第二章 机械波
章末整合提升
一、波动图像反映的信息及其应用
从波动图像可以看出：
(1)波长λ；(2)振幅A；(3)该时刻各质点偏离平衡位置的位移情况；(4)如果波的传播方向已知，可判断各质点该时刻的振动方向以及下一时刻的波形；(5)如果波的传播速度大小已知，可利用图像所得的相关信息进一步求得各质点振动的周期和频率：T＝，f＝.
【例1】 振源O起振方向沿－y方向，从振源O起振时开始计时，经t＝0.7 s，x轴上0至6 m范围第一次出现如图1所示简谐波，则( )
图1
A．此波的周期一定是0.4 s
B．此波的周期可能是 s
C．此列波的波速为 m/s
D．t＝0.7 s时，x轴上3 m处的质点振动方向沿＋y方向
解析 由图可知波长λ＝4 m，当0至6 m范围第一次出现图示简谐波，说明x＝4 m处的质点第1次位于波峰位置，所以波传播的时间t＝T＋T＝0.7 s，则周期T＝0.4 s，选项A正确，B错误；由v＝得波速v＝＝10 m/s，选项C错误；波向右传播，由“上下坡”法可判断出t＝0.7 s时，x轴上3 m处的质点振动方向沿－y方向，选项D错误．
答案 A
针对训练1 一列简谐横波在t＝0时刻的波形图如图2实线所示，从此时刻起，经0.1 s波形图如图虚线所示，若波传播的速度为10 m/s，则____________．
图2
A．这列波沿x轴负方向传播
B．这列波的周期为0.4 s
C．t＝0时刻质点a沿y轴正方向运动
D．从t＝0时刻开始质点a经0.2 s通过的路程为0.4 m
E．x＝2 m处的质点的位移表达式为y＝0.2sin (5πt＋π) m
解析 从图中可以看出波长等于4 m，由已知得波速等于10 m/s，周期T＝0.4 s，B正确；经0.1 s波形图如题图虚线所示，说明波沿x轴负方向传播，A正确；t＝0时刻质点a沿y轴负方向运动；从t＝0时刻开始质点a经 0.2 s，即半个周期通过的路程为0.4 m，D正确；由y＝Asin (ωt＋φ)易得E正确．
答案 ABDE
二、波动图像与振动图像的区别和联系
面对波的图像和振动图像问题时可按如下步骤来分析：
(1)先看两轴：由两轴确定图像种类．
(2)读取直接信息：从振动图像上可直接读取周期和振幅；从波的图像上可直接读取波长和振幅．
(3)读取间接信息：利用振动图像可确定某一质点在某一时刻的振动方向；利用波的图像可进行波传播方向与某一质点振动方向的互判．
(4)利用波速关系式：波长、波速、周期间一定满足v＝＝λf.
【例2】 (多选)图3甲为一列简谐波在某一时刻的波形图，Q、P是波上的质点，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图像，从该时刻起，下列说法中正确的是( )
图3
A．经过0.05 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度
B．经过0.05 s时，质点Q的加速度小于质点P的加速度
C．经过0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴负方向
D．经过0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向
解析 由图乙可知，质点的振动周期T＝0.2 s，经过0.05 s，即周期，质点P到达负向的最大位移处，而此时质点Q处在正的某一位移处，位移越大，加速度越大，故B正确；经过0.1 s，即周期，质点Q在从正的最大位移处回到平衡位置的途中，运动方向沿y轴负方向，故C正确．
答案 BC
针对训练2 (多选)图4甲为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波形图，P是平衡位置为x＝1 m处的质点，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则( )
图4
A．横波的波长是8 m
B．横波的频率是0.2 Hz
C．质点P随波迁移的速度大小为40 m/s
D．t＝0.1 s时质点P正沿y轴正方向运动
解析 由波动图像可知，横波的波长是8 m，选项A正确；由质点Q的振动图像可知，横波的周期为0.2 s，频率是5 Hz，选项B错误；质点P围绕平衡位置振动，不随波迁移，选项C错误；根据质点Q的振动图像，t＝0.1 s时刻，质点Q正沿y轴负方向运动，说明波沿x轴负方向传播．t＝0.1 s时质点P正沿y轴正方向运动，选项D正确．
答案 AD
三、波动问题的多解性
波动问题出现多解性的原因：
(1)空间周期性：波在均匀介质中传播时，传播的距离Δx＝nλ＋x0(n＝0,1,2……)，式中λ为波长，x0表示传播距离中除去波长的整数倍部分后余下的那段距离．
(2)时间周期性：波在均匀介质中传播的时间Δt＝nT＋t0(n＝0,1,2……)，式中T表示波的周期，t0表示总时间中除去周期的整数倍部分后余下的那段时间．
(3)传播方向的双向性：我们解决的都是仅限于波在一条直线上传播的情况，即有沿x轴正方向或负方向传播的可能．
(4)介质中质点间距离与波长的关系的不确定性：已知两质点平衡位置间的距离及某一时刻它们所在的位置，由于波的空间周期性，则两质点存在着多种可能波形．做这类题目时，可根据题意，在两质点间先画出最简波形，然后再做一般分析，从而写出两质点间的距离与波长关系的通式．
【例3】 如图5所示，实线是某时刻的波形图线，虚线是0.2 s后的波形图线．
图5
(1)若波向左传播，求它传播的距离及最小距离；
(2)若波向右传播，求它的周期及最大周期；
(3)若波速为35 m/s，求波的传播方向．
解析 (1)由题图知，λ＝4 m，若波向左传播，传播的距离的可能值为Δx＝nλ＋λ＝(4n＋3) m(n＝0,1,2，…)
最小距离为Δxmin＝3 m
(2)若波向右传播，Δx＝＝(4n＋1) m(n＝0,1,2，…)，所用时间为Δt＝T＝0.2 s，故T＝ s(n＝0,1,2，…)，所以Tmax＝0.8 s.
(3)Δx＝v·Δt＝35×0.2 m＝7 m＝(λ＋3) m，所以波向左传播．
答案 见解析
第1讲 机械波的形成和传播
[目标定位] 1.理解机械波的形成过程和产生条件.2.知道波的种类及横波和纵波的概念.3.明确机械波传播的特点．
一、机械波的形成和传播
1．波的形成
由于绳的各部分之间都有相互作用的弹力联系着，所以当手抖动绳的一端，紧靠这一端的质点运动，它会带动相邻的质点运动，依次传递下去．每一个质点都在重复绳一端的振动，后一个质点的运动状态总是滞后于前一个质点的运动状态．
2．介质
能够传播振动的物质．
3．机械波
机械振动在介质中的传播．
4．波源
引起初始振动的装置．
5．机械波是机械振动这一运动形式(包括波源的振动信息)的传播，介质本身并没有沿着波的方向发生迁移．
6．波是传递能量的一种方式．
二、横波与纵波
1．按介质中质点的振动方向和波的传播方向的关系不同，常将波分为横波和纵波．
2．横波
(1)定义：介质中质点的振动方向与波的传播方向垂直的波．
(2)标识性物理量
①波峰：凸起来的最高处．
②波谷：凹下去的最低处．
3．纵波
(1)定义：介质中质点的振动方向和波的传播方向平行的波．
(2)标识性物理量
①密部：介质中质点分布密集的部分．
②疏部：质点分布稀疏的部分．
4．简谐波：如果传播的振动是简谐运动，这种波叫做简谐波.
一、波的形成和传播
1．波的形成
传播波的物质，如水、绳、空气等，可以分成许多小部分，每一小部分都可以看作质点．当其中一个质点振动时，由于质点间的相互作用，就带动相邻的质点振动起来，该质点又带动后面的质点振动起来，这样振动的状态就传播出去，形成了机械波．
2．机械波的传播
(1)各质点的振动周期都与波源的振动周期相同．
(2)离波源越远，质点的振动越滞后，但各质点的起振方向与波源起振方向相同．
(3)波传播的只是振动形式，介质中的每个质点只在自己平衡位置附近振动，并不随波迁移．
【例1】 (多选)关于机械波的形成和传播，下列说法中正确的是( )
A．机械波只能在介质中传播，波源周围如果没有介质，就不能形成机械波
B．离波源较近的质点总比离波源较远的质点振动得迟一些
C．离波源较近的质点总比离波源较远的质点振动得早一些
D．一旦波源振动起来，介质中的各个质点也就立刻振动起来
解析 机械波形成的条件是有波源和介质，两者缺一不可；机械波的形成可表述为离波源近的质点带动离波源远的质点，故离波源近的质点振动的早一些，分析知A、C正确．
答案 AC
【例2】 如图1所示，是某绳波形成过程的示意图．质点1在外力作用下沿垂直直线方向做简谐运动，带动2、3、4……各个质点依次上下振动，把振动从绳的左端传到右端．已知t＝0时，质点1开始向上运动，t＝时，1到达最上方，5开始向上运动．问：
图1
(1)t＝时，质点8、12、16的运动状态(是否运动、运动方向)如何？
(2)t＝时，质点8、12、16的运动状态如何？
解析 各质点在各时刻的情况．如图所示.
(1)由甲图可知，t＝时，质点8未达到波峰，正在向上振动，质点12、16未振动．
(2)由乙图可知，t＝时，质点8正在向下振动，质点12向上振动，质点16未振动．
答案 见解析
借题发挥 根据波的形成特点，先振动的质点带动后面的质点振动，后面质点总是落后于前面质点的振动，每一个质点都在自己的平衡位置附近振动，正确画出各时刻的波形图，可以使问题变得更形象直观．
二、振动与波动的区别与联系
1．区别
(1)研究对象不同
振动是单个质点所表现出的周而复始的运动现象，波动是大量质点表现出的周而复始的运动现象．
(2)运动成因不同
振动是质点由于某种原因离开平衡位置，同时受到指向平衡位置的力——回复力的作用．波动是由于介质中质点受到相邻质点的扰动而随着运动，并将振动形式由近及远传播开去，各质点间存在相互作用的弹力，各个质点受到回复力作用．
(3)运动性质不同
质点的振动是变速运动，在同一介质中波动的传播速度不变．
2．联系
(1)振动是波动的起因，波是振动的传播；
(2)有波动一定有振动，有振动不一定有波动；
(3)波动的周期等于质点振动的周期，波动和振动都是周期性运动．
【例3】 (多选)关于振动和波的关系，下列说法中正确的是( )
A．振动是波的成因，波是振动的传播
B．振动是单个质点呈现的运动现象，波是许多质点联合起来呈现的运动现象
C．波的传播速度就是质点振动的速度
D．波源停止振动时，波立即停止传播
解析 机械波的产生条件是有波源和介质．由于介质中的质点之间相互作用，一个质点的振动带动相邻质点的振动由近及远传播而形成波，所以选项A和B正确；波的传播速度是波形由波源向外伸展的速度，在均匀介质中其速度大小不变，而质点振动的速度和方向都随时间周期性地发生变化，选项C错误；波源一旦将振动传给了介质，振动就会在介质中向远处传播，当波源停止振动时，介质仍然继续传播波源振动的运动形式，不会随波源停止振动而停止传播，即波不会停止传播，选项D错误．
答案 AB
针对训练 (多选)有关机械振动与机械波的下列说法中正确的是( )
A．有机械振动就一定有机械波
B．机械波中各质点振幅一定相同
C．机械波中各质点均做受迫振动
D．机械波中各质点振动周期相同
解析 机械波是机械振动在介质中的传播形成的，故A错误；只有简谐波中各质点振动的振幅才相同，故B错误；由于质点间的弹力作用，因此，在波传播时，介质中的质点跟着波源做受迫振动，每个质点的振动频率都与波源的振动频率相同，故C、D正确．
答案 CD
波的形成和传播
1．(多选)关于机械波的以下说法中，正确的是( )
A．发生波动需要两个条件：波源和介质
B．波动过程是介质质点由近及远移动的过程
C．波动过程是能量由近及远传递的过程
D．波源与介质质点的振动都是自由振动
解析 波源(即振源)振动时，依靠介质中的相互作用力带动周围各部分质点振动起来，形成机械波．各质点只在平衡位置附近做振动，并不随波向外迁移，仅把振源的振动和能量传播开来．波源和介质质点之间的相互作用力阻碍波源的振动，是一种阻力，所以波源的振动不可能是自由振动．相邻的介质质点间存在相互作用，故介质质点也不是自由振动．
答案 AC
2．(多选)如图2所示，沿水平方向的介质中的部分质点，相邻质点间的距离相等，其中O为波源，设波源的振动周期为T，自波源通过平衡位置竖直向下振动开始计时，经过，质点1开始振动，则下列关于各质点的振动和介质中的波的说法正确的是( )
图2
A．介质中所有的质点的起振方向都竖直向下，图中质点9起振最晚
B．图中所画出的质点起振时间都是相同的，起振的位置和起振的方向是不同的
C．图中质点8的振动完全重复质点7的振动，只是质点8起振时，通过平衡位置或最大位移处的时间总是比质点7通过相同位置时落后
D．只要图中所有的质点都已振动了，质点1与质点9的振动步调就完全一致，但如果质点1发生的是第100次振动，则质点9发生的是第98次振动
解析 由题图可知，质点9是图中距波源最远的点，尽管与振源起振方向相同，但起振时刻最晚，故选项A正确，选项B错误；质点7与质点8相比较，质点7是质点8的前质点，7、8质点间的振动步调相差，故选项C正确；质点9与质点1相距2个波长，质点9比质点1晚2T开始起振，一旦质点9起振后，质点1、9振动步调就完全一致，故选项D正确．
答案 ACD
波动与振动的区别与联系
3．(多选)下列有关机械振动和机械波的说法中正确的是( )
A．某物体做机械振动，它周围的介质中就一定产生机械波
B．波源停止振动后，已形成的机械波仍能在介质中继续传播
C．机械波传播的只是机械振动的形式和能量，参与波动的质点并不随波迁移
D．振动是变速的，波动是匀速的
解析 机械振动在介质中的传播形成机械波，选项A正确；由于机械波已在介质中形成，当波源停止振动，已振动的质点又形成新的波源，使机械波仍在介质中传播，选项B正确；由机械波的传播特点可知，选项C正确；波只有在同种均匀介质中才会匀速传播，选项D错误．
答案 ABC
题组一 横波和纵波
1．(多选)关于横波和纵波，下列说法中正确的是( )
A．质点的振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波
B．质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波叫纵波
C．横波有波峰和波谷，纵波有密部和疏部
D．地震波是横波，声波是纵波
解析 根据横波和纵波的定义可知A、B、C正确；声波是纵波，但地震波中既有横波，又有纵波，D错误．
答案 ABC
2．区分横波和纵波的依据是( )
A．是否沿水平方向传播
B．质点振动的方向和波传播的远近
C．质点振动的方向和波传播的方向是相互垂直还是相互平行
D．质点振动的快慢
解析 横波与纵波的区别是根据波的传播方向与质点的振动方向之间的关系，如果两者在同一方向就是纵波，如果两者的方向相互垂直，该波就是横波．
答案 C
3．(多选)机械波按质点振动方向与波传播方向的关系可分为横波和纵波．关于介质中质点的振动方向和波的传播方向，下列说法正确的是( )
A．在横波中二者方向有时相同
B．在横波中二者方向一定不同
C．在纵波中二者方向有时相同
D．在纵波中二者方向一定不同
解析 在横波中质点振动方向和波的传播方向相互垂直，所以二者方向一定不同，故A错，B对；在纵波中二者方向在同一直线上，既可以相同，也可以相反，故C对，D错．
答案 BC
题组二 振动与波的关系
4．(多选)关于机械波和机械振动的下列说法正确的是( )
A．机械振动就是机械波，机械波就是机械振动
B．有机械波，则一定有机械振动
C．机械波就是质点在介质中的运动路径
D．在波传播方向上各个质点都有相同的振动频率和振幅
解析 机械振动在介质中的传播即机械波，A错；波的形成有两个条件，一是要有波源，二是要有介质，所以，有机械波一定有机械振动，B对；在波的形成和传播过程中，各介质质点不随波迁移，C错；离波源较远的质点靠前面质点的带动，所以频率、振幅相同，D对．
答案 BD
5．(多选)关于振动和波的关系，下列说法正确的是( )
A．如果波源停止振动，已经振动的质点将继续振动，未振动的质点则不会振动
B．发声体在振动时，一定会产生声波
C．在波传播方向上的某个质点的振动速度与波的传播速度无关
D．波动的过程是质点的振动形式及能量由近及远的传播过程
答案 CD
题组三 机械波的形成和传播
6．(多选)把闹钟放在密闭的玻璃罩内，在玻璃罩外仍然可以听到闹钟的铃声．但如果将玻璃罩内的空气用抽气机抽出去，就听不到闹钟的铃声．这说明( )
A．声波是纵波
B．抽去玻璃罩内的空气后，闹钟不再振铃了
C．气体和固体都能传播声音
D．声波不能在真空中传播
解析 根据题中叙述的现象，无法说明声波是纵波，选项A错误；抽去玻璃罩内的空气，不会使闹钟停止振铃，选项B错误；抽去玻璃罩内的空气前，在玻璃罩外仍然可以听到闹钟的铃声，说明玻璃罩和空气都能传播声音，选项C正确；抽去玻璃罩内的空气后，就听不到闹钟的铃声，说明声波不能在真空中传播，选项D正确．
答案 CD
7．(多选)关于机械波的说法正确的是( )
A．相邻的质点要相互做功
B．纵波的质点可以随波迁移，而横波的质点不能
C．振源开始时怎样振动，其他质点开始时就怎样振动
D．波中各质点振动频率是相同的
解析 机械波是由于介质中前面的质点带动后面的质点，使振源的振动形式与振源的能量向远处传播而形成的，前后质点间存在相互作用力，因而相互做功，故A正确；波传播过程中，各质点只能在各自的平衡位置附近振动，质点不随波迁移，因此B错；每个质点都是由振源依次带动下面的质点，每个质点都做受迫振动，每个质点的频率都与振源频率相同，并且都“仿照”振源振动，故C、D正确．
答案 ACD
8．在敲响古刹里的大钟时，有的同学发现，停止对大钟的撞击后，大钟仍“余音未绝”，分析其原因是( )
A．大钟的回声
B．大钟在继续振动，空气中继续形成声波
C．人的听觉发生“暂留”的缘故
D．大钟虽停止振动，但空气仍在振动
解析 停止对大钟的撞击后，大钟的振动不会立即停止，振动的能量不会凭空消失，大钟做阻尼振动一段时间，因此还会在空气中形成声波，这就是余音未绝的原因，所以选项B正确．
答案 B
9．在平静湖面上漂着一块小木条，现向湖中央扔一石子，圆形的波纹一圈圈的向外传播，当波传到小木条处时，小木条将( )
A．随波纹漂向湖岸 B．不动
C．向波源处漂动 D．在原来位置上下振动
解析 根据机械波的形成和传播规律可知，水波传到小木条处，小木条在原来位置上下振动，不会随波移动，选项D正确．
答案 D
10．以下对机械波的认识正确的是( )
A．形成机械波一定要有振源和介质
B．物体做机械振动，一定产生机械波
C．横波向右传播时，处于波峰的质点也向右迁移
D．机械波向右传播时，右方的质点比左方的质点早一些振动
解析 振源和介质是形成机械波的两个必不可少的条件．只有物体做机械振动，而其周围没有传播这种振动的介质，远处的质点不可能振动起来形成机械波，故A、B正确．简谐运动在介质中传播时，介质中各质点都做简谐运动，沿波的传播方向上，后面的质点比前面的质点总要晚一些开始振动，但质点本身并不随波的传播而发生迁移，而且各质点的振动步调不一致，故C、D均错．
答案 A
11．如图1所示为波沿一条固定的绳子向右刚传播到B点时的波形，由图可判断A点刚开始的振动方向是( )
图1
A．向左 B．向右
C．向下 D．向上
解析 根据带动法可知B点要向上振动，且所有点的起振方向都相同，所以D正确．
答案 D
12．如图2所示是沿绳向右传播的一列横波．
图2
(1)在图上标出B、D两质点的速度方向．
(2)点正处于波峰，它此时具有最(填“大”或“小”)的位移，最(填“大”或“小”)的加速度，最(填“大”或“小”)的速度．
(3)再经，A第一次回到平衡位置．
答案 (1)B点向下，D点向上
(2)C 大 大 小 (3)
第2讲 波速与波长、频率的关系
[目标定位] 1.知道什么是波的频率?周期?并能理解它的意义.2.知道什么是波速，了解决定波速的因素.3.会用公式v＝λf进行相关计算.4.掌握波在传播过程中的周期性和双向性.
一、波长
1．定义： 沿波的传播方向，任意两个相邻的同相振动的质点之间的距离(包含一个“完整的波”)，叫做波的波长，常用λ表示．
2．横波中任意两个相邻的波峰或波谷之间的距离就是横波的波长．纵波中任意两个相邻的密部或疏部之间的距离就是纵波的波长．
二、振幅
1．定义：在波动中，各质点离开平衡位置的最大距离，即其振动的振幅，也称为波的振幅．
2．波的振幅大小是波所传播能量的直接量度．
三、频率
1．定义：波在传播过程中，介质中质点振动的频率都相同，这个频率被称为波的频率．
2．波的频率等于波源振动的频率，与介质的种类无关．
3．频率与周期的关系：f＝或f·T＝1.
四、波速
1．决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定．
2．波速、波长、周期(频率)的关系：v＝或v＝λf.
想一想 波速就是振动速度吗？
答案 不是．波速是振动形式匀速向外传播的速度，始终沿传播方向，在同一均匀介质中波速不变；振动速度是指质点在平衡位置附近振动的速度，大小和方向都随时间做周期性变化.
一、波长、频率、周期、波速
1．周期和频率：只取决于波源，波的周期和频率就是指波源的周期和频率，与v、λ无任何关系．
2．波速v：决定于介质的物理性质，同一种均匀介质，物理性质相同，波在其中传播的速度恒定．
3．波长λ：对于一列波，其波长、波速、周期的关系不会变化，始终是v＝＝λf，既然v、T都由相关因素决定，所以这些因素同时又共同决定了波长λ，即波长λ由波源和介质共同决定．
【例1】 (多选)关于机械波的频率、波速、波长，下列说法正确的是( )
A．两个相邻的均处于平衡位置的质点间的距离为一个波长
B．波的频率等于波源的振动频率
C．波速等于波源的振动速度
D．波由一种介质进入另一种介质，波速和波长都要改变
解析 由波长的定义可知，两个相邻的均处于平衡位置的质点间的距离为半个波长，选项A错误；由波的频率定义可知选项B正确；波速是波的传播速度，与波源的振动速度不同，选项C错误；波在同一种均匀介质中匀速传播，进入不同介质时，频率不变，但波速改变，由v＝可知波长改变，选项D正确．
答案 BD
借题发挥 波长的定义中要强调“总是相同”的理解；波的频率等于波源的振动频率；波速由介质决定；波长由波源和介质共同决定．
【例2】 某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4 km/s和9 km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成，如图1所示．在一次地震中，震源在地震仪下方，观察到两振子相差5 s开始振动，则( )
图1
A．P先开始振动，震源距地震仪约36 km
B．P先开始振动，震源距地震仪约25 km
C．H先开始振动，震源距地震仪约36 km
D．H先开始振动，震源距地震仪约25 km
解析 由两种波的传播速率可知，纵波先传到地震仪，设所需时间为t，则横波传到地震仪的时间为(t＋5)s.由位移关系可得4(t＋5)＝9 t，t＝4 s，距离l＝vt＝36 km，故A正确．
答案 A
二、波的多解问题
1．波具有时间和空间的周期性，传播具有双向性，所以关于波的问题更容易出现多解．造成多解的主要因素有：
(1)时间间隔Δt与周期T的关系不明确；
(2)波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确；
(3)波的传播方向不确定．
2．在解决波的问题时，对题设条件模糊，没有明确说明的物理量，一定设法考虑其所有的可能性：
(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能；(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能；(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能；(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．
【例3】 一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形如图2中的实线和虚线所示．
图2
(1)设周期大于(t2－t1)，求波速；
(2)设周期小于(t2－t1)，并且波速为6 000 m/s.求波的传播方向．
解析 当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长．这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离．
(1)因Δt＝t2－t1＜T，所以波传播的距离可以直接由图读出．
若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝＝400 m/s.
若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝＝1 200 m/s.
(2)因Δt＝t2－t1＞T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为Δx＝vΔt＝6 000×0.005 m＝30 m，＝＝3，即Δx＝3λ＋λ.
因此，可得波的传播方向沿x轴负方向．
答案 (1)波向右传播时v＝400 m/s 波向左传播时，v＝1 200 m/s (2)x轴负方向
借题发挥 解决周期性及双向性带来的多解问题的一般思路如下：
(1)首先考虑传播方向的双向性，如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论．
(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT.
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等．所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．
(4)空间的周期性和时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以解题时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解．
【例4】 一列简谐横波沿x轴正方向传播，已知x轴上相距d＝3.6 m的两个质点M、N的振动图像分别如图3甲和乙所示，已知质点M比N质点先起振，则该波( )
图3
A．波长可能为4.8 m
B．频率可能为0.2 Hz
C．传播速度可能为3.6 m/s
D．质点M在波谷时，质点N在波峰
解析 据题质点M比N质点先起振，波从M传到N.由振动图像可知t＝0时刻M点位于波峰时，N通过平衡位置向下，则有：d＝(n＋)λ，(n＝0,1,2…)，波长为λ＝＝ m＝ m，当n＝0时，λ＝4.8 m，故A正确；由图读出周期T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，故B错误；波速为v＝λf＝ m/s，因为n是整数，v不可能为3.6 m/s，故C错误；由上面分析知，d＝(n＋)λ，则质点M在波谷时，N通过平衡位置，故D错误．
答案 A
波长、频率、周期、波速
1．男女生二重唱中，女高音和男中音的频率、波长和波速分别为f1、λ1、v1和f2、λ2、v2，它们之间的关系是( )
A．f1>f2，λ1>λ2，v1>v2 B．f1C．f1>f2，λ1<λ2，v1＝v2 D．以上说法都不正确
解析 由于两声音是同一种机械波，因而波速相同，A、B均排除，而音调高即是频率高，即f1>f2，再由v＝λf，v相同，f1>f2，所以λ1<λ2，因而C正确，D错误．
答案 C
波的多解问题
2．(多选)如图4所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方相距0.15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是( )
图4
A．0.6 m B．0.3 m
C．0.2 m D．0.1 m
解析 由题意可知，a、b两点的振动方向始终相反，a、b间的距离为半波长的奇数倍，即：xab＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，解得：λ＝＝ m(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，λ＝0.3 m，选项B正确；当n＝1时，λ＝0.1 m，选项D正确；波长不可能等于0.6 m和0.2 m，选项A、C错误．
答案 BD
3．一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距0.45 m，如图5所示是A处质点的振动图像．当A处质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是( )
图5
A．4.5 m/s B．3 m/s
C．1.5 m/s D．0.7 m/s
解析 从图中可知周期为0.4 s．由题可知质点A、B间最简单波形如图所示，A、B间距和波长的关系为x＝(n＋)λ，再由公式v＝得v＝(n＝0,1,2，…)，代入数据可知波速v可为4.5 m/s，选项A正确．
答案 A
题组一 波长、频率、周期、波速及其关系
1．关于波速，下列说法正确的是( )
A．反映了质点振动的快慢
B．反映了振动在介质中传播的快慢
C．波速由介质和波源共同决定
D．波速与波源的频率成正比
解析 波速反映的是振动在介质中传播的快慢程度，它与质点的振动快慢无关，因此选项A错误，选项B正确；波速只由介质决定，而与频率和波长无直接关系，选项C、D错误．
答案 B
2．(多选)关于波长，下列说法中正确的是( )
A．在一个周期内，沿着波的传播方向，振动在介质中传播的距离是一个波长
B．两个相邻的、在振动过程中运动方向总是相同的质点间的距离是一个波长
C．在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长
D．在纵波中，两个密部或两个疏部之间的距离等于波长
解析 根据波动中时间与空间的对应性，时间是周期的多少倍，振动在介质中传播的距离就是波长的多少倍，选项A正确；根据波长的定义，可知选项B、C正确，选项D错误．
答案 ABC
3．(多选)关于波的周期，下列说法正确的是( )
A．质点的振动周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驱动力的频率决定的
C．波的周期与形成波的介质的密度有关
D．经历整数个周期，波形图重复出现，只是波峰向前移动了一段距离
解析 波的周期性是由质点振动的周期性决定的，故选项A正确；波的周期等于波源驱动力的周期，与介质无关，故选项B正确，选项C错误；选项D正是波的周期性的体现，故选项D正确．
答案 ABD
4．(多选)关于公式v＝λf的理解，正确的是( )
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速v也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v＝λf知，波长是2 m的声音比波长是4 m的声音传播速度小2倍
解析 公式v＝λf适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f无关，所以B、D错；对同一列波，其频率由波源决定，与介质无关，故C正确．
答案 AC
5．(多选)在O点有一波源，t＝0时刻开始向上振动，形成向右传播的一列横波．t1＝4 s时，距离O点为3 m的A点第一次达到波峰；t2＝7 s时，距离O点为4 m的B点第一次达到波谷．则以下说法正确的是( )
A．该横波的波长为2 m
B．该横波的周期为4 s
C．该横波的波速为1 m/s
D．距离O点为5 m的质点第一次开始向上振动的时刻为6 s末
解析 设波速为v，周期为T，由题意得：t1＝＋＝4 s，t2＝＋T＝7 s，由以上两式得：v＝1 m/s，T＝4 s，B、C均正确，该波波长为λ＝vT＝4 m，A项错误；波传播5 m所用时间为t＝＝5 s，所以t＝5 s时，距离O点为5 m的质点开始振动且振动方向向上，D项错误．
答案 BC
6．如图1所示，位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S，产生两列分别沿x轴负方向和正方向传播的机械波．若在这两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2，则( )
图1
A．f1＝2f2，v1＝v2 B．f1＝f2，v1＝0.5v2
C．f1＝f2，v1＝2v2 D．f1＝0.5f2，v1＝v2
解析 因两列波的波源都是S，所以它们的周期和频率都相同，即T1＝T2，f1＝f2，由波速公式v＝得v1＝＝，v2＝，从而有v1＝2v2，C对．
答案 C
7．在介质中有一沿水平方向传播的简谐横波．一质点由平衡位置竖直向上运动，经0.1 s到达最大位移处，在这段时间内波传播了0.5 m，则这列波( )
A．周期是0.2 s B．波长是0.5 m
C．波速是2 m/s D．经1.6 s传播了8 m
解析 T＝0.1 s，T＝0.4 s；λ＝0.5 m，λ＝2 m；v＝＝ m/s＝5 m/s，Δt＝1.6 s时，Δx＝vΔt＝8 m，D正确，A、B、C均错．
答案 D
8．用手握住较长软绳的一端连续上下抖动，形成一列简谐横波．某一时刻的波形如图2所示，绳上a、b两质点均处于波峰位置．下列说法正确的是( )
图2
A．a、b两点之间的距离为半个波长
B．a、b两点振动开始时刻相差半个周期
C．b点完成全振动次数比a点多一次
D．b点完成全振动次数比a点少一次
解析 相邻的两个波峰之间的距离为一个波长，A错误；波在一个周期内向前传播的距离为一个波长，a点比b点早振动一个周期，完成全振动的次数也比b点多一次，故B、C错误，D正确．
答案 D
9．平衡位置处于坐标原点的波源S在y轴上振动，产生频率为50 Hz的简谐横波向x轴正、负两个方向传播，波速均为100 m/s.平衡位置在x轴上的P、Q两个质点随波源振动着， P、Q的x轴坐标分别为xP＝3.5 m、xQ＝－3 m．当S位移为负且向－y方向运动时，P、Q两质点的( )
A．位移方向相同、速度方向相反 B．位移方向相同、速度方向相同
C．位移方向相反、速度方向相反 D．位移方向相反、速度方向相同
解析 该波的波长λ＝＝ m＝2 m，xP＝3.5 m＝λ＋λ，|xQ|＝3 m＝λ＋λ，此时P质点位移为负，速度沿＋y方向；Q质点位移为正，速度沿＋y方向，选项D正确．
答案 D
10．如图3甲所示，O点为振源，OP＝s，t＝0时刻O点由平衡位置开始振动，产生向右沿直线传播的简谐横波．图乙为从t＝0时刻开始描绘的质点P的振动图像．下列判断中正确的是( )
图3
A．该波的频率为
B．这列波的波长为
C．t＝0时刻，振源O振动的方向沿y轴负方向
D．t＝t2时刻，P点的振动方向沿y轴负方向
解析 由图乙看出，周期T＝t2－t1，所以f＝＝，选项A错误；由图乙看出，波从O点传到P点的时间为t1，传播距离为s，则波速为v＝，则波长为λ＝vT＝，选项B正确；P点的起振方向与O点起振方向相同，由图乙读出t1时刻，P点的振动方向沿y轴正方向，即P点的起振方向沿y轴正方向，则t＝0时刻，振源O振动的方向沿y轴正方向，故C错误；t2时刻和t1时刻相同，P点的振动方向沿y轴正方向，故D错误．
答案 B
题组二 波的多解问题
11．(多选)一列波长大于3 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x1＝1.5 m和x2＝4.5 m的两质点A、B的振动图像如图4所示．由此可知( )
图4
A．1 s末A、B两质点的位移相同
B．2 s末A点的振动速度大于B点的振动速度
C．波长为4 m
D．波速为1 m/s
解析 从A、B两点的振动图像可以看出，1 s末质点A的位移为2 cm，质点B的位移为0，选项A错误；2 s末A点处于平衡位置，速度最大，B点处于负最大位移处，速度为零，选项B正确；从A、B两点的振动图像可以看出，A、B两点间的距离为个波长(n＝0,1，2，…)，结合题给条件可得：λ＝x2－x1，代入数据解得波长为：λ＝ m(n＝0,1,2，…)，由题意知波长大于3 m，则n＝0，波长为：λ＝4 m，选项C正确；从振动图像可以看出周期为：T＝4 s，则波速为：v＝＝1 m/s，选项D正确．
答案 BCD
12．一列横波沿AB方向传播，波的频率为5 Hz，振幅为2 cm，A、B两点间距离为6 m，振动方向总是相反，在某时刻两质点同处于平衡位置，它们之间还有一个波峰．试求波的可能波长．
解析 当波形曲线为图中1时，AB＝，得λ1＝2AB＝12 m．当波形曲线为图中2时，AB＝，λ2＝AB＝4 m.
答案 4 m或12 m
题组三 综合应用
13．(多选)一列简谐横波沿直线传播．以波源O由平衡位置开始振动为计时零点，质点A的振动图像如图5所示，已知O、A的平衡位置相距0.9 m．以下判断正确的是( )
图5
A．波长为1.2 m
B．波源起振方向沿y轴正方向
C．波速大小为0.4 m/s
D．质点A的动能在t＝4 s时最大
解析 由A的振动图像可知，A经过3 s开始振动，OA间距0.9 m，波速v＝＝ m/s＝0.3 m/s；振动的周期T＝4 s，所以波长λ＝vT＝0.3×4 m＝1.2 m；介质中质点的起振方向和波源的起振方向相同，由A质点的起振方向可以判断波源的起振方向沿y轴正方向；t＝4 s时A距离平衡位置最远，速度最小，动能最小，正确选项A、B.
答案 AB
14．一列横波在t时刻的波形如图6所示，振幅为1 cm，已知质点M开始振动的时间比质点N迟0.1 s，两质点的平衡位置相距2 cm.此时刻质点N的运动方向如何？质点M从此时刻起经0.6 s相对平衡位置的位移多大？在0.6 s时间内波向前传播的距离是多少？
图6
解析 由于质点N较质点M先振动，故波是向左传播的，可知质点N的运动方向是向上的．波由质点N传播到质点M所经历的时间为0.1 s，从波形图像中看出质点M、N的平衡位置间的距离是波长的四分之一，可知0.1 s是四分之一周期，即质点振动周期为0.4 s．在0.6 s的时间内质点M要完成1.5次全振动而达到正向最大位移处，故经0.6 s质点M相对平衡位置的位移为1 cm，方向向上．质点N的振动方向是向上的．质点M、N的平衡位置相距2 cm，其距离是，可知此波的波长是8 cm，于是有v＝＝ m/s＝0.2 m/s.
在0.6 s时间内波向前传播的距离为：s＝vt＝0.2×0.6 m＝0.12 m.
答案 见解析
第3讲 波的图像
[目标定位] 1.知道什么是波的图像，知道图像中纵、横坐标各表示的物理量，能说出图像中蕴含的信息.2.能区分振动图像和波动图像.3.根据某一时刻波的图像和波的传播方向能画出下一时刻和前一时刻的波的图像，并能指出图像中各个质点在该时刻的振动方向．
一、横波的图像
1．若以横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示该时刻各个质点偏离平衡位置的位移，规定位移的方向向上为正值，向下为负值，则在xOy坐标平面上，描出该时刻各质点的位置(x，y)，用平滑曲线将各点连接起来，就得到这一时刻横波的图像．波的图像有时也称为波形图，简称波形．
2．正弦波：波形图是正弦曲线的波，又称为正弦波．
二、波的图像与振动图像的比较
1．波的图像表示波传播时某一时刻在介质中各质点的位置相对于平衡位置的位移．
2．振动图像表示某一质点振动的过程中，各时刻相对于平衡位置的位移．
想一想 为了区分波的图像与振动图像，你可以用什么形象来描述它们？
答案 波的图像相当于一群人的一张照片，振动图像相当于该群人中某个人的一段录像.
一、波的图像的理解和应用
由波的图像可获取的信息
1．直接读出波长．若已知波速，可计算出周期、频率．或已知周期、频率可计算出波速．
2．直接读出该时刻各质点的位移，间接判断回复力、加速度情况．
3．介质中各质点的振幅．
4．已知波的传播方向，可知质点的振动方向．常用方法有：
(1)带动法：
原理：先振动的质点带动邻近的后振动质点．
方法：在质点P靠近波源一方附近的图像上另找一点P′，若P′在P上方，则P向上运动，若P′在P下方，则P向下运动．如图1所示．
图1
(2)上、下坡法：
如图2所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C，简称“上坡下，下坡上”．
图2
(3)同侧法：
质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧，如图3所示．
图3
5．已知质点的振动方向，可知波的传播方向．
仍是上述几种方法，只需将判定的程序倒过来．
【例1】 一列沿x轴正方向传播的简谐机械横波，波速为4 m/s.某时刻波形如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A．这列波的振幅为4 cm
B．这列波的周期为1 s
C．此时x＝4 m处质点沿y轴负方向运动
D．此时x＝4 m处质点的加速度为0
解析 由图像可知，这列波的振幅为2 cm，A项错误；波长λ＝8 m，故周期T＝＝ s＝2 s，B项错误；波向右传播，根据“上下坡”法可知，x＝4 m处质点沿y轴正方向运动，C项错误；此时x＝4 m处质点处于平衡位置，回复力为零，加速度为零，D项正确．
答案 D
借题发挥 由波的图像可直接看出波长、该时刻沿波的传播方向上各质点的位移和各质点的振幅，可以判断出各质点该时刻的加速度方向．可以由波速计算周期、频率或由周期、频率计算波速，利用波的传播方向判断任一质点的振动方向或利用任一质点的振动方向判断波的传播方向．
【例2】 如图5所示为一横波在某一时刻的波形图，已知D质点此时的运动方向如图所示，下列说法正确的是( )
图5
A．波向右传播
B．此时A点的运动方向向下
C．质点E与质点D的运动方向相同
D．质点C比质点B先回到平衡位置
解析 质点D的运动方向向下，根据特殊点法，波源在右，所以波应该向左传播，则A质点的运动方向向上．E质点运动方向向上，与D方向相反．质点C是直接向下运动的．而B是先向上运动到最高点再向下运动，故C比B先回到平衡位置．
答案 D
二、波的图像的画法
1．特殊点法
先找出两点(平衡位置、波峰或波谷等特殊点)并确定其运动方向，然后确定经Δt时间后这两点所达到的位置，最后按正弦规律画出新的波形．
该法适用于Δt＝n(n＝1,2,3……)的情况．
2．波形平移法
在已知波的传播速度的情况下，由Δx＝vΔt可得经Δt时间后波向前移动的距离Δx，把图像沿传播方向平移Δx即得到相对应的图像．
【例3】 某一简谐横波在t＝0时刻的波形图如图6所示．若波向右传播，画出后和前两个时刻的波的图像．
图6
解析 解法一 特殊点法
根据t＝0时刻波的图像及传播方向，可知此时刻A、B、C、D、E、F各质点在该时刻的振动方向，由各个质点的振动方向可确定出经后各个质点所在的位置，将这些点所在位置用平滑曲线连接起来，便可得经后的波的图像．如图中的虚线(a)所示．
同样道理，根据各个质点的振动方向可确定出前时刻各个质点所在位置，于是便可得到前时刻的波的图像．如图中虚线(b)所示．
解法二 波形平移法
由题图我们可以知道，在质点振动的一个周期内，波向前传播一个波长的距离，即传播的距离x＝12 m，因此在内，波向前传播了3 m．根据波的传播过程和传播的实质，若波向右传播，把波的原有图形向右移动3 m的距离，就得到了后时刻的波形图，同理可以得到前时刻波的图像．
答案 后图像见解析图中虚线(a) 前图像见解析图中虚线(b)
借题发挥 在已知波速的情况下，由公式Δx＝vΔt可得经Δt时间后波向前移动的距离Δx，把波形平移Δx即可得Δt时间后的波形图，注意，当Δx＝kλ＋Δx0时，只需将波形沿波的传播方向平移Δx0即可得Δt时间后的波形图，这就是所谓的“去整留零平移法”．当然也可以采用“特殊点法”．
三、振动图像与波动图像的比较
简谐振动
横波
图像
坐
标
横坐标
时间
介质中各质点的平衡位置
纵坐标
质点的振动位移
各质点在同一时刻的振动位移
研究对象
一个质点
介质中的各质点
物理意义
一个质点在不同时刻的振动位移
介质中各质点在同一时刻的振动位移
随时间的变化
原有图形不变，图线随时间而延伸
原有波形沿波的传播方向平移
显示的主要
物理量
振幅和周期
振幅和波长
【例4】 一列横波沿x轴正向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图7甲所示，此后，若经过周期开始计时，则图乙描述的是( )
图7
A．a处质点的振动图像 B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像 D．d处质点的振动图像
解析 波向右传播，可以确定经过周期后，b质点处于平衡位置且向下运动，从此时开始计时，b质点的振动图像如题图乙所示．故选B项．
答案 B
借题发挥 振动图像与波的图像的区别：
(1)波的图像和振动图像是根本不同的，波的图像描述的是介质中的“各质点”在“某一时刻”离开平衡位置的位移；而振动图像描述的是“一个质点”在“各个时刻”离开平衡位置的位移．
(2)坐标轴所表示的物理量：波动图像中的横轴x表示介质中各个振动质点的平衡位置，纵轴y表示各个振动质点在某时刻的位移；振动图像的横轴t表示一个振动质点振动的时间，纵轴y表示这个质点振动时各个不同时刻的位移．
质点的振动方向与波传播方向的关系
1．(多选)简谐横波某时刻的波形图线如图8所示，由此图可知( )
图8
A．若质点a向下运动，则波是从左向右传播的
B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的
C．若波从右向左传播，则质点c向下运动
D．若波从右向左传播，则质点d向上运动
解析 由“带动法”可知，若a向下运动，则a是由其右侧邻近质点带动的，波源位于右侧，波向左传播，故A错误；同理，B正确；若波从右向左传播，则c、d质点均应由其右侧邻近质点带动，其右侧质点位于c、d上方，所以c、d均向上运动，故C错误，D正确．
答案 BD
波的图像的理解
2．如图9所示为一列简谐横波在某时刻的波形图．已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.4 s，则以下说法正确的是( )
图9
A．波的波速为10 m/s
B．波的频率为1.25 Hz
C．波沿x轴正方向传播
D．该时刻质点P正沿y轴正方向运动
解析 由于b比a先振动，所以波沿x轴负方向传播，选项C错误；由图可知a、b的平衡位置之间的距离为2 m，则波速v＝＝ m/s＝5 m/s，选项A错误；由图可知，波长λ＝4 m，由v＝λf得频率f＝＝ Hz＝1.25 Hz，选项B正确；根据“上下坡法”可知此时质点P正沿y轴负方向运动，选项D错误．
答案 B
3．一列沿x轴正方向传播的横波在某一时刻的波形图如图10所示，已知波的传播速率是16 m/s.
图10
(1)指出这列波中质点振动的振幅是多少；
(2)画出再经过0.125 s时的波形图像．
解析 (1)由图像可以看出，质点振动的最大位移大小是10 cm，因此振幅是10 cm.(2)再经0.125 s波形沿x轴正方向移动的距离为Δx＝vΔt＝16×0.125 m＝2 m，所以再经过0.125 s后的波形图像如图中的虚线所示．
答案 (1)10 cm (2)见解析图
振动图像与波动图像的关系
4．(多选)一列简谐横波在某一时刻的波形图如图11甲所示，图中P、Q两质点的横坐标分别为x＝1.5 m和x＝4.5 m．P点的振动图像如图乙所示，Q点的振动图像可能是( )
图11
解析 由波形图可知，该波的波长为4 m，PQ两点间相距个波长，由P点振动图像可知，t＝0时刻，P点通过平衡位置向上运动，若波沿x轴正方向传播，则Q点应在正向的最大位移处，B项正确；若波沿x轴负方向传播，则Q点应在负向最大位移处，C项正确．
答案 BC
题组一 质点的振动方向与波传播方向的关系
1．(多选)下列图中正确的波形图是( )
解析 根据“上、下坡”法，凡是在“上坡”区必向下运动，“下坡”区必向上运动，故B、C正确．
答案 BC
2．如图1所示为一列简谐横波在某一时刻的波形图，已知质点A在此时刻的振动方向如图中箭头所示，则以下说法中正确的是( )
图1
A．波向左传播，质点B向下振动，质点C向上振动
B．波向右传播，质点B向上振动，质点C向下振动
C．波向左传播，质点B向上振动，质点C向上振动
D．波向右传播，质点B向下振动，质点C向下振动
解析 解决该题有许多方法，现用“上下波”法判断，若波向右传播，则A质点处于下坡，应向上振动．由此可知波向左传播．同理可判断C向上振动，B向上振动，故C正确．
答案 C
3．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，某时刻的波形如图2所示．P为介质中的一个质点，从该时刻开始的一段极短时间内，P的速度v和加速度a的大小变化情况是( )
图2
A．v变小，a变大 B．v变小，a变小
C．v变大，a变大 D．v变大，a变小
解析 由波的传播方向及P点位置，可知P点此时正向平衡位置振动，速度增大，加速度减小．
答案 D
4．(多选)一列在竖直方向上振动的简谐波沿水平的x轴正方向传播，振幅为20 cm，周期为4×10－2 s．现沿x轴任意取五个相邻的点P1、P2、P3、P4、P5，它们在某一时刻离开平衡位置的位移都向上，大小都为10 cm.则在此时刻，P1、P2、P3、P4四点可能的运动方向是( )
A．P1向下，P2向上，P3向下，P4向上
B．P1向上，P2向下，P3向上，P4向下
C．P1向下，P2向下，P3向上，P4向上
D．P1向上，P2向上，P3向上，P4向上
解析 特别要注意，题目中指出的五个相邻的、位移向上且相等的质点，只能是如图(a)或(b)所示中的一种．
在(a)中，由上、下坡法可知P1、P3、P5向下，P2、P4向上．
在(b)中，由上、下坡法可知P1、P3、P5向上，P2、P4向下．
答案 AB
题组二 波的图像
5．关于波的图像的物理意义，下列说法正确的是( )
A．表示某一时刻某一质点的位移
B．表示各个时刻某一质点的位移
C．表示某一时刻各个质点的位移
D．表示各个时刻各个质点的位移
解析 波的图像表示的是介质中的各个质点在某一时刻离开各自的平衡位置的位移．
答案 C
6．(多选)如图3所示为一列向右传播的简谐横波在某个时刻的波形，由图像可知( )
图3
A．质点b此时位移为零
B．质点b此时向－y方向运动
C．质点d的振幅是2 cm
D．质点a再经过通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移是4 cm
解析 由波形知，质点b在平衡位置．所以，其位移此时为零，选项A正确；因波向右传播，波源在左侧，由质点振动方向与波的传播方向的关系可知质点b此时向＋y方向运动，选项B错误；简谐波在传播过程中，介质中各质点的振幅相同．所以，质点d的振幅是2 cm，选项C正确；再经过的时间，质点a将运动到负向最大位移处，故选项D错误．
答案 AC
7．一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期是2 s，t＝0时刻的波形如图4所示，该列波的波速是m/s；质点a平衡位置的坐标xa＝2.5 m，再经s它第一次经过平衡位置向y轴正方向运动．
图4
解析 由图可知波长λ＝4 m，则波速v＝＝m/s＝2 m/s.波沿x轴正方向传播，根据“上下坡”法可判断出t＝0时刻x＝2 m处的质点正经过平衡位置向y轴正方向运动，要使此状态第一次传到xa＝2.5 m处的质点a，则波向右传播的距离s＝2.5 m－2 m＝0.5 m，则所用时间t＝＝＝0.25 s.
答案 2 0.25
题组三 振动图像与波的图像的关系
8．一简谐横波沿x轴正向传播，图5甲是t＝0时刻的波形图，图乙是介质中某质点的振动图像，则该质点的x坐标值合理的是( )
图5
A．0.5 m B．1.5 m
C．2.5 m D．3.5 m
解析 由图乙可知，在t＝0时刻此质点相对平衡位置的位移为－0.15 m，且振动方向向下，图甲中符合此要求的点在2～3 m之间，故C正确．
答案 C
9．(多选)图6(a)为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图(b)为介质中平衡位置在 x＝1.5 m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x＝2 m的质点．下列说法正确的是( )
图6
A．波速为0.5 m/s
B．波的传播方向向右
C．0～2 s时间内，P运动的路程为8 cm
D．0～2 s时间内，P向y轴正方向运动
E．当t＝7 s时，P恰好回到平衡位置
解析 由图(a)得波长λ＝2 m，由图(b)可知周期T＝4 s，则波速v＝＝0.5 m/s，A正确；t＝2 s时，x＝1.5 m处的质点振动方向向下，则波向左传播，B错；0～2 s时间内P质点运动的路程xP＝×4A＝8 cm，C项正确；0～2 s质点P向y轴负方向运动，D项错；t＝0时P质点位于正向最大位移处，故P质点达到平衡位置的时刻为t＝(2n＋1)，则n＝3时，t＝7 s，P恰好回到平衡位置，E项正确．
答案 ACE
题组四 波的图像的画法
10．在均匀介质中，一列沿x轴正向传播的横波，其波源O在第一个周期内的振动图像如图7所示，则该波在第一个周期末的波形图是( )
图7
解析 根据特殊点振动法，由振动图像可知，在t＝T时，波源O的振动方向向下，再结合波形可知形成的波动图像为D图．故选项D正确．
答案 D
11．(多选)图8(a)为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P是平衡位置在x＝1.0 m处的质点，Q是平衡位置在x＝4.0 m处的质点；图(b)为质点Q的振动图像．下列说法正确的是( )
图8
A．在t＝0.10 s时，质点Q向y轴正方向运动
B．在t＝0.25 s时，质点P的加速度方向与y轴正方向相同
C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴负方向传播了6 m
D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm
E．质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin 10πt(国际单位制)
解析 由图(a)得λ＝8 m，由图(b)得T＝0.2 s，所以v＝＝40 m/s.由图(b)知，在t＝0.10 s时，质点Q通过平衡位置向y轴负方向运动，A错误；结合图(a)，由“同侧法”判得波沿x轴负方向传播，根据特殊点法，画出t＝0.25 s时的波形图，标出P、Q点，如图，此时P点在x轴下方，其加速度沿y轴正方向，B正确；Δt＝0.25 s－0.10 s＝0.15 s，Δx＝v·Δt＝6 m，C正确；P点起始位置不在平衡位置或最大位移处，故D错误；由图知A＝0.1 m，ω＝＝10π rad/s，所以Q点简谐振动表达式为：y＝0.10sin 10πt m，E正确．
答案 BCE
12．如图9所示，甲为某一波在t＝1.0 s时的图像，乙为参与该波动P质点的振动图像，波速为4 m/s，求：
图9
(1)说出两图中AA′的意义；
(2)说出甲图中OA′B图线的意义；
(3)在甲图中画出再经3.5 s时的波形图；
(4)求再经过3.5 s时P质点的路程s和位移．
解析 (1)甲图中AA′表示A质点的振幅或1.0 s时x＝1.0 m的质点的位移大小为0.2 m，方向为负；乙图中AA′表示P质点的振幅，也代表P质点在0.25 s时的位移大小为0.2 m，方向为负．
(2)甲图中OA′B段图线表示O到B之间所有质点在1.0 s时的位移，方向均为负．由乙图看出P质点在1.0 s时向－y方向振动，所以甲图中波向左传播，则OA′间各质点正向远离平衡位置方向振动，A′B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．
(3)传播距离：Δx＝v·Δt＝4×3.5 m＝14 m＝λ.
所以只需将波形向x轴负向平移2 m即可，如图所示．
(4)因为n＝＝＝7.
所以路程s＝2An＝2×0.2×7 m＝2.8 m.
由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时，位移不变，所以只需考虑从图示时刻P质点经时的位移即可，所以经3.5 s质点P的位移仍为0.
答案 (1)甲图中的AA′表示A质点的振幅，乙图中的AA′表示质点P的振幅．
(2)甲图中OA′B图线表示O到B之间所有质点在1.0 s时的位移情况．
(3)见解析图 (4)2.8 m 0
题组五 综合应用
13．一列简谐横波t1时刻的波形如图10中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s．问：
图10
(1)这列波的传播速度是多少？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速是多大？
(3)若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播？
解析 (1)有两组解：若波向右传播，传播距离s＝λ，又有v右＝＝ m/s＝(16n＋4) m/s(n＝0,1,2，…)；若波向左传播，传播距离s＝λ，又有v左＝＝ m/s＝(16n＋12) m/s(n＝0,1,2，…)．
(2)因波向左传播，且3T<Δt<4T，则必有3λ(3)因波速v＝68 m/s，所以s＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝λ，故波向右传播．
答案 (1)若波向右传播，v右＝(16n＋4) m/s(n＝0,1,2，…)；若波向左传播，v左＝(16n＋12) m/s(n＝0,1,2，…) (2)60 m/s (3)向右
第4讲 惠更斯原理 波的反射与折射
[目标定位] 1.知道什么是波面和波线.2.了解惠更斯原理，会用惠更斯原理解释波的反射与折射现象.3.认识波的反射和折射现象，知道反射定律和折射定律．
一、惠更斯原理
1．内容：波在传播过程中所到达的每一点都可看做新的波源，从这些点发出球面形状的子波，其后任一时刻这些子波波前的包络面就是新的波前．
2．应用：根据惠更斯原理，可以用几何作图的方法，由已知的某一时刻波前确定下一时刻波前，从而确定波的传播方向．
二、波的反射
1．定义：波在传播的过程中，遇到两种介质的分界面时返回到原介质继续传播的现象叫波的反射．
2．反射定律：当波传播到两种介质的交界处发生反射时，入射线、法线、反射线在同一平面内，入射线与反射线分别位于法线两侧，而且反射角等于入射角；反射波的波长、频率和波速都与入射波相同．
三、波的折射
1．定义：波在传播过程中，从一种介质进入另一种介质时，波传播的方向发生偏折的现象叫做波的折射．
2．折射定律
波在介质中发生折射时，入射线、法线、折射线(即折射波线)在同一平面内，入射线与折射线分别位于法线两侧，入射角的正弦值与折射角的正弦值之比等于波在第一种介质中的传播速度跟波在第二种介质中的传播速度之比．对给定的两种介质，该比值为常数．
＝
3．结论
(1)当v1＞v2时，i＞r，折射线偏向法线．
(2)当v1＜v2时，i＜r，折射线偏离法线．
(3)当垂直界面入射(i＝0)时，r＝0，传播方向不变，是折射中的特殊情况.
一、对惠更斯原理的理解
1．惠更斯原理中，同一波面上的各点都可以看做子波的波源．波源的频率与子波波源的频率相等．
2．波线的指向表示波的传播方向．
3．在各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直．
4．球面波的波线是沿半径方向的直线，平面波的波线是垂直于波面的平行直线．
5．利用惠更斯原理可以解释平面波和球面波的传播、波的衍射、干涉和折射现象，但无法说明衍射现象与狭缝或障碍物的大小关系．
【例1】 (多选)关于对惠更斯原理的理解，下列说法正确的是( )
A．同一波面上的各质点振动情况完全相同
B．同一波面上的各质点振动情况可能不相同
C．球面波的波面是以波源为中心的一个个球面
D．无论怎样的波，波线始终和波面垂直
解析 按照惠更斯原理：波面是由任意时刻振动情况完全相同的点构成的面，故A对，B错；由波面和波线的概念，不难判定C、D正确．
答案 ACD
二、波在反射、折射现象中的波长、频率和波速
波现象
比较项
波的反射
波的折射
传播方向
改变 θ反＝θ入
改变 θ折≠θ入
频率f
不变
不变
波速v
不变
改变
波长λ
不变
改变
特别提醒 (1)频率(f)由波源决定，故无论是反射波还是折射波都与入射波的频率相等，即与波源的振动频率相同．
(2)波速(v)由介质决定，故反射波与入射波在同一介质中传播，波速不变，折射波与入射波在不同介质中传播，波速变化．
(3)据v＝λf知，波长λ与波速和频率有关，反射波与入射波，频率同，波速同，故波长相同，折射波与入射波在不同介质中传播，频率同，波速不同，故波长不同．
【例2】 如图1所示，1、2、3分别代表入射波、反射波、折射波的波线，则( )
图1
A．2与1的波长、频率相等，波速不等
B．2与1的波速、频率相等，波长不等
C．3与1的波速、频率、波长均相等
D．3与1的频率相等，波速、波长均不等
解析 反射波的波长、频率、波速与入射波都应该相等，故A、B错；折射波的波长、波速与入射波都不等，但频率相等，故C错，D正确．
答案 D
针对训练 同一音叉发出的声波同时在水和空气中传播，某时刻的波形曲线如图2所示．以下说法正确的是( )
图 2
A．声波在水中波长较大，b是水中声波的波形曲线
B．声波在空气中波长较大，b是空气中声波的波形曲线
C．水中质点振动频率较高，a是水中声波的波形曲线
D．空气中质点振动频率较高，a是空气中声波的波形曲线
解析 波的频率取决于波源的振动频率，与介质无关，故同一音叉发出的声波在水中与在空气中传播时频率相同．但机械波在介质中传播的速度只取决于介质性质，与波的频率无关，声波在水中传播的速度大于在空气中传播的速度．由v＝λf知，声波在水中的波长应较大，对应于题图中波形曲线b，故只有A正确．
答案 A
三、反射现象的应用
1．回声测距：(1)当声源不动时，声波遇到了静止的障碍物会返回来继续传播，反射波与入射波在同一介质中传播速度相同，因此，入射波和反射波在传播距离一样的情况下，用的时间相等，设经过时间t听到回声，则声源距障碍物的距离为s＝v声.
(2)当声源以速度v向静止的障碍物运动或障碍物以速度v向静止的声源运动时，声源发声时障碍物到声源的距离为s＝(v声＋v).
(3)当声源以速度v远离静止的障碍物或障碍物以速度v远离声源时，声源发声时障碍物到声源的距离为s＝(v声－v).
2．超声波定位：蝙蝠能发出超声波，超声波遇到障碍物或捕食目标时会被反射回来，蝙蝠就依据接收到的反射回来的超声波来确定障碍物或目标位置，从而确定飞行方向．另外海豚、雷达也是利用波的反射来定位和测速的．
【例3】 有一辆汽车以15 m/s的速度匀速行驶，在其正前方有一陡峭山崖，汽车鸣笛2 s后司机听到回声，司机听到回声时汽车距山崖的距离多远？(v声＝340 m/s)
解析 若汽车静止问题就简单了，现汽车运动，声音传播，如图所示为汽车与声波的运动过程示意图．设汽车由A到C路程为x1，C点到山崖B距离为x；声波由A到B再反射到C路程为x2，因汽车与声波运动时间同为t，则有x2＝x1＋2x，即v声t＝v汽t＋2x，所以x＝＝ m＝325 m.
答案 325 m
对惠更斯原理的理解
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．只有平面波的波面才与波线垂直
B．任何波的波线与波面都相互垂直
C．任何波的波线都表示波的传播方向
D．有些波的波面表示波的传播方向
解析 任何波的波线都与波面相互垂直，波线都表示波的传播方向，故B、C正确，A、D错误．
答案 BC
波的反射与折射
2．(多选)以下关于波的认识，哪些是正确的( )
A．潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，用的是波的反射原理
B．隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊隐形物质，是为了减少波的反射，从而达到隐形的目的
C．雷达的工作原理是利用波的反射
D．水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的反射现象
解析 A、B、C选项中应用了波的反射现象；D选项应用了波的折射现象，深水区域和浅水区域视为不同介质，故波的传播方向发生改变，故D错误．
答案 ABC
3．如图3所示是一列机械波从一种介质进入另一种介质中发生的现象，已知波在介质Ⅰ中的速度为v1，波在介质Ⅱ中的波速为v2，则v1∶v2为( )
图3
A．1∶ B．∶1
C．∶ D．∶
解析 根据折射定律＝，可得＝＝∶，所以选项C正确．
答案 C
4．如图4所示，利用超声波可以探测鱼群的位置，在一只装有超声波发射和接受装置的渔船上，当它向选定的方向发射出频率为5.8×104 Hz的超声波后，经过0.64 s收到从鱼群反射回来的反射波，已知频率为5.8×104 Hz的超声波在水中的波长为2.5 cm.则这群鱼跟渔船的距离为m.
图4
解析 鱼跟渔船的距离为s，根据波的反射t＝ ①
又波速公式v＝λf ②
由①②两式得：s＝464 m
答案 464
题组一 惠更斯原理
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．波线表示波的传播方向
B．波面表示波的传播方向
C．只有横波才有波面
D．波传播中某时刻任一波面上各子波波前的包络面就是新的波前
解析 波线表示波的传播方向，故A正确，B错误；所有的波都具有波面，故C错误；由惠更斯原理可知，D正确．
答案 AD
2．下列说法中正确的是( )
A．水波是球面波
B．声波是球面波
C．只有横波才能形成球面波
D．只有纵波才能形成球面波
解析 该题考查了波面，根据球面波的定义可知：若波面是球面则为球面波，与是横波还是纵波无关，由此可知B正确，C、D不正确；由于水波不能在空间中传播，所以它是平面波，A不正确．
答案 B
题组二 波的反射与折射
3．声波从声源发出，在空中向外传播的过程中( )
A．波速在逐渐变小 B．频率在逐渐变小
C．振幅在逐渐变小 D．波长在逐渐变小
解析 根据惠更斯原理知，声波从声源发出后，在空中向外传播的过程中，形成了以波源为中心的波面，面上的每个点都是子波的波源，然后子波波前形成包络面，即为新的波前，但声源提供的能量一定，在形成新的波前后，总能量不变，但每个新波前获得的能量减少，故在波的传播过程中振幅逐渐减小，故应选C．
答案 C
4．一列声波从空气传入水中，已知水中声速较大，则( )
A．声波频率不变，波长变小
B．声波频率不变，波长变大
C．声波频率变小，波长变大
D．声波频率变大，波长不变
解析 该题考查波在发生折射时，波速、波长、频率是否变化的问题．由于波的频率由波源决定，因此波无论在空气中还是在水中频率都不变，故C、D错；又因波在水中速度较大，由公式v＝λf可得，波在水中的波长变大，故A错，B正确．
答案 B
5．(多选)下列现象中属于声波反射现象的是( )
A．隔着墙能听到房间外面有人讲话
B．音响设备制作时要考虑混合效应
C．夏日的雷声有时轰鸣不绝
D．在水里的人能听到岸上的声音
解析 反射现象是波在同一种介质中的传播，因此B、C正确；波在不同种介质中传播是折射现象，D不正确；A是在同一种介质的另一面传播，不是反射现象．
答案 BC
6．(多选)一列波由固体传入液体时，下列说法中正确的是( )
A．入射波的波长大于折射波的波长
B．入射波的波速大于折射波的波速
C．入射波的频率大于折射波的频率
D．入射波的入射角大于折射波的折射角
解析 固体波速大于液体波速，而波的频率并未变化，所以选项A、B正确，C错误；由折射定律可知，选项D正确．
答案 ABD
7．(多选)如图1所示，一机械波由介质Ⅰ射入介质Ⅱ，在界面MN上发生偏折．下列说法正确的是( )
图1
A．波在介质Ⅰ中传播的速度大
B．波在介质Ⅱ中传播的速度大
C．波在介质Ⅰ中和介质Ⅱ中传播的速度之比为
D．波在介质Ⅱ中和介质Ⅰ中传播的速度之比为
解析 由波的折射定律＝可知v1＜v2，且＝＝＝，故B、D正确．
答案 BD
8．人耳只能区分相差0.1 s以上的两个声音，人要能听到自己讲话的回声，离障碍物的距离至少要大于( )
A．34 m B．17 m
C．100 m D．170 m
解析 声波在空气中传播的速度约为340 m/s，因此2s＝vt，s＝＝17 m，B正确．
答案 B
9．人在室内讲话的声音比在室外空旷处讲话声音要洪亮，是因为( )
A．室内空气不流动 B．室内声音多次反射
C．室内声音发生折射 D．室内物体会吸收声音
解析 人在室内说话，声波会被室内物体、墙壁反射，甚至反射多次，因而显得声音洪亮．
答案 B
10．甲、乙两人平行站在一堵墙前面，二人相距2a m，距墙均为a m，当甲开了一枪后，乙在t s后听到第一声枪响，则乙在什么时候才听到第二声枪响( )
A．听不到 B．甲开枪后3t s
C．甲开枪后2t s D．甲开枪后s
解析 如图所示，第一声枪响是从甲直接传到乙，所需时间t＝ ①
第二声枪响是声波经墙反射后传到乙，根据波的反射定律，反射后声波所走路程s′＝2＝4a m．所需时间t′＝＝ ②
由①②得t′＝2t，故C项正确．
答案 C
题组三 综合应用
11．一声波在空气中的波长为25 cm，速度为340 m/s，当折射进入另一种介质时，波长变为80 cm，求：
(1)声波在这种介质中的频率；
(2)声波在这种介质中的传播速度．
解析 (1)声波由空气进入另一种介质时，频率不变，由v＝λf得f＝＝ Hz＝1 360 Hz.
(2)因频率不变，有＝，得：v′＝v＝×340 m/s＝1 088 m/s.
答案 (1)1 360 Hz (2)1 088 m/s
12．如图2所示，一列平面波朝着两种介质的界面传播，A1A2是它在介质Ⅰ中的一个波面，C1和C2位于两种介质的界面上，B1B2是这列平面波进入介质Ⅱ后的一个波面；A1C1和A2C2是它的两条波线，入射角为θ1，折射角为θ2，波在Ⅰ、Ⅱ介质中的传播速度分别为v1和v2.
图2
(1)试根据惠更斯原理证明：＝；
(2)若已知θ1＝53°(sin 53°＝0.8)，A1A2的长度为0.6 m，介质Ⅰ和介质Ⅱ中的波速之比为v1∶v2＝4∶3，则：A1C1B1与A2C2B2的长度相差多少？
解析 (1)证明：如图，根据惠更斯原理画出波面C1D1与C2D2
在Rt△C1D1C2和Rt△C2D2C1中：∠C2C1D1＝θ1，∠C1C2D2＝θ2，有：
sin θ1＝，
sin θ2＝
又因为D1C2＝v1t
C1D2＝v2t
所以联立各式得：＝得证．
(2)根据＝，v1∶v2＝4∶3和θ1＝53°
得：θ2＝37°
所以C1C2＝1.0 m，D1C2＝0.8 m，C1D2＝0.6 m，所以A1C1B1与A2C2B2的长度相差Δr＝D1C2－C1D2＝0.2 m.
答案 (1)见解析 (2)0.2 m
第5讲 波的干涉、衍射
第6讲 多普勒效应
[目标定位] 1.知道波的叠加原理，知道波的干涉现象实质上是波的一种特殊的叠加现象.2.知道波的干涉图样的特点，理解形成稳定干涉图样的条件，掌握振动加强点、减弱点的振动情况.3.知道什么是波的衍射现象，知道波发生明显衍射现象的条件.4.了解多普勒效应，能运用多普勒效应解释一些物理现象.
一、波的叠加原理
在几列波传播的重叠区域内，质点要同时参与由几列波引起的振动，质点的总位移等于各列波单独存在时在该处引起的振动位移的矢量和．
二、波的干涉现象
1．定义：频率相同的两列波叠加，使介质中某些区域的质点振动始终加强，另一些区域的质点振动始终减弱，并且这两种区域互相间隔、位置保持不变．这种稳定的叠加现象(图样)叫做波的干涉．
2．产生干涉的一个必要条件是两列波的频率必须相同．
3．波的干涉现象是在特殊条件下波的叠加．一切波只要满足一定条件，都能发生干涉现象．
想一想 在波的干涉中，振动加强的点和振动减弱的点的振动情况是怎样的？是不是振动减弱的点始终位于平衡位置不动？
答案 在波的干涉中，振动加强的点是指两列波在该点的振动方向始终相同，因而使该点以两列波的振幅之和作为新的振幅做简谐运动；而振动减弱的点是指两列波在该点的振动方向始终相反，因而使该点以两列波的振幅之差作为新的振幅做简谐运动．只有当两列波的振幅相等时，所形成的干涉中的振动减弱的点的振幅才为零，此时该点表现为始终处于平衡位置不动．
三、波的衍射现象
1．定义：波能够绕到障碍物的后面传播的现象．
2．波发生明显衍射现象的条件：当缝的宽度或障碍物的尺寸大小与波长相差不多或比波长小时，就能看到明显的衍射现象．
3．一切波都可发生衍射现象．
想一想 在日常生活中我们常遇到“闻其声而不见其人”的现象，你能用学过的知识解释一下吗？
答案 声波的波长比较长，容易衍射，而光波波长短，不容易衍射，所以会有“闻其声而不见其人”的现象．
四、多普勒效应
1．定义：当观测者与波源之间有相对运动时，观测者测得的频率与波源频率不同．
2．成因
(1)波源S与观测者A相对于介质都静止时，观测者单位时间内接收到的完整波的数目与单位时间内波源发出的相同，所以，观测者接收到的频率和波源的振动频率相同．
(2)当观测者与波源两者相互接近时，它在单位时间内接收到的完整波的数目增多，接收到的频率将大于波源振动的频率．
(3)当观测者与波源两者远离时，它在单位时间内接收到的完整波数目减少，接收到的频率将小于波源振动的频率．
3．应用
(1)测心脏血流速度；(2)测人造卫星位置的变化；(3)测定流体流速；(4)检查车速；(5)判断遥远的天体相对于地球的运动速度．
想一想 当汽车远离观察者时，听到的汽车的声音越来越小，这种现象就是多普勒效应吗？
答案 不是．多普勒效应指的是接收到的频率的变化情况，即音调的变化情况，而声音大小指的是响度．
一、对干涉现象的理解
1．波的叠加是无条件的，任何频率的两列波在空间相遇都会叠加．
2．稳定干涉图样的产生是有条件的，必须是两列波的频率相同、步调一致(相差恒定)．
3．干涉图样及其特点
(1)干涉图样：如图1所示
图1
(2)特点
①加强区和减弱区的位置固定不变．
②加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)．
③加强区与减弱区互相间隔．
4．振动加强点和减弱点
(1)振动加强点：振动的振幅等于两列波振幅之和，A＝A1＋A2.
(2)振动减弱点：振动的振幅等于两列波振幅之差，A＝|A1－A2|.
(3)振动加强点和振动减弱点的判断．
若某点总是波峰与波峰或波谷与波谷相遇，该点为振动加强点；若总是波峰与波谷相遇，则为振动减弱点．
【例1】 (多选)两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇．下列说法正确的是( )
A．波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1－A2|
B．波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1＋A2
C．波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移
D．波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅
解析 两列振动方向相同的相干波相遇叠加，在相遇区域内各质点仍做简谐运动，其振动位移在0到最大值之间，B、C项错误；在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅之差，在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和，故A、D项正确．
答案 AD
借题发挥 不管是振动加强点，还是振动减弱点，还是一般位置的质点在振动时，其位移都在随时间做周期性变化，位移均可为0.
针对训练 两列频率、振动方向、初始相位均相同的波S1、S2，在同一介质中传播时，某时刻t形成如图2所示的干涉图样，图样中两波源S1、S2同时为波谷(实线表示波峰，虚线表示波谷)，在图中标有A、B、C三个点，则振动加强点是，振动减弱点是_．
图2
解析 由图可知A点为波峰与波峰相遇，是振动加强点；B点是波谷与波谷相遇，是振动加强点；C点是波峰与波谷相遇，是振动减弱点．
答案 A、B C
二、对衍射现象的理解
1．衍射是波特有的现象，一切波都可以发生衍射．
2．波的衍射总是存在的，只有“明显”与“不明显”的差异，“障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波长差不多”只是发生明显衍射的条件．
3．波传到小孔(障碍物)时，小孔(障碍物)仿佛一个新波源，由它发出与原来同频率的波在孔(障碍物)后传播，就偏离了直线方向．因此，波的直线传播只是在衍射不明显时的近似情况．
【例2】 (多选)如图3所示是观察水面波衍射的实验装置，AC和BD是两块挡板，AB是一个孔，O是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹(图中曲线)之间距离表示一个波长，则关于波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是( )
图3
A．此时能明显观察到波的衍射现象
B．挡板前后波纹间距离相等
C．如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象
D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现象
解析 从图中可以看出，孔的大小与波长相差不多，故能够发生明显的衍射现象，A选项正确；由于在同一均匀介质中，波的传播速度不变，波的频率不变，又根据λ＝可得波长λ不变，所以B选项正确；当孔扩大后，发生明显衍射的条件将被破坏，故C选项正确；如果孔的大小不变，使波源频率增大，则波长减小，孔的尺寸将比波长大，失去发生明显的衍射现象的条件，因此D选项不正确．
答案 ABC
三、对多普勒效应的理解
1．多普勒效应是波共有的特征，不仅机械波，光波和电磁波也都会发生多普勒效应．
2．发生多普勒效应时，波源发出的频率不变，变化的是观察者接收到的频率．
3．当波源与观察者相互接近时，f观察者变大，音调变高．如图4甲中波源S不动，观察者A向B运动和图乙中观察者A不动，波源由S1向S2运动；
当波源与观察者相互远离时，f观察者变小，音调变低．如图甲中波源S不动，观察者A向C运动．
图4
【例3】 (多选)下面说法中正确的是( )
A．发生多普勒效应时，波源的频率变化了
B．发生多普勒效应时，观察者接收到的频率发生了变化
C．多普勒效应是在波源与观察者之间有相对运动时产生的
D．多普勒效应是由奥地利物理学家多普勒首先发现的
解析 当波源与观察者之间有相对运动时会发生多普勒效应，故选项C正确；发生多普勒效应时，观察者接收到的频率发生了变化，而波源的频率并没有改变，故选项A错误，选项B正确；此现象是奥地利物理学家多普勒首先发现的，故选项D正确．
答案 BCD
借题发挥 判断观察者接收的频率是怎么样变化的，就是看波源与观察者间的相对运动情况.
波的衍射
1．在水波槽的衍射实验中，若打击水面的振子的振动频率是5 Hz，水波在水槽中的传播速度为0.05 m/s，为观察到明显的衍射现象，小孔直径d应为( )
A．10 cm B．5 cm
C．d≥1 cm D．d＜1 cm
解析 在水槽中激发的水波波长为λ＝＝ m＝0.01 m＝1 cm.若要在小孔后产生明显的衍射现象，应取小孔的尺寸小于波长或与波长相差不多．
答案 D
波的叠加
2．两列简谐横波，波速大小均为20 m/s，如图5所示为某时刻两列波各自传播的波动图像．一列波沿着x轴向右传播(实线所示)，另一列沿着x轴向左传播(虚线所示)．下列说法不正确的是( )
图5
A．两列波的频率均为2.5 Hz
B．此时刻b、d处的质点速度为零，a、c处质点速度最大
C．两列波在b、d点处引起的振动加强，在a、c点处引起的振动减弱
D．经过0.1 s，a处质点在波峰，c处质点在波谷
解析 由图可知波长λ＝8 m，则频率f＝＝ Hz＝2.5 Hz，选项A正确；两列波在b、d点处引起的振动减弱，在a、c点处引起的振动加强，选项C错误；由图可知此时刻b、d处的质点在最大位移处，所以速度为零，a、c处质点在平衡位置，速度最大，选项B正确；由图可知a质点向上振动，经0.1 s即到达波峰，同理c在波谷，选项D正确．
答案 C
波的干涉
3．(多选)图6表示两个相干波源S1、S2产生的波在同一种均匀介质中相遇．图中实线表示某时刻的波峰，虚线表示某时刻的波谷，下列说法正确的是( )
图6
A．a、c两点的振动加强，b、d两点的振动减弱
B．e、f两点的振动介于加强点和减弱点之间
C．经适当的时间后，加强点和减弱点的位置互换
D．经半个周期后，原来位于波峰的点将位于波谷，原来位于波谷的点将位于波峰
解析 波的干涉示意图表示某一时刻两列相干波叠加的情况，形成干涉图样的所有介质质点都在不停地振动着，其位移的大小和方向都在不停地变化着．但要注意，对稳定的干涉，振动加强和减弱的区域的空间位置是不变的．a点是波谷和波谷相遇的点，c点是波峰和波峰相遇的点，都是振动加强的点；而b、d两点都是波峰和波谷相遇的点，是振动减弱的点，A正确；e点位于加强点的连线上，也为加强点，f点位于减弱点的连线上，也为减弱点，B错误；相干波源叠加产生的干涉是稳定的，不会随时间变化，C错误；因形成干涉图样的介质质点也在不停地做周期性振动，故经半个周期步调相反，D正确．
答案 AD
多普勒效应
4．(多选)火车上有一个声源发出一定的乐音．当火车静止、观测者也静止时，观测者听到并记住了这个乐音的音调．以下情况中，观测者听到这个乐音的音调比原来降低的是( )
A．观测者静止，火车向他驶来
B．观测者静止，火车离他驶去
C．火车静止，观测者乘汽车向着火车运动
D．火车静止，观测者乘汽车远离火车运动
解析 观测者与声源相向运动时，观测者接收到的声波的频率变大，听到的乐音音调比原来要高；观测者与声源背离运动时，观测者接收到的声波的频率变小，听到的乐音音调比原来要低，故选项B、D正确．
答案 BD
题组一 多普勒效应
1．(多选)根据多普勒效应，下列说法正确的是( )
A．当波源与观察者有相对运动时，观察者接收到的频率一定发生变化
B．当波源与观察者同向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率低
C．当波源与观察者相向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率高
D．当波源与观察者反向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率低
解析 当波源与观察者的相对距离减小时，观察者单位时间内接收到的完全波的个数增多，即观察者接收到的频率比波源发出的频率高；当二者的相对距离增大时，观察者单位时间内接收到的完全波的个数减少，即观察者接收到的频率比波源发出的频率低．当波源与观察者有相对运动，但距离不变时(如圆周运动)，则不会出现多普勒效应，选项A错误；当波源与观察者同向运动时，二者的距离可能增大，也可能减小，也可能不变，选项B错误；当波源与观察者相向运动时，二者的相对距离减小，故选项C正确；当波源与观察者反向运动时，二者的相对距离增大，选项D正确．
答案 CD
2．(多选)下面哪些应用是利用了多普勒效应( )
A．利用地球上接收到遥远天体发出的光波的频率来判断遥远天体相对于地球的运动速度
B．交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来，根据接收到的频率发生的变化，就知道汽车的速度，以便于进行交通管理
C．铁路工人用耳贴在铁轨上可判断火车的运动情况
D．有经验的战士从炮弹飞行的尖啸声判断飞行炮弹是接近还是远去
解析 凡是波都具有多普勒效应，因此利用光波的多普勒效应便可测定遥远星体相对地球远离的速度，故A选项正确；被反射的电磁波，相当于一个运动的物体发出的电磁波，其频率发生变化，由多普勒效应的计算公式可以求出运动物体的速度，故B选项正确；对于C选项，铁路工人是根据振动的强弱而对列车的运动情况做出判断的，故不正确；炮弹飞行，与空气摩擦产生声波，人耳接收到的频率与炮弹的相对运动方向有关，故D选项正确．
答案 ABD
3．(多选)如图1所示，男同学站立不动吹口哨，一位女同学坐在秋千上来回摆动，下列关于女同学的感受的说法正确的是( )
图1
A．女同学从A向B运动过程中，她感觉哨声音调变高
B．女同学从E向D运动过程中，她感觉哨声音调变高
C．女同学在C点向右运动时，她感觉哨声音调不变
D．女同学在C点向左运动时，她感觉哨声音调变低
解析 女同学荡秋千的过程中，只要她有向右的速度，她就有靠近声源的趋势，根据多普勒效应，她都能感到哨声音调变高；反之女同学向左运动时，她感到音调变低，选项A、D正确，B、C错误．
答案 AD
4．公路巡警开车在高速公路上以100 km/h的恒定速度巡查，在同一车道上巡警车向前方的一辆轿车发出一个已知频率的超声波，结果该超声波被那辆轿车反射回来时，巡警车接收到的超声波频率比发出时低．
(1)此现象属于( )
A．波的衍射 B．波的干涉
C．多普勒效应 D．波的反射
(2)若该路段限速为100 km/h，则该轿车是否超速？
(3)若该轿车以20 m/s的速度行进，反射回的频率应怎样变化？
解析 (1)巡警车接收到的超声波频率比发生时低，此现象为多普勒效应．
(2)因巡警车接收到的频率低，由多普勒效应知巡警车与轿车在相互远离，而警车车速恒定且在后面，可判断轿车车速比巡警车车速大，故该轿车超速．
(3)若该轿车以20 m/s的速度行进时，此时巡警车与轿车在相互靠近，由多普勒效应知反射回的频率应偏高．
答案 (1)C (2)超速 (3)偏高
题组二 波的衍射
5．(多选)以下说法中正确的是( )
A．波的衍射现象必须具备一定的条件，否则不可能发生衍射现象
B．要观察到水波明显的衍射现象，必须使狭缝的宽度远大于水波波长
C．波长越长的波，越容易发生明显的衍射
D．只有波才有衍射现象
解析 衍射是波特有的现象，即任何波都会发生衍射现象，只不过存在明显与不明显的差别而已，只有当障碍物或孔的尺寸跟波长差不多或者比波长小时，才会观察到明显的衍射现象．选项C、D正确．
答案 CD
6．(多选)如图2所示，S是波源，M、N是两块挡板，其中M板固定，N板可左右自由移动，两板中间有一狭缝，此时测得A点无明显振动，为使A点能发生明显振动，下列采取的办法可行的是( )
图2
A．增大波源振动频率 B．减小波源振动频率
C．将N板向右移 D．将N板向左移
答案 BD
7．如图3所示，图中O点是水面上一波源，实线、虚线分别表示该时刻的波峰、波谷，A是挡板，B是小孔，经过一段时间，水面上的波形将分布于( )
图3
A．整个区域 B．阴影Ⅰ以外区域
C．阴影Ⅱ以外区域 D．上述答案均不对
解析 从题图中可以看出挡板A比波长大的多，因此波不会绕过挡板A，而小孔B的大小与波长差不多，能发生明显的衍射现象，故B正确．
答案 B
题组三 波的叠加
8．(多选)如图4所示，沿一条直线相向传播的两列波的振幅和波长均相等，当它们相遇时可能出现的波形是下列选项中的( )
图4
解析 当两列波的前半个波(或后半个波)相遇时，根据波的叠加原理，在前半个波(或后半个波)重叠的区域内所有的质点振动的合位移为零，而两列波的后半个波(或前半个波)的波形保持不变，所以选项B正确；当两列波完全相遇时(即重叠在一起)，由波的叠加原理可知，所有质点振动的位移均等于每列波单独传播时引起的位移的矢量和，使得所有的质点振动的位移加倍，所以选项C正确．
答案 BC
9．(多选)如图5所示，两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝－2×10－1 m和x＝12×10－1 m处，两列波的波速均为v＝0.4 m/s，两波源的振幅均为A＝2 cm.图示为t＝0时刻两列波的图像(传播方向如图所示)，此刻平衡位置处于x＝0.2 m和0.8 m的P、Q两质点刚开始振动．质点M的平衡位置处于x＝0.5 m处，关于各质点运动情况判断正确的是( )
图5
A．质点P、Q都首先沿y轴负向运动
B．t＝0.75 s时刻，质点P、Q都运动到M点
C．t＝1 s时刻，质点M的位移为4 cm
D．t＝1 s时刻，质点M的位移为－4 cm
解析 根据“上下坡”法可以判断，质点P、Q都首先沿y轴负向运动；两列波波速相等，经过t＝0.75 s，两波传播的路程都为30 cm，但P、Q两质点并不沿x轴运动；t＝1 s时刻，左边波传到x＝60 cm处，右边波传到x＝40 cm处，两波的波谷相遇在M点，叠加后质点M的位移为－4 cm.
答案 AD
题组四 波的干涉
10．消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题．内燃机、通风机等在排放各种高速气流的过程中都发出噪声，干涉型消声器可以用来消弱高速气流产生的噪声．干涉型消声器的结构及气流运行如图6所示，产生波长为λ的声波沿水平管道自左向右传播．当声波到达a处时，分成两束相干波，它们分别通过r1和r2的路程，再在b处相遇，即可达到消弱噪声的目的．若Δr＝r2－r1，则Δr等于( )
图6
A．波长λ的整数倍 B．波长λ的奇数倍
C．半波长的奇数倍 D．半波长的偶数倍
解析 根据波的干涉，两列波的路程差等于半波长奇数倍时，叠加后减弱，从而达到消弱噪音的目的，C正确．
答案 C
11．(多选)当两列相干波发生干涉时，如果两列波的波峰在P点相遇，下列说法正确的是( )
A．质点P的振动始终是加强的
B．质点P的振幅最大
C．质点P的位移始终最大
D．质点P的位移有时为零
解析 两列波的波峰在P点相遇，说明P点是振动加强点，P点振幅等于两列波的振幅之和，质点P的振幅最大，质点P振动加强，位移随时间做周期性变化，位移有时为零，有时最大，选项A、B、D正确．
答案 ABD
12．如图7所示为t＝0时刻简谐横波a与b的波形图，其中a沿x轴正方向传播，b沿x轴负方向传播，波速都是10 m/s，振动方向都平行于y轴．下列选项画出的是平衡位置在x＝2 m处的质点从t＝0时刻开始在一个周期内的振动图像，其中正确的是( )
图7
解析 两列波的波速相等，波长相等，则频率相等，能发生干涉．过周期后，两列波的波峰同时到达x＝2 m处的质点，则此质点振动总是加强，振幅为两列波振幅之和，即为3 cm.t＝0时刻x＝2 m处的质点开始从平衡位置沿y轴正方向开始振动，所以图像B正确．
答案 B
题组五 波的衍射现象和干涉现象的比较
13．利用发波水槽得到的水面波形如图8甲、乙所示，则( )
图8
A．图甲、乙均显示了波的干涉现象
B．图甲、乙均显示了波的衍射现象
C．图甲显示了波的干涉现象，图乙显示了波的衍射现象
D．图甲显示了波的衍射现象，图乙显示了波的干涉现象
解析 由图可以看出，图甲是水波通过小孔的情况，属于波的衍射现象，图乙是两列波在传播过程中叠加形成的干涉图样，属于波的干涉现象，选项D正确．
答案 D
14．(多选)在同一地点有两个静止的声源，发出声波1和声波2.在同一空间的空气中沿同一方向传播，如图9所示为某时刻这两列波的图像，则下列说法中正确的是( )
图9
A．波1速度比波2速度大
B．这两列波的频率相同
C．在这两列波传播方向上，不会产生稳定的干涉现象
D．相对于同一障碍物，波1比波2发生衍射现象更明显
解析 在同一种介质中，各种频率的机械波传播的速度相同，选项A错误；从图中可以看出波1的波长大于波2的波长，由公式v＝λf可得，波1的频率小于波2的频率，选项B错误；由于两列波的频率不同，两列波不能发生干涉，选项C正确；对于同一障碍物，波长越大衍射越明显，选项D正确．
答案 CD
15．如图10所示为某一报告厅主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的喇叭，它们之间的相互位置和尺寸如图所示．报告者的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫．为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消．已知空气中声速为340 m/s，若报告人声音的频率为136 Hz，问讲台上这样的位置有多少个？
图10
解析 相应于声频f＝136 Hz的声波的波长是λ＝＝2.5 m ①
式中v＝340 m/s是空气中的声速．在下图中，O是AB的中点，P是OB上任一点．将－表示为－＝k ②
式中k为实数，当k＝0,2,4，…时，
从两个喇叭来的声波因干涉而加强；
当k＝1,3,5，…时，
从两个喇叭来的声波因干涉而相消．由此可知，O是干涉加强点；对于B点，
－＝20 m－15 m＝4 ③
所以，B点也是干涉加强点．因而O、B之间有两个干涉相消点，由对称性可知，AB上有4个干涉相消点．
答案 4个
