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教学课件第十五章 分 式15.1.1 从分数到分式1.了解分式的概念.
2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．（重点）
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条
件．（难点）第十届田径运动会 新课导入①如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
②如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
③如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒.填空：
（1）乐乐同学参加百米赛跑： 新课导入（2）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ). （3）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为( ) 元.8a+b 新课导入 问题1 请将前面问题中得到的式子分分类： 单项式：
多项式： 既不是单项式也不是多项式：8a+b8a+b整
式新课讲解 问题2 观察式子： 它们有什么相同点和不同点？相同点不同点（观察分母）从形式上都具有分数 形式；前两个分母中不含字母，后三个分母中含有字母.分子A、分母B都是整式.新课讲解分式的定义：知识要点思考：
（1）分式与分数有何联系？分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.整数整数整式整式(分母含有字母）分数分式类比思想特殊到一般思想新课讲解整数分数整式分式有理数有理式数、式通性(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？数的扩充式的扩充新课讲解下列各式哪些是整式？哪些是分式？整式整式分式整式分式整式分式整式分式整式试一试：新课讲解1.判断时，注意含有 的式子， 是常数.2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如： .
.分式判断的注意事项：新课讲解问题 已知分式 ,则(1) 当 x=3 时，分式的值是多少?(2) 当x=-2时，你能求出分式的值吗?不能，当x=-2时，分式分母为0，没有意义. 当x 时，分式有意义.(3)当x为何值时，分式有意义？当 x=3 时，分式的值为 .从一般到特殊思想类比思想≠-2新课讲解对于分式 ，当_______时分式有意义；
当_______时分式无意义.B≠0B=0★分式有无意义的条件知识要点
已知分式 有意义，则x应满足的条件是
（ ）A.x≠1 B．x≠2
C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对【方法总结】分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.C例1新课讲解x≠y（1）当x 时，分式 有意义；（2）当x 时，分式 有意义；（3）当b 时，分式 有意义；（5）当x 时，分式 有意义.（4）当 时，分式 有意义；做一做：为任意实数新课讲解注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.新课讲解解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.解得 x ≠ -1.而 x+1≠0，解得 x = ±1，即 x2 - 1=0， 当x为何值时，分式 的值为零?新课讲解例2若分式 的值为零，则x＝ ．【解析】 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，即解得－3试一试：新课讲解1.下列代数式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.C3.当a＝1时，分式 的值是( )
A. B.1 C.0 D.－1A2.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A随堂即练解：(1)当 时，分式有意义.
(2)当x+5=0,即x=-5时，该分式的值为零.随堂即练5.分式 的值能等于0吗？说明理由． 解：不能.理由如下：
因为分式 值等于0的条件是x+3=0，即x=-3.
当x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.
故分式 的值不能等于0.随堂即练分式定义值为零的条件有意义的条件分式 有意义的条件是B ≠0分式 值为零的条件是A=0且B ≠0课堂总结课件28张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.1.2 分式的基本性质1.理解并掌握分式的基本性质．（重点）
2.理解最简分式和最简公分母的概念.（重点）
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.2.下面这些分数相等的依据是什么？ 1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学分得几个苹果？ 问题导入
【思考】下列两式成立吗？为什么？新课讲解分数的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.★分数的基本性质：新课讲解2.类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？【思考】1.你认为分式 与 ，分式 与 相等吗？（a、m、n均不为0）新课讲解 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.上述性质可以用式子表示为：其中A、B、C是整式.★分式的基本性质：知识要点 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化.例1新课讲解 不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的各项系数都化为整数.
⑴ ⑵ 解：例2新课讲解 【练习】不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴ ⑵ ⑶解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=新课讲解想一想：
联想分数的约分，你能想出如何对分式进行约分吗？（ ）（ ）与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.新课讲解根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．★约分的概念：注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.★最简分式的概念：知识要点分析 要约分先找出分子和分母的公因式.分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分.找公因式的方法:（1）找出系数的最大公约数.
（2）找出分子、分母相同因式的最低次幂.例3新课讲解解：（1）公因式是5abc.（1）公因式是(x+3).新课讲解★约分的基本步骤:（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数h和相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．注意：（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子与分母都除以同一个因式.知识要点问题1 通分： .12与8的最小公倍数：24.分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.通分的关键是确定几个分母的最小公倍数.新课讲解想一想：
观察问题2，联想分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？问题2 填空：根据分式的基本性质可得：新课讲解★分式通分的定义:★最简公分母: 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.知识要点最简公分母 通分： 解：（1）最简公分母是2a2b2c.例4新课讲解（2）最简公分母是(x+5)(x-5).不同的因式最简公分母1·(x-5)(x-5)1·(x+5)1(x+5)新课讲解 通分： 方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母． (x+y)(x-y)解：最简公分母是x(x+y)(x-y).x(x+y)例5新课讲解（1）因式分解；
（2）系数：各分式分母系数的最小公倍数；
（3）字母：各分母的所有字母的最高次幂；
（4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂；
（5）求积.★确定几个分式的最简公分母的方法：新课讲解想一想：
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？找分子与分母的
最大公约数找分子与分母的公因式找所有分母的
最小公倍数找所有分母的
最简公分母分数或分式的基本性质新课讲解2.下列各式中是最简分式的（ ）B1.下列各式成立的是（ ）A.B.C.D.D随堂练习解： 3.约分： 随堂练习4.通分：解：(1)最简公分母是2a2b2.(2)最简公分母是(x-y)2(x+y).随堂练习分式的
基本性质内容作用分式进行约分
和通分的依据注意分子、分母同时进行分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减分子、分母只能同乘或同除同一个整式除式是不等于零的整式进行分式运
算的基础课堂总结课件23张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.2.3 整数指数幂1.理解并掌握整数指数幂的运算性质.（重点）
2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.（重点）
3.理解负整数指数幂的性质并解决相关问题．（难点） 学习目标算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．?（2） = ； 同底数幂的乘法：（m，n是正整数）幂的乘方：（m，n是正整数）（3） = ； 积的乘方：（n是正整数）
复习导入（4） = ；同底数幂的除法：（a≠0，m，n是正整数且m>n ）（5） = ；商的乘方：（b≠0，n是正整数）（6） = ；0指数幂：复习导入想一想：
am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？新课讲解问题 计算：a3 ÷a5=? (a ≠0).如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=amn(a≠0,m、n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.于是得到：★负整数指数幂的意义：一般地，当n是正整数时，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.知识要点 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数，也就说前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.想一想：
对于am，当m=7，0，-7时，你能分别说出它们的意义吗？知识扩充 A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞aB方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【解析】例1新课讲解计算： 解：例2新课讲解提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式.新课讲解(1) 根据整数指数幂的运算性质，当m、n为整数时，
am ÷an=am-n，又am ·a-n=am-n，因此am ÷an=am ·a-n.即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.(2) 特别地，所以即商的乘方可以转化为积的乘方.总结归纳★整数指数幂的运算性质归结为： (1)am·an=am+n ( m、n是整数) ； (2)(am)n=amn ( m、n是整数) ； (3)(ab)n=anbn ( n是整数).新课讲解 计算： 分析 分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．解：原式例3新课讲解科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.例如，864000可以写成 . 怎样把0.000 086 4用科学记数法表示？8.64×105想一想：新课讲解因为所以， 0.000 086 4 =8.64 ×0.000 01=8.64 ×10-5.类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.新课讲解 算一算：
10－2= ___________; 10－4= ___________;
10－8= ___________.
议一议：
指数与运算结果的0的个数有什么关系？通过上面的探索，你发现了什么？一般地，10的-n次幂，在1前面有____个0.想一想：
10－21的小数点后有几位？1前面有几个0？0.010.00010.000 000 01 n新课讲解★用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法： 即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤ ∣a∣ <10. n等于原数第一个非零数字前所有0的个数（特别注意：包括小数点前面这个0）.知识要点 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3； (4)2.17×10－1.分析 小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.000 000 2.
(2)3.14×10－5＝0.000 031 4.
(3)7.08×10－3＝0.007 08.
(4)2.17×10－1＝0.217.例3新课讲解 纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.解：1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍.例4新课讲解1.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 05； （2）-0.000 003 2；
（3）0.000 0314.
随堂练习2.比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；
（2）3.01×10－4________3.10×10－4.<<3.计算：
(1)(x3y－2)2； (2)x2y－2·(x－2y)3；
解：(1)原式＝x6y－4(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y(3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2；(4)（2×10－6）×（3.2×103）.(3)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3(4)原式=6.4×10－3.随堂练习整数指数
幂运算整数
指数幂零指数幂：当a≠0时，a0=1负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=整数指数幂的运算性质：
（1）am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）（ab）m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）（am）n=amn（m、n为整数，a≠0）用科学记数法表示绝对值小于1的数表示为a×10-n的形式，1≤│a│ <10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面那个0）课堂总结课件30张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式复习课分式1.分式的概念2.分式有意义的条件对于分式 ：当_______时分式有意义；
当_______时无意义.B≠0B=0 知识梳理3.分式值为零的条件A=0且 B≠04.分式的基本性质 知识梳理5.分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 知识梳理约分的基本步骤：(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 知识梳理6.分式的通分分式的通分的定义：根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.最简公分母：为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 知识梳理1.分式的乘除法则2.分式的乘方法则 知识梳理3.分式的加减法则(1)同分母分式的加减法则：(2)异分母分式的加减法则：4.分式的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式． 知识梳理分式方程1.分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. 知识梳理3.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审:审清题意，并设未知数；
(2)找:找出相等关系；
(3)列:列出方程；
(4)解:解这个分式方程；
(5)验:验根（包括两方面 :?是否是分式方程的根；?是否符合题意）；
(6)答:作答. 知识梳理【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.1 专题讲练方法技巧：分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.例12-3 专题讲练B【解析】根据分式的基本性质，例2 专题讲练C 专题讲练方法技巧：对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.例3 专题讲练练习4：有一道题：“先化简，再求值: ,其中 ”.小玲做题时把 错抄成 ,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?
解:结果与x的符号无关. 专题讲练例4 专题讲练方法技巧：利用x和 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．解： 专题讲练 所以 专题讲练 解下列分式方程：???????
解：(1)去分母,得x+1+x﹣1=0，解得x=0.
经检验, x=0是分式方程的解.
(2)去分母,得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3.
经检验, x=﹣3是分式方程的解．方法技巧：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．例5 专题讲练解：去分母，得（x﹣2）2 ﹣(x+2)(x﹣2)=16.
整理,得﹣4x+8=16.
解得 x=﹣2.
经检验,x=﹣2是增根，故原分式方程无解．练习6：解方程 专题讲练 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．例6 专题讲练(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意,得经检验, x＝120是原方程的解，且符合题意.
120×2.5＝300(千米/时)．故高铁的平均速度是300千米/时．解得x＝120.解：(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．
故普通列车的行驶路程是520千米； 专题讲练D 专题讲练练习8：某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 专题讲练本章数学思想和解题方法例7 专题讲练★主元法：
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值，这种方法即是主元法.此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元，那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用. 专题讲练注意：本题还可以由已知条件设x=2m,y=3m. 专题讲练分式分式分式的定义、分式有意义的条件分式方程分式方程的应用步骤一审、二设、三列、四解、五检、六写，尤其不要忘了验根类型行程问题、工程问题、销售问题等分式的运算及化简求值分式方程的定义分式方程的解法课堂总结课件25张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法1.理解分式方程的概念.
1.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点）
2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点） 学习目标一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.江水的流速为多少？
设江水的流速为v千米/时，根据题意可列出怎样的方程？这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 情境导入此方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.新课讲解观察前面所列方程：
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．整式方程整式方程整式方程分式方程分式方程分式方程新课讲解你能试着解这个分式方程吗？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的是去分母.（1）如何把它转化为整式方程呢？新课讲解方程各分母的最简公分母是：（30+x）(30-x)解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此x=6是原分式方程的解.90（30-x)=60(30+x)，解得 x=6.x=6是原分式方程的解吗？新课讲解★解分式方程的基本思路：
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.方法归纳下面我们再讨论一个分式方程：解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得x=5.x=5是原分式方程的解吗？新课讲解新课讲解真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程:新课讲解真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.新课讲解 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．★分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.新课讲解1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.简记为：“一化、二解、三检验”.“去分母法”解分式方程的步骤：知识要点 解方程解： 方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.解得 x=9.检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.所以，原分式方程的解为x=9.例1新课讲解 解方程解：方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得 x=1.检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.例2新课讲解★解分式方程的一般步骤：否是新课讲解关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_______ _____．【解析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴
－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.a＜－1且a≠－2例3新课讲解若关于x的分式方程 无解，求m 的值．解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，
解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.例4新课讲解★分式方程无解：
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．新课讲解D2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同
乘（ ）A.2x-4 B.3x
C.3 (2x-4) D.3x (2x-4)1.下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
A. B.
C. D.D随堂练习3. 解方程：解：(1)去分母，得解得检验：把 代入所以原方程的解为随堂练习(2)去分母，得解得检验：把 代入所以原方程的解为(3)去分母，得解得检验：把 代入所以 是原方程的解；把 代入所以 是原方程的增根.故原方程的解为 .随堂练习分式
方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程注意(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．步骤一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（解整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验课堂总结课件22张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.2.1 分式的乘除第1课时 分式的乘除1.掌握分式的乘除运算法则，并能正确进行计算.（重点）
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．（难点）
3.能运用分式的乘除法解决实际问题.问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水深多少?长方体容器的高为 ,水深为 问题导入问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
问题导入想一想：
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？填空：新课讲解★分式乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. ★分式除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 上述法则用式子表示为：新课讲解 计算:解：例1新课讲解解：（1）原式（2）原式【练习】计算：（2）（1）新课讲解 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：
(1)符号运算；
(2)按分式的乘法法则运算．
分子和分母都是单项式的分式的除法，先将除法转化成乘法，再计算.★分子、分母都是单项式的乘除法运算方法：要点归纳 计算：解：例2新课讲解【练习】计算：解：新课讲解1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)★分式乘除法的解题步骤:新课讲解当x=1999,y=-2000时,原式 若x=1999,y=-2000,,你能求出分式 的值吗？解：例3新课讲解 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克.
（1）哪种小麦的单位面
积产量高？
（2）高的单位面积产量
是低的单位面积产量的
多少倍？1mam（a-1）m例4新课讲解am1m（a-1）m解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a 2-1）m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是（a－1）2m2，单位面积产量是 kg/m2. 新课讲解 （2） 所以 “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.∵a>1, 0＜（a－1）2, a 2-1>0，由图可得（a－1）2＜
a 2-1.∴ ∴“丰收2号”小麦的单位面
积产量高.新课讲解【练习】一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流的速度是每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km（x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为（x-2）km/h，由题意得新课讲解1.计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.C2.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？对不对不对不对随堂练习解：（1）原式3.计算：（2）原式随堂练习4.先化简，再求值： ，其中x+y=3.解：当x+y=3时，原式随堂练习分式乘
除运算乘除法运算注意分子、分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算分子、分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行运用运算法则时要注意符号的变化课堂总结课件23张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.掌握分式的加减运算法则并能正确计算.（重点）
2.能够正确进行异分母的分式加减法运算．（难点）
3.运用分式的加减法解决实际问题.问题1 甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多
用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的
几分之几？甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ，两队共同工作一天完成这项工程的 .问题导入问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积分别是，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？2011年的森林面积增长率是 ，2010年的森林面积增长率是 ，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 .问题导入观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减?新课讲解★同分母分式的加减法则:同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.上述法则可用式子表示为知识要点解：原式=== 注意：结果要化为最简分式！= 计算： 例1新课讲解解：原式====新课讲解【练习】计算：解：新课讲解问题：异分母分数相加减通分同分母分数相加减新课讲解异分母分式相加减分式的通分同分母分式相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 类比异分母分数从加减法，异分母的分式应该如何加减?计算：新课讲解★异分母分式的加减法则：异分母分式相加减，先通分，变同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表示为知识要点解：原式=先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减. 计算：例2新课讲解解：原式===分母是多项式
先分解因式.先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
=新课讲解 计算：（方法一）
解：原式=（方法二)
解：原式例3新课讲解【练习】阅读下面题目的计算过程.
①
= ②
= ③
= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；
（2）错误原因___________；
（3）本题的正确结果为： . ②漏掉了分母新课讲解 先化简，再求值： 其中m=1.解：原式当m=1时，原式例4新课讲解【练习】先化简，再求值 ： , 其中 ．新课讲解 A. B． C.－1 D．21. 计算的正确结果为（ ) C随堂练习3.计算:解：(1)原式=(2)原式=随堂练习4.先化简，再求值： ，其中x＝2018.解：(1)原式=随堂练习分式加
减运算加减法运算注意减式的分式是多项式时，在进行运算时要适时添加括号异分母分式相加减，转化为同分母分式的加减运算整式和分式之间进行加减运算时，则要把整式看成分母是1的分式，以便通分异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母课堂总结课件23张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.3 分式方程第2课时 分式方程的应用1.理解题中数量关系，正确列出分式方程.（重点）
2.能根据不同的实际问题设未知数，列分式方程解决
实际问题.（难点） 学习目标1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？分式方程整式方程 转化
去分母一化二解三检验有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 复习导入4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？基本上有4种：（1）行程问题：路程=速度×时间（2）数字问题：十进制数的表示法（3）工程问题：工作量=工时×工效（4）利润问题：批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价 复习导入 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析如下：等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要x天.新课讲解例1方程两边都乘6x,得解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.新课讲解想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .此时方程是：1新课讲解★工程问题：1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率、工作时间、工作量；2指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲、乙两队工作效率的和”；知识要点【练习】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
分析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．新课讲解解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时,由题意，得
.
解得 x＝6.
经检验，x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.故甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．新课讲解 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？ 0180200例2新课讲解200180x+10x分析：设小轿车的速度为x千米/小时. 面包车的时间=小轿车的时间 等量关系： 列表格如下：新课讲解解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意，得 解得 x＝90.经检验，x＝90是原方程的解，
且x=90，x+10=100，符合题意.故面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.新课讲解 【练习】小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0180200300新课讲解解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意，得 解得 x＝30.经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意.故小轿车提速为30千米/小时.新课讲解★列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:审清题意，并设未知数；
2.找:找出相等关系；
3.列:列出方程；
4.解:解这个分式方程；
5.验:验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
6.答:写出答案.新课讲解 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？例3新课讲解解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意，得
解得 x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．故第一次水果的进价为每千克6元．(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝-12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．新课讲解随堂练习1.某服装加工厂加工校服960套的订单，原计划每天
做48套．正好按时完成．后因学校要求提前5天交货，
为按时完成订单，设每天就多做x套，则x应满足的方
程为（ ） A. B.
C. D.D2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意,得解得 x=±18.经检验，x=18是原方程的解，且符合题意.故船在静水中的速度为18千米/小时.方程两边同乘（x-2)(x+2),得80x+160 －80x+160=x2 －4.随堂练习3. 为弘扬“敬老爱老”传统美德，某校八年级（1）班的学生要去距离学校10km的敬老院看望老人，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果乘汽车的同学早到10min．已知汽车的速度是骑车学生的4倍，求骑车学生的速度．解：设骑车学生的速度为x千米/时，依题意，得解得x=15.经检验，x=15是原方程的根，且符合题意.故骑车学生的速度是15千米/时.随堂练习分式方程的应用类型行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等方法步骤一审、二设、三找、四列、五解、六验、七写321法课堂总结课件21张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.2.1 分式的乘除第2课时 分式的乘方1.掌握分式乘除混合运算的法则，并能正确计算.（重点）
2.理解分式乘方的意义及运算法则，并能正确地进行分式的乘方运算.（难点）
2.运用分式的乘除和乘方的运算解决实际问题．1.如何进行分式的乘除法运算？分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 2.你能说说乘方的意义吗？an= (n为正整数)a·a ·a · · · · ··a 复习导入 计算： 分析 先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．解：新课讲解例1★分式乘除混合运算的一般步骤：（1）先把除法统一成乘法运算；（2）分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；（3）确定分式的符号，然后约分；（4）结果应是最简分式.知识要点 【议一议】马小虎学习了分式的混合运算后，做了一道混合运算题： ，李老师想请你帮他批改一下.请问下面的运算过程对吗？解：新课讲解解：不对，正确的解法如下：新课讲解根据乘方的意义计算下列各式：新课讲解类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？新课讲解想一想：一般地，当n是正整数时，这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.新课讲解★分式的乘方法则：▼理解要点：要点归纳想一想：
到目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？(1) am·an ＝am+n ；
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n＝anbn；新课讲解 计算：分析 先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，最后进行约分化简．例2新课讲解解：新课讲解解：新课讲解 化简求值： 其中
解：原式=当 时，原式=例3新课讲解1.计算 的结果是 （ ）A. B. C. D. A2.计算：解：原式原式随堂练习3.计算：解：原式随堂练习4.先化简，再求值： ,其中x=3. 解：原式当x=3时，原式= 随堂练习分式的乘方分式乘除
混合运算混合运算先算乘方，再算乘除统一为乘法运算乘方法则课堂总结课件19张PPT。RJ八(上)
教学课件第十五章 分 式15.2.2 分式的加减第2课时 分式的混合运算1. 明确分式混合运算的顺序.（重点）
2.熟练地进行分式的混合运算．（难点）
3.利用分式的混合运算解决实际问题.★分式的运算法则： 复习导入 请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成. 新课讲解先乘方，再乘除，最后加减.新课讲解★分式的混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．要点归纳 计算： 解：原式当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”.例1新课讲解解：原式注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体.新课讲解【练习】新课讲解解：原式方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度. 计算： 例2新课讲解 计算：解：原式例3新课讲解 繁分式的化简：解：(方法一)把繁分式写成分子除以分母的形式，利用除法法则化简.原式拓展提升例5利用分式的基本性质化简.(方法二)原式新课讲解 ★分式的混合运算：
（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减；
（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算. ★混合运算的特点：
混合运算是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.总结归纳1. 计算 的结果是（ ）A. 2. 化简 的结果是 .3. 化简 的结果是 .C随堂练习4.计算：解：（1）原式 （2）原式随堂练习5. 先化简，再求值： ，其中a=1,b=3.解：原式=当a=1，b=3时，原式= .随堂练习分式混合运算混合运算应用关键是明确运算种类及运算顺序明确运
算顺序1.同级运算自左向右进行；
2.运算律可简化运算运算方法及运算技巧课堂总结
