第21章 二次函数与反比例函数单元检测A卷
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| 名称 | 第21章 二次函数与反比例函数单元检测A卷 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 622.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-06-27 11:16:16 | ||
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文档简介
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第21章 二次函数与反比例函数单元检测A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
一 、选择题（本大题共12小题）
下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
函数是反比例函数，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．0或1
已知函数y=与y=k2x的图象交点是（-2，5），则它们的另一个交点是（ ）
A．（2，-5） B．（5，-2） C．（-2，-5） D．（2，5）
关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 图像与 轴的交点坐标为
B. 图像的对称轴在 轴的右侧
C. 当 时， 的值随 值的增大而减小
D. 的最小值为-3
二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A． （﹣1，﹣2） B． （﹣1，2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． m＜0 B． m＞0 C． m＜﹣1 D． m＞﹣1
函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
二次函数y=﹣x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
已知函数y=﹣x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞1 D．﹣2＜x＜1
将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
二 、填空题（本大题共5小题）
如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象没有公共点，则b的取值范围是 ．
若点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m n（填“＞”、“＜”或“=”号）
抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．
如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= ．
某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为 元．
三 、解答题（本大题共9小题）
给定抛物线：．
（1）试写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出抛物线的图象．
抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
已知抛物线y=x2﹣4x+c，经过点（0，9）．
（1）求c的值；
（2）若点A（3，y1）、B（4，y2）在该抛物线上，试比较y1、y2的大小．
如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．
已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A．0 B．1 C．2 D．1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
如图，A．B是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）；
（3）设D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b﹣＜0，求x的取值范围．
某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
答案解析
一 、选择题
【考点】 二次函数的定义．
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
解：①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；
②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故选C．
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据y=kx﹣1（k是不等于零的常数），是反比例函数，可得答案．
解：由是反比例函数，得
m2+m﹣1=﹣1且m+1≠=0，
解得m=0，
故选：A．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：已知函数y=与y=k2x的图象的一个交点是（-2，5），
根据反比例函数与过原点的直线的两个交点关于原点对称，
则它们的另一个交点是（2，-5）．
故选A．
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。
解：A．当x=0时，y=-1，图像与 轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、 对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、 当x＜-1时y的值随 值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
【考点】 二次函数的性质．
【分析】 已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：因为y=（x﹣1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选C．
点评： 本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比较容易．
【考点】 反比例函数的性质．
【分析】 如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴m+1＞0，解得m＞﹣1．
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．
解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，
∵k≠0，
∴﹣k2＜0，
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．
A．一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．
故选C．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】分析解析式与方程可知：x=1时可得到b+c的形式，再根据x=1时y的值进行求解．
解：∵当x=1时，
∴y=﹣x2+bx+c
=﹣1+b+c
即b+c=y+1，
又∵b+c=0，
∴x=1时y=﹣1，
故它的图象一定过点（1，﹣1）．
故选：B．
【点评】解决此题的关键是根据b+c=0的形式巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围．
解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜．
故选B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】先求出函数的图象与x轴的交点坐标，再根据函数的图象开口向下，即可得出当y＜0时自变量x的取值范围．
解：当y=0时，﹣x2+x+2=0，
（x+1）（﹣x+2）=0，
x1=﹣1，x2=2，
由于函数开口向下，
可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．
故选A
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选D．
二 、填空题
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据双曲线的性质、结合图象解答即可．
解：如图，
∵直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公点，双曲线是中心对称图形，
∴直线y=﹣x﹣2与反比例函数y=的图象有唯一公点，
∴﹣2＜b＜2时，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象没有公共点，
故答案为：﹣2＜b＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握双曲线是中心对称图形是解题的关键．
【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特得到1 m=﹣2，2 n=﹣2，然后分别解方程求出m和n的值，再比较大小即可．
解：∵点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴1 m=﹣2，2 n=﹣2，
∴m=﹣2，n=﹣1，
∴m＜n．
故答案为＜．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2+4=x2﹣8x+20，
故答案为：y=x2﹣8x+20．
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．
解：∵点P（6，3），
∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数y=得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，
即AM=，NB=，
∵S四边形OAPB=12，
即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，
6×3﹣×6×﹣×3×=12，
解得：k=6．
故答案为：6．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意分别表示出每件玩具的利润以及销量，进而结合超市要完成不少于300件的销售任务，进而求出x的值．
解：设销售单价应定为x元，根据题意可得：
利润=（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]
=（x﹣20）（700﹣10x）
=﹣10x2+900x﹣14000
=﹣10（x﹣45）2+6250，
∵超市要完成不少于300件的销售任务，
∴400﹣10（x﹣30）≥300，
解得：x≤40，
即x=40时，销量为300件，此时利润最大为：﹣10（40﹣45）2+6250=6000（元），
故销售单价应定为40元．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合二次函数的性质得出商品定价是解题关键．
三 、解答题
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出顶点的坐标；
（2）用描点法画图象．
解：（1）y=x2+2x+1
=（x2+4x+4﹣4）+1
=（x+2）2﹣1
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
对称轴x=﹣2，顶点坐标（﹣2，﹣1）；
（2）如图，
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 …
图象为．
【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号；
（2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集；
（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．
解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4 时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1 或 x＞5时，y1＞y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）将x=0代入抛物线解析式中即可求出c值；
（2）由（1）可得出抛物线解析式，分别代入x=3、x=4，求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．
解：（1）当x=0时，y=c=9，
∴c的值为9．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=x2﹣4x+9．
当x=3时，y1=9﹣4×3+9=6；
当x=4时，y2=16﹣4×4+9=9．
∵6＜9，
∴y1＜y2．
【考点】 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】 （1）由于抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m=4﹣4﹣3=﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE==，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH=BE=×=．
点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），
∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，
故选D；
（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2++m，
把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；
（3）设函数z=，
当m=﹣1时，z有最小值为0；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；
当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，
则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．
【考点】 反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】 （1）把点A（1，4）代入y=，即可求出k的值；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由A的坐标是（1，4），得到AD=4，OD=1，根据B为AC的中点，求出B点坐标为（2，2），则DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，然后根据三角形面积公式即可求解．
解：（1）∵A是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），
∴把x=1，y=4代入y=，得k=1×4=4；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，4），
∴AD=4，OD=1．
又∵B为AC的中点，
∴BE=AD=2，且CE=DE，
∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．
∴DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，
∴S△OAC= AD OC=×4×3=6．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），
∴m=2×1+6=8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），∴8=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+，
∴n=3时，△BMN的面积最大．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】 （1）由A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，将点B的坐标代入y=，即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由方程kx+b﹣=0的解是两函数的交点坐标的横坐标，观察图象即可求得答案；
（3）由D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b﹣＜0，即是y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的部分，观察图象即可求得答案．
解：（1）∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，
∴m=2×（﹣4）=﹣8，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
∴点A的坐标为（﹣4，2），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣2；
（2）方程kx+b﹣=0的解为：
x1=﹣4，x2=2；
（3）∵D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b﹣＜0，
即是y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的部分，
∴x的取值范围为﹣4＜x＜0．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数交点的知识．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，
解得：a=﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
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第21章 二次函数与反比例函数单元检测A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
一 、选择题（本大题共12小题）
下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
函数是反比例函数，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．0或1
已知函数y=与y=k2x的图象交点是（-2，5），则它们的另一个交点是（ ）
A．（2，-5） B．（5，-2） C．（-2，-5） D．（2，5）
关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 图像与 轴的交点坐标为
B. 图像的对称轴在 轴的右侧
C. 当 时， 的值随 值的增大而减小
D. 的最小值为-3
二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A． （﹣1，﹣2） B． （﹣1，2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A． m＜0 B． m＞0 C． m＜﹣1 D． m＞﹣1
函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
二次函数y=﹣x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
已知函数y=﹣x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞1 D．﹣2＜x＜1
将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
二 、填空题（本大题共5小题）
如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象没有公共点，则b的取值范围是 ．
若点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m n（填“＞”、“＜”或“=”号）
抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．
如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= ．
某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为 元．
三 、解答题（本大题共9小题）
给定抛物线：．
（1）试写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出抛物线的图象．
抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
已知抛物线y=x2﹣4x+c，经过点（0，9）．
（1）求c的值；
（2）若点A（3，y1）、B（4，y2）在该抛物线上，试比较y1、y2的大小．
如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．
已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A．0 B．1 C．2 D．1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
如图，A．B是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）；
（3）设D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b﹣＜0，求x的取值范围．
某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
答案解析
一 、选择题
【考点】 二次函数的定义．
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
解：①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；
②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故选C．
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据y=kx﹣1（k是不等于零的常数），是反比例函数，可得答案．
解：由是反比例函数，得
m2+m﹣1=﹣1且m+1≠=0，
解得m=0，
故选：A．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：已知函数y=与y=k2x的图象的一个交点是（-2，5），
根据反比例函数与过原点的直线的两个交点关于原点对称，
则它们的另一个交点是（2，-5）．
故选A．
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。
解：A．当x=0时，y=-1，图像与 轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、 对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、 当x＜-1时y的值随 值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
【考点】 二次函数的性质．
【分析】 已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：因为y=（x﹣1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选C．
点评： 本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比较容易．
【考点】 反比例函数的性质．
【分析】 如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴m+1＞0，解得m＞﹣1．
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．
解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，
∵k≠0，
∴﹣k2＜0，
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．
A．一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．
故选C．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】分析解析式与方程可知：x=1时可得到b+c的形式，再根据x=1时y的值进行求解．
解：∵当x=1时，
∴y=﹣x2+bx+c
=﹣1+b+c
即b+c=y+1，
又∵b+c=0，
∴x=1时y=﹣1，
故它的图象一定过点（1，﹣1）．
故选：B．
【点评】解决此题的关键是根据b+c=0的形式巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围．
解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜．
故选B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】先求出函数的图象与x轴的交点坐标，再根据函数的图象开口向下，即可得出当y＜0时自变量x的取值范围．
解：当y=0时，﹣x2+x+2=0，
（x+1）（﹣x+2）=0，
x1=﹣1，x2=2，
由于函数开口向下，
可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．
故选A
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选D．
二 、填空题
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据双曲线的性质、结合图象解答即可．
解：如图，
∵直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公点，双曲线是中心对称图形，
∴直线y=﹣x﹣2与反比例函数y=的图象有唯一公点，
∴﹣2＜b＜2时，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象没有公共点，
故答案为：﹣2＜b＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握双曲线是中心对称图形是解题的关键．
【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特得到1 m=﹣2，2 n=﹣2，然后分别解方程求出m和n的值，再比较大小即可．
解：∵点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴1 m=﹣2，2 n=﹣2，
∴m=﹣2，n=﹣1，
∴m＜n．
故答案为＜．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2+4=x2﹣8x+20，
故答案为：y=x2﹣8x+20．
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．
解：∵点P（6，3），
∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数y=得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，
即AM=，NB=，
∵S四边形OAPB=12，
即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，
6×3﹣×6×﹣×3×=12，
解得：k=6．
故答案为：6．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意分别表示出每件玩具的利润以及销量，进而结合超市要完成不少于300件的销售任务，进而求出x的值．
解：设销售单价应定为x元，根据题意可得：
利润=（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]
=（x﹣20）（700﹣10x）
=﹣10x2+900x﹣14000
=﹣10（x﹣45）2+6250，
∵超市要完成不少于300件的销售任务，
∴400﹣10（x﹣30）≥300，
解得：x≤40，
即x=40时，销量为300件，此时利润最大为：﹣10（40﹣45）2+6250=6000（元），
故销售单价应定为40元．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合二次函数的性质得出商品定价是解题关键．
三 、解答题
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出顶点的坐标；
（2）用描点法画图象．
解：（1）y=x2+2x+1
=（x2+4x+4﹣4）+1
=（x+2）2﹣1
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
对称轴x=﹣2，顶点坐标（﹣2，﹣1）；
（2）如图，
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 …
图象为．
【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号；
（2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集；
（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．
解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4 时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1 或 x＞5时，y1＞y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）将x=0代入抛物线解析式中即可求出c值；
（2）由（1）可得出抛物线解析式，分别代入x=3、x=4，求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．
解：（1）当x=0时，y=c=9，
∴c的值为9．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=x2﹣4x+9．
当x=3时，y1=9﹣4×3+9=6；
当x=4时，y2=16﹣4×4+9=9．
∵6＜9，
∴y1＜y2．
【考点】 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】 （1）由于抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m=4﹣4﹣3=﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE==，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH=BE=×=．
点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），
∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，
故选D；
（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2++m，
把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；
（3）设函数z=，
当m=﹣1时，z有最小值为0；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；
当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，
则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．
【考点】 反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】 （1）把点A（1，4）代入y=，即可求出k的值；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由A的坐标是（1，4），得到AD=4，OD=1，根据B为AC的中点，求出B点坐标为（2，2），则DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，然后根据三角形面积公式即可求解．
解：（1）∵A是双曲线y=上的点，点A的坐标是（1，4），
∴把x=1，y=4代入y=，得k=1×4=4；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，4），
∴AD=4，OD=1．
又∵B为AC的中点，
∴BE=AD=2，且CE=DE，
∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．
∴DE=CE=2﹣1=1，即OC=3，
∴S△OAC= AD OC=×4×3=6．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），
∴m=2×1+6=8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），∴8=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+，
∴n=3时，△BMN的面积最大．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】 （1）由A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，将点B的坐标代入y=，即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由方程kx+b﹣=0的解是两函数的交点坐标的横坐标，观察图象即可求得答案；
（3）由D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b﹣＜0，即是y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的部分，观察图象即可求得答案．
解：（1）∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，
∴m=2×（﹣4）=﹣8，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
∴点A的坐标为（﹣4，2），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣2；
（2）方程kx+b﹣=0的解为：
x1=﹣4，x2=2；
（3）∵D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b﹣＜0，
即是y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的部分，
∴x的取值范围为﹣4＜x＜0．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数交点的知识．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，
解得：a=﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
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