21.3 二次函数与一元二次方程同步作业
图片预览
文档简介
21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 二次函数与一元二次方程同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则的方程的实数根为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
2．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（ ）
A. 2019 B. 2018 C. 2017 D. 2016
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19
y －0.03 －0.01 0.02
A. －0.03＜x＜－0.01 B. －0.01＜x＜0.02 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.17＜x＜6.18
4．二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
5．根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（ ）
x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.03 0.07
A. 2＜x＜2.23 B. 2.23＜x＜2.24 C. 2.24＜x＜2.25 D. 2.24＜x≤2.25
6．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（ ）
A. （0，﹣2） B. （﹣2，0） C. （0，﹣1） D. （0，0）
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac2．其中正确的结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为( )
A. -4 B. -6 C. -8 D. 0
9．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 6
10．已知二次函数y＝x2－5x＋m 的图像与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为( )
A. （－1，0） B. （4，0） C. （5，0） D. （－6，0）
二、填空题
11．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ______．
12．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为_______．
13．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．
14．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是_____．
16．已知抛物线交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为___________．
三、解答题
17．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
18．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
19．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60 ，直接写出D点的坐标．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
参考答案
1．A
【解析】分析：二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
详解：
∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A．
点睛：考查了二次函数与x轴的交点问题、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解，解题的关键是根据点（－2，0）在二次函数y=ax2+1的图象上得出a的值.
2．B
【解析】将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故选B．
3．C
【解析】分析：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，即为二次函数y＝ax2＋bx＋c，当y=0时，自变量x的值；
解：当y=0时，-0.01故选C。
4．C
【解析】分析：首先将其转化为一元二次方程，从而根据根的判别式得出方程的解，从而得出函数的交点个数．
详解：根据题意可得：x2+2x﹣m2+1=1，即=0， ∵△=4+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根， ∴两个函数的交点为两个， 故选C．
点睛：本题主要考查的是二次函数与直线的交点问题，属于中等难度题型．解题的关键是将函数转化为一元二次方程，根据根的判别式得出答案．
5．B
【解析】分析：根据表格得出代数式的值为0时x所处的范围即可得出答案．
详解：∵－0.02＜0＜0.03， ∴2.23＜x＜2.24， 故选B．
点睛：本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
6．D
【解析】把x=0代入y=2（x+1）2-2得y=2-2=0．
所以抛物线的顶点为（0，0），
故选：D．
7．C
【解析】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④正确．
故选C．
8．A
【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y= k有交点，
由图可得， k≤4，
∴k≥ 4，
∴k的最小值为 4.
故选A.
9．C
【解析】分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值，由2017÷5=403…2，可知点P（2018，m）在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P（2018，m）代入即可．
详解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，
即m=﹣6．
故选：C．
点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
10．B
【解析】分析：由二次函数的解析式得出图象的对称轴，由图象的对称性即可得出答案．
详解：∵二次函数y=x 5x+m的图象的对称轴为x= ,与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是(4,0)；
故选B.
点睛：本题考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴，利用抛物线图象的对称性进行解答即可.
11．(－3，0)，(2，0)
【解析】令y=0，2(x＋3)(x－2)=0，x=-3或2，所以抛物线与x轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0).
点睛：要求二次函数与x轴的交点坐标，令y=0，求出对应的x写出交点坐标即可；要求二次函数与y轴的交点坐标即令x=0，求出y写出交点坐标即可.
12．3
【解析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
, 即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案是：3．
13．-16
【解析】试题解析：当时，有
解得：
∴抛物线与x轴的两个交点分别为和
∵两个交点之间的距离为4，
∴
解得：
故答案为：
14．﹣3．
【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，
∴，解得b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴12+4m≥0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数图像与x轴的交点横坐标是一元二次方程的根.当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当△>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根.
15．
【解析】令y=0,则x2 x=0，解得x=0或2，
∴点A坐标(2,0)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴点P是抛物线顶点，
∴点P坐标(1, )，
∴S△OAP=×2×=.
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点, 二次函数图象上点的坐标特征，先求出点A坐标，再根据题意确定点P就是抛物线顶点，求出顶点P的坐标即可解决问题．
16．或或
【解析】分析：根据抛物线的解析式，分别求出A、B、C的坐标，表示出AB、BC、AC的长，然后分三种情况讨论即可．
详解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得：=0，∴，∴x1=，x2=－3，∴A（-3，0），B（，0）（a＜0），∴AC=，AB=，BC=．
∵△ABC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①AB=AC，∴=5，解得：a=；
②AC=BC，∴=5，解得：a=±（正数舍去），∴a=－；
③AB=BC，∴=，解得：a=．
综上所述：a的值为或或．
故答案为：或或．
点睛：本题考查了抛物线的性质．解题的关键是分类讨论．
17．抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【解析】分析：把（0，-3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
详解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
18．（1）抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）S△ABC=3．
【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入二次函数中，求得的值，进而可得到抛物线的表达式；
（2）根据（1）中得到的抛物线的解析式，分别令求得点的坐标；
再利用三角形的面积公式列式计算，即可完成解答.
试题解析：（1）将代入，得
解得
故抛物线的表达式为
（2）∵抛物线的表达式为
当 时， 即就是
解得
当时，
19．（1）m=0时，该函数的零点为±（2）证明见解析
【解析】试题分析：(1)、求出当y=0时的方程的解，从而得出函数的零点；(2)、利用根的判别式得出判别式为非负数，即当y=0时方程有两个不相等的实数根，即函数总有两个零点．
试题解析：(1)、解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0， 解得x=±，
所以，m=0时，该函数的零点为±；
(2)、证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3）=4m2+8m+24=4（m+1）2+20，
∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0， ∴△=4（m+1）2+20＞0，
∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点．
20．（1）；（2），；（3），
【解析】分析：（1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式△=b2-4ac＞0列出关于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围求得k的整数解，然后将其代入关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0并整理，再根据配方法进行求解；
（3）先求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点，从而得到对称轴的解析式以及AB的长度，再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解．
详解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-；
（2）∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1；
（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC=（3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD=，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），
∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．
点睛：本综合考查了根的判别式，一元二次方程的解法以及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况，综合性较强，但难度不是很大，根据整数根求出k的值是解题的关键．
21．(1)证明见解析；（2）k≤1；（3）2.
【解析】试题分析：（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
试题解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21.3 二次函数与一元二次方程同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则的方程的实数根为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
2．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（ ）
A. 2019 B. 2018 C. 2017 D. 2016
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19
y －0.03 －0.01 0.02
A. －0.03＜x＜－0.01 B. －0.01＜x＜0.02 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.17＜x＜6.18
4．二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
5．根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（ ）
x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.03 0.07
A. 2＜x＜2.23 B. 2.23＜x＜2.24 C. 2.24＜x＜2.25 D. 2.24＜x≤2.25
6．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（ ）
A. （0，﹣2） B. （﹣2，0） C. （0，﹣1） D. （0，0）
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为( )
A. -4 B. -6 C. -8 D. 0
9．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. ﹣6 D. 6
10．已知二次函数y＝x2－5x＋m 的图像与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为( )
A. （－1，0） B. （4，0） C. （5，0） D. （－6，0）
二、填空题
11．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ______．
12．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为_______．
13．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．
14．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是_____．
16．已知抛物线交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为___________．
三、解答题
17．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
18．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
19．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60 ，直接写出D点的坐标．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
参考答案
1．A
【解析】分析：二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
详解：
∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A．
点睛：考查了二次函数与x轴的交点问题、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解，解题的关键是根据点（－2，0）在二次函数y=ax2+1的图象上得出a的值.
2．B
【解析】将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故选B．
3．C
【解析】分析：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，即为二次函数y＝ax2＋bx＋c，当y=0时，自变量x的值；
解：当y=0时，-0.01
4．C
【解析】分析：首先将其转化为一元二次方程，从而根据根的判别式得出方程的解，从而得出函数的交点个数．
详解：根据题意可得：x2+2x﹣m2+1=1，即=0， ∵△=4+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根， ∴两个函数的交点为两个， 故选C．
点睛：本题主要考查的是二次函数与直线的交点问题，属于中等难度题型．解题的关键是将函数转化为一元二次方程，根据根的判别式得出答案．
5．B
【解析】分析：根据表格得出代数式的值为0时x所处的范围即可得出答案．
详解：∵－0.02＜0＜0.03， ∴2.23＜x＜2.24， 故选B．
点睛：本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
6．D
【解析】把x=0代入y=2（x+1）2-2得y=2-2=0．
所以抛物线的顶点为（0，0），
故选：D．
7．C
【解析】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④正确．
故选C．
8．A
【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y= k有交点，
由图可得， k≤4，
∴k≥ 4，
∴k的最小值为 4.
故选A.
9．C
【解析】分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值，由2017÷5=403…2，可知点P（2018，m）在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P（2018，m）代入即可．
详解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，
即m=﹣6．
故选：C．
点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
10．B
【解析】分析：由二次函数的解析式得出图象的对称轴，由图象的对称性即可得出答案．
详解：∵二次函数y=x 5x+m的图象的对称轴为x= ,与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是(4,0)；
故选B.
点睛：本题考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴，利用抛物线图象的对称性进行解答即可.
11．(－3，0)，(2，0)
【解析】令y=0，2(x＋3)(x－2)=0，x=-3或2，所以抛物线与x轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0).
点睛：要求二次函数与x轴的交点坐标，令y=0，求出对应的x写出交点坐标即可；要求二次函数与y轴的交点坐标即令x=0，求出y写出交点坐标即可.
12．3
【解析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
, 即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案是：3．
13．-16
【解析】试题解析：当时，有
解得：
∴抛物线与x轴的两个交点分别为和
∵两个交点之间的距离为4，
∴
解得：
故答案为：
14．﹣3．
【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，
∴，解得b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴12+4m≥0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数图像与x轴的交点横坐标是一元二次方程的根.当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当△>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根.
15．
【解析】令y=0,则x2 x=0，解得x=0或2，
∴点A坐标(2,0)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴点P是抛物线顶点，
∴点P坐标(1, )，
∴S△OAP=×2×=.
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点, 二次函数图象上点的坐标特征，先求出点A坐标，再根据题意确定点P就是抛物线顶点，求出顶点P的坐标即可解决问题．
16．或或
【解析】分析：根据抛物线的解析式，分别求出A、B、C的坐标，表示出AB、BC、AC的长，然后分三种情况讨论即可．
详解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得：=0，∴，∴x1=，x2=－3，∴A（-3，0），B（，0）（a＜0），∴AC=，AB=，BC=．
∵△ABC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①AB=AC，∴=5，解得：a=；
②AC=BC，∴=5，解得：a=±（正数舍去），∴a=－；
③AB=BC，∴=，解得：a=．
综上所述：a的值为或或．
故答案为：或或．
点睛：本题考查了抛物线的性质．解题的关键是分类讨论．
17．抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【解析】分析：把（0，-3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
详解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
18．（1）抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；（2）S△ABC=3．
【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入二次函数中，求得的值，进而可得到抛物线的表达式；
（2）根据（1）中得到的抛物线的解析式，分别令求得点的坐标；
再利用三角形的面积公式列式计算，即可完成解答.
试题解析：（1）将代入，得
解得
故抛物线的表达式为
（2）∵抛物线的表达式为
当 时， 即就是
解得
当时，
19．（1）m=0时，该函数的零点为±（2）证明见解析
【解析】试题分析：(1)、求出当y=0时的方程的解，从而得出函数的零点；(2)、利用根的判别式得出判别式为非负数，即当y=0时方程有两个不相等的实数根，即函数总有两个零点．
试题解析：(1)、解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0， 解得x=±，
所以，m=0时，该函数的零点为±；
(2)、证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3）=4m2+8m+24=4（m+1）2+20，
∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0， ∴△=4（m+1）2+20＞0，
∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点．
20．（1）；（2），；（3），
【解析】分析：（1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式△=b2-4ac＞0列出关于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围求得k的整数解，然后将其代入关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0并整理，再根据配方法进行求解；
（3）先求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点，从而得到对称轴的解析式以及AB的长度，再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解．
详解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-；
（2）∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1；
（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC=（3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD=，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），
∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．
点睛：本综合考查了根的判别式，一元二次方程的解法以及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况，综合性较强，但难度不是很大，根据整数根求出k的值是解题的关键．
21．(1)证明见解析；（2）k≤1；（3）2.
【解析】试题分析：（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
试题解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)