2018版高中数学第1章计数原理学业水平达标检测新人教B版选修2_3

第一章　学业水平达标检测
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从4双不同的鞋中任取4只，结果都不成双的取法有(　　)
A．24　B．16
C．44 D．24×16
答案：B
2．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
答案：D
3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
答案：D
4．从集合M＝{0,1,2}到集合N＝{2,3,4,5}的不同映射的个数是(　　)
A．81个 B．64个
C．24个 D．12个
答案：B
5．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有(　　)
A．60种 B．20种
C．10种 D．8种
答案：C
6．从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有(　　)
A．210 B．420
C．630 D．840
答案：B
7．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝(　　)
A．81 B．16
C．8 D．1
解析：根据题意，由于C＝C(n∈N*)，所以2n＋6＝n＋2(舍)，2n＋6＋n＋2＝20，可知n＝4，那么当x＝－1时可知等式左边为34＝81，那么右边表示的为a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81.
答案：A
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(　　)
A．9 B．10
C．18 D．20
解析：由于lga－lgb＝lg，从1,3,5,7,9中取出两个不同的数进行排列共有A＝20种，而得到相同值的是1,3与3,9以及3,1与9,3两组，所以满足题意的共有18组，故选C.
答案：C
9．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有(　　)
A．36种 B．30种
C．42种 D．60种
解析：方法一(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C·C种选法，含2名女生有C·C种选法，所以共有CC＋CC＝36种选法．
方法二(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C种选法，所以至少有一名女生的选法数为C－C＝36种．
答案：A
10．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法的种数是(　　)
A．360 B．288
C．216 D．96
解析：先排三个男生有A＝6种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有CA＝6种不同排法)，剩下一名女生记作B，让A，B插入男生旁边4个位置的两个位置有A＝12，此时共有6×6×12＝432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2A×6×A＝144种不同的排法，所以共有432－144＝288种不同排法．
答案：B
11．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为(　　)
A．64 B．72
C．60 D．56
解析：先进行单循环赛，有8C＝48场，再进行第一轮淘汰赛，16个队打8场，再决出4强，打4场，再分别举行2场决出胜负，两胜者打1场决出冠、亚军，两负者打1场决出三、四名，共举行：48＋8＋4＋2＋1＋1＝64场．
答案：A
12．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|＜11且|y|＜9}内的椭圆个数为(　　)
A．43 B．72
C．86 D．90
解析：由题意知，当m＝1时，n可等于2,3，…，8共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可等于1,3，…，8共对应7个不同的椭圆．同理可得：当m＝3,4,5,6,7,8时各分别对应7个不同的椭圆．当m＝9时，n可等于1,2,3，…，8共对应8个不同的椭圆．综上所述，共7×8＋8×2＝72个．
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有__________个(用数字作答)．
解析：可以分情况讨论：
①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·A＝12个五位数；
②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2·A＝4个五位数；
③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2·(2·A)＝8个五位数．
所以共有24个．
答案：24
14．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有__________种(用数字作答)
解析：先从四个小球中取两个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A种不同的放法，据分步乘法计数原理，共有C·A＝144种不同的放法．
答案：144
15．设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
解析：Tr＋1＝C()5－r·r＝C·(－1)r·x·x＝C·(－1)r·x (r＝0,1，…，5)，令＝0，得r＝3，所以A＝C(－1)3＝－10.
答案：－10
16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)(m，n∈N*)，
记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.
解析：从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．所以f(m，n)＝C.
答案：C
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋中各取一封信，有多少种不同的取法？
(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
解析：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法．
用分类加法计数原理，共有5＋4＝9(种)．
(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)．
(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的投法．
18．(本小题满分12分)二项式n的展开式中：
(1)右n＝6，求倒数第二项．
(2)若第5项与第3项的系数比为56∶3，求各项的二项式系数和．
解析：(1)二项式n的通项是Tr＋1＝C()n－rr，当n＝6时，
倒数第二项是T6＝C()6－5·5＝－192x－.
(2)二项式n的通项是
Tr＋1＝C()n－rr，
则第5项与第3项分别为
T5＝C()n－44，
T3＝C()n－22，
所以它们的系数分别是16C和4C.
由于第5项与第3项的系数比为56∶3，
则16C∶4C＝56∶3，解得n＝10，
所以各项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝210＝1 024.
19．(本小题满分12分)某节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在如图中的A，B，C，D四个区域落座．
现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？
解析：当A，B，C，D四个区域的观众服装颜色完全不相同时，有4×3×2×1＝24种不同的方法；
当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A，C同色时，或B区，D区同色，A区，C区不同色且不与B，D同色时，有2×4×3×2＝48种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A，C同色时，有4×3＝12种不同的方法．
由分类加法计数原理知共有24＋48＋12＝84种不同的着装方法．
20．(本小题满分12分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？
(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？
(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
解析：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，
共有A·A＝604 800种不同排法．
(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A种排法，当甲不在末位，则甲有A种排法，乙有A种排法，其余有A种排法，综上共有(A＋AA·A)＝2 943 360种排法．
方法二：无条件排列总数A－
甲不在首，乙不在末，共有A－2A＋A＝2 943 360种排法．
(3)10人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有＝604 800种．
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A＝1 814 400种排法．
21．(本小题满分12分)已知n的展开式的各项系数之和等于5展开式中的常数项，求n的展开式中含a－1项的二项式系数．
解析：5的展开式的通项为Tr＋1＝C(4)5－rr＝r·45－rC·b (r＝0,1,2,3,4,5)．
若它为常数项，则＝0，所以r＝2，代入上式，所以T3＝27.
即常数项是27，从而可得n中n＝7，
同理7由二项展开式的通项公式知，含a－1的项是第4项，其二项式系数是C＝35.
22．(本小题满分12分)某单位现有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去医疗，共有多少种分派方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组要有女医生，则有多少种不同分法？
解析：(1)分三步完成．
第一步：从6名男医生中选3名有C种方法；
第二步，从4名女医生中选2名有C种方法；
第三步，对选出的5人分配到5个地区有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有N＝CCA＝14 400(种)．
(2)医生的选法有以下两类情况：
第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有CC种不同的分法；
第二类：两组中人数都是女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有CC种不同的分法．
因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组要有女医生的不同的分法共有CC＋CC＝120种不同分法．