第21章 二次函数与反比例函数单元检测B卷（含答案）

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第21章 二次函数与反比例函数单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共10小题）
已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）=0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（　　）
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（　　）
A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例
抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A．a（x0－x1）（x0－x2）＜0 B．a＞0 C．b2－4ac≥0 D．x1＜x0＜x2
设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（　　）24
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限j
在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
如图，点C在反比例函数 （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）
A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知二次函数y=2x2+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（　　）
A．y=﹣x2+1 B．y=﹣2x2+1 C．y=﹣x2+1 D．y=﹣4x2+1
如图，反比例函数(＞0)与的图象上的四个点A，B，C，D构成正方形，它的各边与坐标轴平行.若正方形的对角线长为,则的值为( )
A．4 B．8 C．12 D．16
如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A． ﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞5
1 、填空题（本大题共8小题）
．如图，点P是反比例函数图象上一点，PM ⊥x轴于M，若△POM的面积为5，则反比例函数的解析式为 　 。
邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入数据 1 2 3 4 5 6 …
输出数据 …
那么，当输入数据是7时，输出的数据是　　　　　　．
设函数y=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则+的值是　 　．
如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为　 　．
某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为　　　　　　．
在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（，）。如图，若曲线与此正方形的边有交点，则的取值范围是
如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y=，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为　　　　　　．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴上，且∠CAB=30°，若直线l：y=x+m从点C开始沿y轴向下平移．
（1）当直线l上点D满足DA=DC且∠ADC=90°时，m的值
为______；
（2）以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与抛物线有交点，写出m的取值范围______．
1 、解答题（本大题共8小题）
如图，点A是反比例函数y=的图象上任意一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x轴，BC⊥y轴，求Rt△ACB的面积．
已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．
（1）运用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，函数y有最值，最值是多少？
设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为 。
（1）求 关于x的函数解析式，并画出这个函数的图像
（2）若反比例函数 的图像与函数 的图像交于点A，且点A的横坐标为2．①求k的值
②结合图像，当 时，写出x的取值范围。
已知抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，且位于y轴左侧，现将该抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
（1）试求该抛物线的对称轴；
（2）在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位？
（3）在最初的状态下，若向下平移m2（m＞0）个单位时，对应线段AB长为n，若w=m2﹣n，问m为何值时，w最小，最小值是多少．
丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
（1）求 的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
1 、选择题
【考点】二次函数的定义；二次根式有意义的条件；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】根据二次根式的性质以及相乘为0的性质得出x的值，进而代入求出y的值即可．
解：∵（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x≤1，
∴x=1，
当x=1，y=x2+x+1=1+1+1=3．
故选：C．
【考点】反比例函数的定义；F2：正比例函数的定义．
【分析】直角三角形的面积一定，则该直角三角形的两直角边的乘积一定．
解：设该直角三角形的两直角边是a、b，面积为S．则
S=ab．
∵S为定值，
∴ab=2S是定值，
则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例．
故选：B．
【考点】 二次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．
【分析】 首先观察抛物线y=ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x=1时，y=a+b+c＜0，即可得反比例函数y=过第几象限，继而求得答案．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，
∴x=﹣＞0，
∴b＜0，
∴﹣b＞0，
∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限；
∵由函数图象可知，当x=1时，抛物线y=a+b+c＜0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．
故选D．
点评： 此题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意函数的图象与系数的关系．
4.【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两
种情况对C、D选项讨论即可得解．
解：根据题意，不能确定二次函数的图象开口朝向，故选项B、D不正确；函数图象与x轴有两个交点，因此，选项C不正确；因为函数图象与x轴有两个交点，故可以将解析式整理成：，因为M在图象上且在x轴下方，所以当x＝x0 时，．
故选A．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．
【分析】如图1，根据当x1＜x2＜0时，y1＞y2可知：反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，得k＞0；如图2，再根据一次函数性质：﹣2＜0，所以图象在二、四象限，由k＞0得，与y轴交于正半轴，得出结论．
解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，
∴图象在一、三象限，如图1，
∴k＞0，
∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，
∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，
故选C．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．
解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．
又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．
A．无法确定点A．B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
B、无法确定点A．B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；
D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【分析】根据反比例函数k的几何意义，可过C点作CD垂直于y轴，垂足为D，作CE垂直于x轴，垂足为E，即求矩形ODCE的面积
解：过点C作CD垂直于y轴，垂足为D，作CE垂直于x轴，垂足为E，则∠AOB=∠CDB=∠CEA=90°
又因为AB=BC，∠ABO=∠CBD，
所以△ABO △CBD，
所以S△CBD=S△ABO=1，
因为∠CDB=∠CEA=90°，∠BAO=∠CAE,
所以△ABO~△ACE，
所以，则S△ACE=4，
所以S矩形ODCE=S△CBD+S四边形OBCE=S△ACE=4，
则k=4，
故答案为D
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式．
解：∵y=2x2+bx+1的顶点坐标是（﹣，），
设x=﹣，y=，
∴b=﹣4x，
∴y===1﹣2x2．
∴所求抛物线的解析式为：y=1﹣2x2．
故选：B．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质
【分析】根据反比例函数系数的几何意义与正方形的面积等于对角线乘积的一半列出方程求解即可．
解：由题意得，×（4）2=4a，
解得a=4．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，观察图形，理解正方形ABCD被分成四部分的每一个小部分的面积等于a是解题的关键．
【考点】 二次函数与不等式（组）．
【分析】 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜﹣1或x＞5．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
1 、填空题
11.【分析】 先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy=-10，即可写出反比例函数的解析式．
解：设A点坐标为A（x，y），
由图可知A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵AB⊥x轴，
∴|AB|=y，|OB|=|x|，
∴S △ AOB = ×|AB|×|OB|= ×y×|x|=5，
∴-xy=10，
即反比例函数的解析式为y=
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】此题中分子的规律很好找，就是1，2，3，4，5，6…即第7次是7，但分母的规律就不好找了，这时我们可以列一个二次函数代入求．
解：从图中可以看出，分子上输入数据是n，分子就是n．
分母上我们可以列一个二次函数，可设分母为y，输入数据为x，则y=ax2+bx+c，把x=1，2，3代入代数式得：解得：
把这代入方程得：y=x2+2x﹣1，
所以当输出数据是7时，分母=49+14﹣1=62，
所以输出的数据是．
故答案为．
【点评】此题的关键是找规律，注意当规律难找时，可以用二次函数找．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】由两函数的交点坐标为（a，b），将x=a，y=b代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出2a+b的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及2a+b的值代入即可求出值．
解：∵函数y=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标是（a，b），
∴将x=a，y=b代入反比例解析式得：b=，即ab=3，
代入一次函数解析式得：b=﹣2a﹣6，即2a+b=﹣6，
则+===﹣2，
故答案为：﹣2．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，易得△AOB∽△ADC，根据相似三角形的性质得出OB=CD=3，根据图象上的点满足函数解析式，把C点纵坐标代入反比例函数解析式，可得横坐标；根据待定系数法，可得一次函数的解析式．
解：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，
∴△AOB∽△ADC，
∴=，
∵AB=AC，
∴OB=CD，
由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），
∴OB=3，
∴CD=3，
把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，
∴C（4，3），
代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，
解得k=，
故答案为．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（20+4t）2﹣（20+4t）a
化简，得
y=﹣4t2+t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴≥﹣4×302+×30+1400﹣20a
解得，a≤5，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a≤5．
解：∵A点的坐标为（a，a）．
根据题意C（a﹣1，a﹣1），
当A在双曲线时，则a﹣1=，
解得a=+1，
当C在双曲线时，则a=，
解得a=，
∴a的取值范围是≤a．
故答案为≤a．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．
【分析】根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标，由两点间的距离公式表示出线段OA．OC的长，再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵点A的坐标为（a，﹣a）（a＞0），
∴点B（a，）、点C（﹣，）、点D（﹣，﹣a），
∴OA==a，OC==．
又∵原点O分对角线AC为1：2的两条线段，
∴OA=2OC或OC=2OA，
即a=2×或=2a，
解得：a1=，a2=﹣（舍去），a3=，a4=﹣（舍去）．
故答案为：或．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F．先证明Rt△AFD≌Rt△DEC，由全等三角形的性质可知AF=DE，DF=CE．设点D的坐标为（x，x+m），接下来，依据AF=DE，DF=CE可列出关于x、m的方程组，从而可解得m的值；
（2）先求得点C的坐标，当直线l经过点C时可求得m=，当点A的对称点A′在抛物线上时，先求得抛物线的解析式，然后求得AA′的解析式，将直线AA′的解析式与抛物线的解析式联立可求得点A′的坐标，由点A和点A′的坐标可求得点D的坐标，将点D的坐标代入l的解式可求得m=﹣，从而可求得m的取值范围．
解：如图1所示：过点D作DE⊥y轴，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°．
∵∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDE．
∵在Rt△AFD和Rt△DEC中，
∴Rt△AFD≌Rt△DEC．
∴AF=DE，DF=CE．
设点D的坐标为（x，x+m），则x=x+m=①，x+3=﹣﹣m②．
①+②得：2x+3=，
解得：x=．
∴=+m．
解得：m=2﹣3．
（2）∵OA=3，∠CAB=30°，
∴OC=．
∴C（0，）．
①当直线l经过点C时．
∵将C（0，）代入y=x+m得：
∴m=．
②如图2所示：
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）．
∵将C（0，）代入得：﹣3a=，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．
∵点A与点A′关于l对称，
∴AA′⊥l．
∴直线AA′的一次项系数为﹣．
设直线AA′的解析式为y=﹣x+b．
∵将A（﹣3，0）代入得：+b=0，解得：b=﹣
∴直线AA′的解析式为y=﹣x﹣．
将y=﹣x﹣代入y=﹣x2﹣x+得：﹣x﹣=﹣x2﹣x+．
整理得：x2+x﹣6=0．
解得：x1=2，x2=﹣3．
∵将x=2代入y=﹣x﹣得：y=﹣，
∴点A′的坐标为（2，﹣）．
∴D（﹣，﹣）．
将D（﹣，﹣）代入y=+m得：+m=﹣，解得：m=．
∴m的取值范围是﹣＜m＜．
故答案为：（1）2﹣3；（2）﹣＜m＜．
1 、解答题
【分析】此题可根据反比例函数的对称性得A．B两点关于原点对称，再由反比例函数系数k的几何意义可得出Rt△ACB的面积．
解：设点A的坐标为（x，y），则点B坐标为（-x，-y），
所以AC=2y，BC=2x，
所以Rt△ACB的面积为AC BC=×2x 2y=2xy=2|k|=24．
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）对于二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）；
（3）根据二次函数的性质，抛物线y=a（x﹣h）2+k，当x=h时，函数y有最值k．
解：（1）y=2x2﹣4x﹣6
=2（x2﹣2x）﹣6
=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6，
即y=2（x﹣1）2﹣8；
（2）y=2（x﹣1）2﹣8，
a=2＞0，抛物线的开口向上，
顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为x=1；
（3）∵y=2（x﹣1）2﹣8，
∴当x=1时，函数y有最小值是﹣8．
点评： 本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及二次函数的最值，难度不大，利用配方法将一般式化为顶点式是解题的关键．
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据实际问题列一次函数表达式
【分析】（1）根据P点坐标以及题意，对x范围分情况讨论即可得出 关于x的函数解析式.
（2）将A点的横坐标分别代入 关于x的函数解析式，得出A（2,2）或A（2,-2），再分别代入反比例函数解析式得出k的值；画出图像，由图像可得出当 时x的取值范围.
（1）解：∵P（x，0）与原点的距离为y1 ，
∴当x≥0时，y1=OP=x，
当x＜0时，y1=OP=-x，
∴y1关于x的函数解析式为 ，即为y=|x|，
函数图象如图所示：
（2）解：∵A的横坐标为2，
∴把x=2代入y=x，可得y=2，此时A为（2，2），k=2×2=4，
把x=2代入y=-x，可得y=-2，此时A为（2，-2），k=-2×2=-4，
当k=4时，如图可得，y1＞y2时，x＜0或x＞2。
当k=-4时，如图可得，y1＞y2时，x＜-2或x＞0。
【考点】 二次函数图象与几何变换．
【分析】 （1）根据抛物线与x轴的交点问题得到△=b2﹣4b=0，解得b=±2，由于对称轴x=﹣位于y轴左侧，则b=﹣2，于是得到该抛物线的对称轴为直线x=﹣1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣t，再根据抛物线与x轴的交点问题可得到点A和B的坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0），则AB=2，根据题意得2≥6，解得t≥9，所以抛物线至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）根据抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣m2，与（2）一样可得点A和B的坐标为（﹣1﹣m，0），（﹣1+m，0），于是可得n=2m，则w=m2﹣2m=（m﹣1）2﹣1，然后根据二次函数的性质求解．
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+1顶点最初在x轴上，
∴△=b2﹣4b=0，解得b=±2，
∵对称轴x=﹣位于y轴左侧，
∴b=﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=﹣1；
（2）设在最初的状态下，至少向下平移t个单位（t＞0），点A，B之间的距离不小于6个单位，
则平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣t，
∵当y=0时，（x+1）2﹣t=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
∴点A和B的坐标为（﹣1﹣，0），（﹣1+，0），
∴AB=﹣1+﹣（﹣1﹣）=2，
∵2≥6，
∴t≥9，
∴至少向下平移9个单位，点A，B之间的距离不小于6个单位；
（3）平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2﹣m2，
∵当y=0时，（x+1）2﹣m2=0，解得x1=﹣1+m，x2=﹣1﹣m，
∴点A和B的坐标为（﹣1﹣m，0），（﹣1+m，0），
∴AB=﹣1+m﹣（﹣1﹣m）=2m，即n=2m，
∴w=m2﹣2m=（m﹣1）2﹣1，
∴当m=1时，w最小，最小值为﹣1．
点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
解：（1）根据表格中数据，可知v=，
∵v=75时，t=4，
∴k=75×4=300，
∴v=．
（2）∵10﹣7.5=2.5，
∴t=2.5时，v==120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
（3）∵3.5≤t≤4，
∴75≤v≤，
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤．
【考点】 二次函数的应用．.
【分析】 （1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10﹣2t，再由x=t时AD=﹣t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2得出点A．B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得．
解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），
∵当t=2时，AD=4，
∴点D的坐标为（2，4），
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，
解得：a=﹣，
抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，
∴AB=10﹣2t，
当x=t时，AD=﹣t2+t，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）
=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]
=﹣t2+t+20
=﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，
当t=2时，点A．B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，
当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P必平分矩形ABCD的面积，
∵AB∥CD，
∴线段OD平移后得到的线段GH，
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，
在△OBD中，PQ是中位线，
∴PQ=OB=4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A．B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；
（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；
②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．
解：
（2）联立两抛物线解析式可得，消去y整理可得2x2+3ax=0，解得x1=0，，
当时，，
∴，
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
∴，
∵∠OCA=90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴，
∴CD2=AD OD，即，
∴a1=0（舍去），（舍去），，
∴，，
∴；
（3）①抛物线，
∴其对称轴，
点A关于l2的对称点为O（0，0），，
则P为直线OC与l2的交点，
设OC的解析式为y=kx，
∴，得，
∴OC的解析式为，
当时，，
∴；
②设，
则，
而，，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由，解得，
∴直线BC的解析式为，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
则，即x=，
∴EN=，
∴
∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC
=
=，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，．
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