得：
抛物线的方程为：
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线为：
即
当时，
抛物线过点.
故选B.
【点评】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图形与性质，以及平移规律.掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.
7．C
【解析】根据题意,设y=a(x 2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以a+3=1，a= 2.
因此抛物线的解析式为：y= 2(x 2)2+3= 2x2+8x 5.
故选：C.
8．D
【解析】根据可知，该抛物线的顶点为（13，59.9），并且过点(30，31)，设该抛物线的解析式为 EMBED Equation.DSMT4 ，把点(30，31)代入得31= ，解得a=-0.1，所以，即.y=﹣0.1x2+2.6x+43，故选D.
点睛：本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，找的二次函数的顶点坐标，设出顶点式是解决本题的关键.
9．D
【解析】试题解析：∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同，
故设该二次函数的解析为y=-2（x-h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵当x=1时，y有最大值8，
∴该二次函数的顶点为（1，8），
∴h=1，k=8，
∴该二次函数的解析为y=-2（x-1）2+8，
即y=-2x2+4x+6，
故选D．
10．D
【解析】∵二次函数图象的顶点坐标为（0，1），图象与轴的交点坐标为和，
∴二次函数图象沿轴翻折后的抛物线的顶坐标为（0，-1），与轴的交点坐标为和，
∴可设新抛物线的表达式为：，代入点可得：，解得，
∴翻折后所得抛物线的表达式为：.
故选D.
点睛：抛物线沿轴翻折后所得新的抛物线表达式为.
11．y=﹣x2﹣3
【解析】分析：根据二次项系数和顶点坐标，直接写出抛物线的解析式；
解：∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3），
∴抛物线的顶点式为y=-（x－0）2-3,即y=-x2-3;
故答案是y=-x2-3。
12． -1
【解析】试题解析：根据题意，m=-1
抛物线y=ax2过（1，-1）
所以a=-1
抛物线的解析式为y=-x2．
故答案为：-1；y=-x.
13．y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1
【解析】由题意可知：该抛物线的解析式为y= 2(x h)2+k，
又∵顶点坐标( 1，3)，
∴y= 2(x+1)2+3=-2x2-4x+1，
故答案为：y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1.
14．x2+4x+5
【解析】由于两个函数图象都交于y轴上的同一点，所以c的值相等；两条抛物线的形状及开口方向相同，所以a的值相等；由于两条抛物线关于y轴对称，所以两个函数的b值互为相反数．
解：把y=x2-4x+5中的一次项系数-4变成相反数得到：y=x2+4x+5．
故答案为y=x2+4x+5．
“点睛”本题考查了关于y轴对称的两条抛物线的特征：二次项系数、常数项不变，一次项系数互为相反数．
15．y=﹣x2+x+12或y=﹣x2﹣x+12
【解析】如图,
∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15,
∴AB==25，
∵OC AB=AC BC，
∴OC==12，
∴OA==9，
∴OB=25 9=16，
∴抛物线与x轴的交点坐标为( 9，0)、(16，0)或( 16，0)、(9，0)，
当抛物线过点( 9，0)、(16，0)时，设抛物线解析式为y=a(x+9)(x 16)，把C(0，12)代入得a 9 ( 16)=12,解得a= ,此时抛物线解析式为y= (x+9)(x 16)，
即y= x2+x+12；
当抛物线过点( 16，0)、(9，0)时，设抛物线解析式为y=a(x+16)(x 9)，把C(0，12)代入得a 16 ( 9)=12，解得a= ，此时抛物线解析式为y= (x+16)(x 9)，
即y= x2 x+12
综上所述,抛物线解析式为y= x2+x+12或y= x2 x+12.
16．y=x2+3x+2
【解析】∵y=﹣x2+3x﹣2，
∴a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
设y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
即﹣1+a2=0，3=b2，﹣2+c2=0，
解得a2=1，b2=3，c2=2，
∴y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=x2+3x+2，
故答案为：y=x2+3x+2．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义问题，解题的关键是抓住互为“旋转函数”的定义，利用函数各多项式前面的系数解决问题．
17．
【解析】试题分析：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），所以设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4，把点（3，0）代入解析式即可解答．
试题解析：
由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3．
18．(1) (2)
【解析】试题分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式；
（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．
试题解析：
把、代入，
解得．
故抛物线的解析式为；
(2)
=
，
所以顶点A的坐标为．
19．（1）. a＝－1 (2). P1(，)，P2(－，－)．
【解析】试题分析：（1）由于抛物线的图象经过点（-1，0），那么此点坐标必满足抛物线的解析式，将其代入抛物线的解析式中，即可求得a的值，进而可得到抛物线的顶点坐标．
（2）将点P（t，t）代入抛物线的解析式中，即可求得符合条件的不动点的坐标．
试题解析：
(1)把点(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋x＋2中，得a＝－1.
∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2＝－＋，其顶点坐标是.
(2)把点P(t，t)的坐标代入y＝－x2＋x＋2中，
得t＝－t2＋t＋2，解得t1＝，t2＝－.
∴此抛物线上的不动点有两个，即点P1(，)，P2(－，－)．
20．（1）y=-2x +4x+6；（2）对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）
【解析】试题分析：（1）题目已知抛物线与x轴的交点坐标，故将函数解析式设为交点式，再将另一个点的坐标代入函数解析式求出解析式中的未知参数即可；（2）将函数解析式化为顶点式，写出对称轴和顶点坐标.
试题解析：
解：（1）设y=a（x+1）（x－3），
将A(2，6)代入解析式，得6=a（2+1）（2－3），解得a=－2，
所以抛物线解析式为y=－2（x+1）（x－3）=－2x +4x+6.
（2）函数解析式化为顶点式y=－2(x－1) +8，
所以，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）.
点睛：（1）已知抛物线上3个点的坐标，一般将函数解析式设为一般形式，再将点的坐标代入求出未知参数；（2）已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，一般将函数解析式设为顶点式，再将另一个点的坐标代入求出未知参数；（3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标和另一个点的坐标，一般将解析式设为交点式，再将另一个点的坐标代入求出未知参数.
21．（1）y=x2+4x+4；（2）y=4x+8．
【解析】分析：（1）由它与x轴只有一个交点知△=0，即16a2-16a=0，解之可得；
（2）作CD⊥y轴，证△AOB≌△CDB得CD=AO=2，从而求得点C的坐标，再利用待定系数法求解可得直线解析式．
详解：
（1）∵它与x轴只有一个交点，
∴△=0，即16a2﹣16a=0，
解得：a=0（舍）或a=1，
所以y=x2+4x+4；
（2）如图，过C作CD⊥y轴于D，
∴∠AOB=∠CDB=90°，
∵点B是线段AC的中点，
∴AB=CB，
在△AOB和△CDB中，
∠AOB=∠CDB，∠AB0=∠CBD，AB=CB，
∴△AOB≌△CDB（AAS），
∵A（﹣2，0），
∴CD=AO=2，
将C的横坐标2代入y=x2+4x+4中得C的纵坐标为16．
所以C为（2，16），
设AC为y=kx+b，
则，
解得：，
所以y=4x+8．
点睛：考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【解析】分析：（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；
（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.
详解： （Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵ ，
∴顶点的坐标为.
（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.
过点作轴于点，则.
可知，即，解得，.
当时，点不在第四象限，舍去.
∴.
∴抛物线解析式为.
（Ⅲ）由 可知，
当时，无论取何值，都等于4.
得点的坐标为.
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.
∵，，
∴.∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴，.
可得点的坐标为或.
当点的坐标为时，可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴.解得，.
当时，点与点重合，不符合题意，∴.
当点的坐标为时，
可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴ .解得（舍），.
∴.
综上，或.
故抛物线解析式为或.
点睛：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.
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