21.4 二次函数的应用（2）同步作业
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21.4 二次函数的应用（2）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
2．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A. 2.76米 B. 6.76米 C. 6米 D. 7米
3．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A. 6 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s
5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2．5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为 ( )
A. 1.5 m B. 1.625 m C. 1.66 m D. 1.67 m
6．如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A. 18秒 B. 36秒 C. 38秒 D. 46秒
7．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
8．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A. B. 13 C. D.
二、填空题
9．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为_____米．
10．农贸市场拟建两间长方形储藏室,储藏室的一面靠墙(墙长30m),中间用一面墙隔开,如图所示,已知建筑材料可建墙的长度为42m,则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_______m2.
11．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y= EMBED Equation.DSMT4 ，一辆车高3m， 宽4m， 该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
12．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为__________________；当BE =______m时，绿地AEFG的面积最大.
13．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则能建成的饲养室面积最大为 m2．
14．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
15．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过 ______m.
16．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
三、解答题
17．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
18．如图所示， 有一建筑工地从10m 高的窗A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M 离墙1m，离地面m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB.
19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
20．如图，一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球水平运行4 m时达到离地面的最大高度4 m．设篮球运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈距地面3 m，在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．(注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)
(1)问：此球能否投中？
(2)此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19 m，则他如何做才能成功？
21．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上．
（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）．
（3）问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于9.5，若不等于9.5，请说明理由，若等于9.5，求出吗的值？
22．如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？
参考答案
1．B
【解析】试题解析：设抛物线的解析式为 由题意，得
∴抛物线的解析式为：
当y=0时，
解得： (舍去)，
OB=3m.
故选B.
2．B
【解析】试题解析：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得﹣4=a×102 a=﹣
故此抛物线的解析式为y=﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x=9时
可得y=-=﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选B．
3．B
【解析】根据题意，由AC⊥x轴，OA=10米，可知点C的横坐标为-10，然后把x=-10代入函数的解析式=-，即C点为（-10，-），因此可知桥面离水面的高度AC为m.
故选：B.
点睛：此题主要考查了二次函数的性质，关键是根据函数的图像确定C点的横坐标，然后根据解析式求出点C的坐标即可解决问题.
4．A
【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t 5t2得：5t2 30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
5．B
【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=- x2+ x+ ,∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.故选B.
点睛：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
6．B
【解析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称.则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒.
∴从O到D需要10＋8＝18秒.
∴从O到C需要2×18＝36秒.
7．D
【解析】分析：在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
详解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点是（1，4），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；
解方程-x2+2x+3=0，
得x1=-1，x2=3，
故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．
故选：C．
点睛：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
8．C
【解析】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=-=≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
9．0.2
【解析】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为﹣0.4，
∴当x=﹣0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36﹣0.16=0.2米
故答案为0.2．
点睛：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
10．
【解析】分析：设中间隔开的墙EF的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm ,根据题意可知AD的长度等于BC的长度，列出式子AD-2+3X=28,得出用x的代数式表示AD的长，再根据矩形的面积=AD·AB得出S关于x的解析式，再利用二次函数的性质即可求解.
详解：设中间隔开的墙EF的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm ,根据题意得AD+3x=42,解得AD=42-3x,则S=x(42-3x)= -3x +42x=-3(x-7) +147,故这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为：147m ,故答案为：147.
点睛：本题考查了二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定的难度，解答本题的关键是得到建成的储藏室的总占地面积的解析式.
11．不能
【解析】试题解析: 根据题意，当函数值等于3时，3=—，可以解得到， ， ｜｜=2<4m，故车不能通过.
故答案为：不能.
12． 2
【解析】由题意可知：AE=AB-BE=8-x，DG=2BE=2x，所以AG=AD+DG=8+2x，
∴y=AE·AG=（8-x）(8+2x)=-2x2+8x+64(0y= -2x2+8x+64=-2（x-2）2+72，∴当x=2时，y有最大值，
故答案为：y =-2x2+8x+64(013．75
【解析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为28+2-3x=30-3x， 则总面积S=x（30-3x）=-3x2+30x=-3（x-5）2+75， 所以饲养室的最大面积为75平方米，
点睛：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
14．
【解析】当y=0时，即-x2+4x+=0，
解得x1=，x2=-（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
故答案是： ．
15．1.2
【解析】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-，即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
16．
【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，
20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，
-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入得，
解之得
，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，
整理得
h2+20h-10=0,
解之得
, （舍去）.
∴向后退了m
点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F的坐标.把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm，表示出平移后的解析式，把点F的坐标代入可求出k的值.
17．（2﹣4）米
【解析】试题分析：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，抛物线以y轴为对称轴，由题意得OC=2即抛物线顶点C坐标为（0，2），所以将抛物线解析式设为顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（－2，0）到抛物线解析式得出，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=－1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=－1与抛物线相交的两点之间的距离，将y=－1代入抛物线解析式即可求出，最后求出增加的宽度即可.
试题解析：
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
∵OC=2，
∴顶点C坐标为（0，2），
∴设抛物线解析式为y=ax2+2，
将 A点坐标（－2，0）代入解析式，得：a=－0.5，
∴抛物线解析式为：y=－0.5x2+2，
令y=－1，－1=－0.5x2+2，
解得：x=±，
∴水面宽度增加到2米，
比原先的宽度当然是增加了（2－4）米．
点睛：掌握二次函数的应用，此类问题先建立直角坐标系，解出二次函数解析式，再根据对应的问题进行求解.
18．（1）；（2）3m
【解析】试题分析：（1）建立坐标系，由题意得，顶点M坐标为（1， ），A（0，10），设抛物线解析式为顶点式，再将A的坐标代入求出未知参数即可；（2）令y=0，解出x，小于0的舍去.
试题解析：
解：（1）可建立如图所示坐标系，
设抛物线的解析式为y=a（x－1）2+，
将A（0，10）代入得a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x－1）2+．
(2)当y=0时，
解得：x1=－1（舍去），x2=3．
∴OB=3m.
点睛：实际应用问题中，负值要舍去.
19．（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【解析】分析：（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
详解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．(1) 能投中;(2) 防守方球员乙应在球员甲身前，且距离甲1.3 m以内盖帽才能成功．
【解析】试题分析：①先求出篮球运动抛物线的解析式，把坐标（7，3）代入判断是否满足，则即可确定篮球是否能准确投中；
②将由y=3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．
试题解析：
(1)以篮球所在竖直方向的直线与地面的交点O为原点，脚与篮圈底所在直线为x轴，篮球所在竖直方向的直线为y轴建立直角坐标系．由题意可知抛物线经过点，顶点是(4，4)，篮圈中心的坐标是(7，3)，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－4)2＋4(a≠0)．
把点的坐标代入函数表达式，
得a(0－4)2＋4＝，∴a＝－.
∴篮球运行的抛物线的函数表达式为y＝－ (x－4)2＋4.
当x＝7时，y＝－×(7－4)2＋4＝3，
即抛物线过篮圈中心，∴此球能投中．
(2)当y＝3.19时，－ (x－4)2＋4＝3.19，
解得x1＝1.3，x2＝6.7.
∵盖帽应在球达到最高点前进行(即x<4)，
∴x＝1.3.
∴防守方球员乙应在球员甲身前，且距离甲1.3 m以内盖帽才能成功．
21．（1）y=﹣x2+4x；（2）L=﹣2m2+4m+8；（3）能等于9.5，此时m1=，m2=．
【解析】试题分析: （1）根据MN=4，抛物线顶点到MN的距离是4dm，得到N（4，0），P（2，4），即可求得函数的解析式；
（2）把BC，DC用m表示出来，代入L=2（BC+DC）即可；
（3）把L=9.5代入L=﹣2m2+4m+8，解方程即可．
试题解析:
解：（1）∵MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，
∴N（4，0），顶点P（2，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+4，
把N（4，0）代入得：0=a（4﹣2）2+4，
解得：a=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+4，
即：抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（m，0），
∴BC=4﹣2m，DC═﹣m2+4m，
∴L=2（BC+DC）=﹣2m2+4m+8；
（3）能等于9.5，
当L=﹣2m2+4m+8=9.5，
即2m2﹣4m+1.5=0，
解得：m1=，m2=．
点睛: 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数于一元二次方程的关系，解题的关键是将实际问题转化成数学问题．
22．（1）；（2）不能并列通过两艘游轮；（3）12
【解析】（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则A、B、F的坐标分别为（-50，0），（50，0），（0，20），设抛物线的解析式为y=ax2+20，将B的坐标代入求出a即可.
（2）求出x=30时的函数值，即可判断函数值大于等于16可以通过，小于16不能通过.
（3）求出x=±30、±20、±40的函数值，即可判断.
解：（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
则A、B、F的坐标分别是（-50， 0），（50， 0），（0，20）．
设抛物线的解析式为y=ax2+20，
将B的坐标代入得 ： .
∴ 抛物线的表达式是y=+20．
（2）把x=28+2=30代入解析式， ，
∵12.8＜16 ∴ 不能并列通过两艘游轮.
（3）由（2）得，当x=±30时，y=12.8，
又∵当x=±20时， ＞13，
∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱.
∵当x=±40时， ，
∴没在水面下的立柱总长为2×[(13-7.2)+(13-12.8)]=12 米.
“点睛”本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
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21.4 二次函数的应用（2）同步作业
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
2．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A. 2.76米 B. 6.76米 C. 6米 D. 7米
3．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A. 6 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s
5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2．5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为 ( )
A. 1.5 m B. 1.625 m C. 1.66 m D. 1.67 m
6．如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A. 18秒 B. 36秒 C. 38秒 D. 46秒
7．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
8．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A. B. 13 C. D.
二、填空题
9．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为_____米．
10．农贸市场拟建两间长方形储藏室,储藏室的一面靠墙(墙长30m),中间用一面墙隔开,如图所示,已知建筑材料可建墙的长度为42m,则这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为_______m2.
11．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y= EMBED Equation.DSMT4 ，一辆车高3m， 宽4m， 该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
12．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为__________________；当BE =______m时，绿地AEFG的面积最大.
13．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则能建成的饲养室面积最大为 m2．
14．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
15．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过 ______m.
16．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
三、解答题
17．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
18．如图所示， 有一建筑工地从10m 高的窗A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M 离墙1m，离地面m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB.
19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
20．如图，一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球水平运行4 m时达到离地面的最大高度4 m．设篮球运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈距地面3 m，在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．(注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)
(1)问：此球能否投中？
(2)此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19 m，则他如何做才能成功？
21．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上．
（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）．
（3）问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于9.5，若不等于9.5，请说明理由，若等于9.5，求出吗的值？
22．如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？
参考答案
1．B
【解析】试题解析：设抛物线的解析式为 由题意，得
∴抛物线的解析式为：
当y=0时，
解得： (舍去)，
OB=3m.
故选B.
2．B
【解析】试题解析：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得﹣4=a×102 a=﹣
故此抛物线的解析式为y=﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x=9时
可得y=-=﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选B．
3．B
【解析】根据题意，由AC⊥x轴，OA=10米，可知点C的横坐标为-10，然后把x=-10代入函数的解析式=-，即C点为（-10，-），因此可知桥面离水面的高度AC为m.
故选：B.
点睛：此题主要考查了二次函数的性质，关键是根据函数的图像确定C点的横坐标，然后根据解析式求出点C的坐标即可解决问题.
4．A
【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t 5t2得：5t2 30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
5．B
【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=- x2+ x+ ,∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.故选B.
点睛：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
6．B
【解析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称.则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒.
∴从O到D需要10＋8＝18秒.
∴从O到C需要2×18＝36秒.
7．D
【解析】分析：在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
详解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点是（1，4），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；
解方程-x2+2x+3=0，
得x1=-1，x2=3，
故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．
故选：C．
点睛：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
8．C
【解析】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=-=≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
9．0.2
【解析】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为﹣0.4，
∴当x=﹣0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36﹣0.16=0.2米
故答案为0.2．
点睛：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
10．
【解析】分析：设中间隔开的墙EF的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm ,根据题意可知AD的长度等于BC的长度，列出式子AD-2+3X=28,得出用x的代数式表示AD的长，再根据矩形的面积=AD·AB得出S关于x的解析式，再利用二次函数的性质即可求解.
详解：设中间隔开的墙EF的长为xm,建成的储藏室总占地面积为sm ,根据题意得AD+3x=42,解得AD=42-3x,则S=x(42-3x)= -3x +42x=-3(x-7) +147,故这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为：147m ,故答案为：147.
点睛：本题考查了二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定的难度，解答本题的关键是得到建成的储藏室的总占地面积的解析式.
11．不能
【解析】试题解析: 根据题意，当函数值等于3时，3=—，可以解得到， ， ｜｜=2<4m，故车不能通过.
故答案为：不能.
12． 2
【解析】由题意可知：AE=AB-BE=8-x，DG=2BE=2x，所以AG=AD+DG=8+2x，
∴y=AE·AG=（8-x）(8+2x)=-2x2+8x+64(0
故答案为：y =-2x2+8x+64(0
【解析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为28+2-3x=30-3x， 则总面积S=x（30-3x）=-3x2+30x=-3（x-5）2+75， 所以饲养室的最大面积为75平方米，
点睛：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
14．
【解析】当y=0时，即-x2+4x+=0，
解得x1=，x2=-（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
故答案是： ．
15．1.2
【解析】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-，即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
16．
【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，
20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，
-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入得，
解之得
，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，
整理得
h2+20h-10=0,
解之得
, （舍去）.
∴向后退了m
点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F的坐标.把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm，表示出平移后的解析式，把点F的坐标代入可求出k的值.
17．（2﹣4）米
【解析】试题分析：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，抛物线以y轴为对称轴，由题意得OC=2即抛物线顶点C坐标为（0，2），所以将抛物线解析式设为顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（－2，0）到抛物线解析式得出，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=－1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=－1与抛物线相交的两点之间的距离，将y=－1代入抛物线解析式即可求出，最后求出增加的宽度即可.
试题解析：
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
∵OC=2，
∴顶点C坐标为（0，2），
∴设抛物线解析式为y=ax2+2，
将 A点坐标（－2，0）代入解析式，得：a=－0.5，
∴抛物线解析式为：y=－0.5x2+2，
令y=－1，－1=－0.5x2+2，
解得：x=±，
∴水面宽度增加到2米，
比原先的宽度当然是增加了（2－4）米．
点睛：掌握二次函数的应用，此类问题先建立直角坐标系，解出二次函数解析式，再根据对应的问题进行求解.
18．（1）；（2）3m
【解析】试题分析：（1）建立坐标系，由题意得，顶点M坐标为（1， ），A（0，10），设抛物线解析式为顶点式，再将A的坐标代入求出未知参数即可；（2）令y=0，解出x，小于0的舍去.
试题解析：
解：（1）可建立如图所示坐标系，
设抛物线的解析式为y=a（x－1）2+，
将A（0，10）代入得a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x－1）2+．
(2)当y=0时，
解得：x1=－1（舍去），x2=3．
∴OB=3m.
点睛：实际应用问题中，负值要舍去.
19．（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【解析】分析：（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
详解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．(1) 能投中;(2) 防守方球员乙应在球员甲身前，且距离甲1.3 m以内盖帽才能成功．
【解析】试题分析：①先求出篮球运动抛物线的解析式，把坐标（7，3）代入判断是否满足，则即可确定篮球是否能准确投中；
②将由y=3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．
试题解析：
(1)以篮球所在竖直方向的直线与地面的交点O为原点，脚与篮圈底所在直线为x轴，篮球所在竖直方向的直线为y轴建立直角坐标系．由题意可知抛物线经过点，顶点是(4，4)，篮圈中心的坐标是(7，3)，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－4)2＋4(a≠0)．
把点的坐标代入函数表达式，
得a(0－4)2＋4＝，∴a＝－.
∴篮球运行的抛物线的函数表达式为y＝－ (x－4)2＋4.
当x＝7时，y＝－×(7－4)2＋4＝3，
即抛物线过篮圈中心，∴此球能投中．
(2)当y＝3.19时，－ (x－4)2＋4＝3.19，
解得x1＝1.3，x2＝6.7.
∵盖帽应在球达到最高点前进行(即x<4)，
∴x＝1.3.
∴防守方球员乙应在球员甲身前，且距离甲1.3 m以内盖帽才能成功．
21．（1）y=﹣x2+4x；（2）L=﹣2m2+4m+8；（3）能等于9.5，此时m1=，m2=．
【解析】试题分析: （1）根据MN=4，抛物线顶点到MN的距离是4dm，得到N（4，0），P（2，4），即可求得函数的解析式；
（2）把BC，DC用m表示出来，代入L=2（BC+DC）即可；
（3）把L=9.5代入L=﹣2m2+4m+8，解方程即可．
试题解析:
解：（1）∵MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，
∴N（4，0），顶点P（2，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+4，
把N（4，0）代入得：0=a（4﹣2）2+4，
解得：a=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+4，
即：抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（m，0），
∴BC=4﹣2m，DC═﹣m2+4m，
∴L=2（BC+DC）=﹣2m2+4m+8；
（3）能等于9.5，
当L=﹣2m2+4m+8=9.5，
即2m2﹣4m+1.5=0，
解得：m1=，m2=．
点睛: 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数于一元二次方程的关系，解题的关键是将实际问题转化成数学问题．
22．（1）；（2）不能并列通过两艘游轮；（3）12
【解析】（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则A、B、F的坐标分别为（-50，0），（50，0），（0，20），设抛物线的解析式为y=ax2+20，将B的坐标代入求出a即可.
（2）求出x=30时的函数值，即可判断函数值大于等于16可以通过，小于16不能通过.
（3）求出x=±30、±20、±40的函数值，即可判断.
解：（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
则A、B、F的坐标分别是（-50， 0），（50， 0），（0，20）．
设抛物线的解析式为y=ax2+20，
将B的坐标代入得 ： .
∴ 抛物线的表达式是y=+20．
（2）把x=28+2=30代入解析式， ，
∵12.8＜16 ∴ 不能并列通过两艘游轮.
（3）由（2）得，当x=±30时，y=12.8，
又∵当x=±20时， ＞13，
∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱.
∵当x=±40时， ，
∴没在水面下的立柱总长为2×[(13-7.2)+(13-12.8)]=12 米.
“点睛”本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
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