2018版高中数学第2章概率学业水平达标检测新人教B版选修2_3

第二章　学业水平达标检测
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法不正确的是(　　)
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
答案：C
2．设随机变量的ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5,6)，则P(1.5＜ξ＜3.5)＝(　　)
A.　　B.
C. D.
答案：A
3．设X～B(10,0.8)，则E(2X＋2)等于(　　)
A．16 B．18
C．32 D．64
答案：B
4．若X的分布列为
X
0
1
P
0.5
a
则D(X)＝(　　)
A．0.8 B．0.25
C．0.4 D．0.2
答案：B
5．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，问他连续射击两次都没命中的概率是(　　)
A．0.64 B．0.56
C．0.01 D．0.09
答案：C
6．某停车场能把12辆车排成一列停放，设每辆车的停车位置是随机的，若有8个车位放了车，而4个空位连在一起，这种情况发生的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：12个车位停放8辆车共有C种停法，将其中4个空位“捆绑”，插空，共有9种插法，所以所求概率为.
答案：C
7．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：电路不发生故障的概率
P＝×＝×＝.
答案：A
8．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(　　)
A．997 B．954
C．819 D．683
解析：由题意可知μ＝60.5，σ＝2，
故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.
答案：D
9．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．E(X)＝0.01
B．P(X＝k)＝0.01k×0.9910－k
C．D(X)＝0.1
D．P(X＝k)＝C×0.01k×0.9910－k
解析：该试验为独立重复试验，故E(X)＝0.1，D(X)＝10×0.01×0.99＝0.099，P(X＝k)＝C×0.01k×0.9910－k.
答案：D
10．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
答案：B
11．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－，则下列命题中不正确的是(　　)
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10
解析：利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ＞110)线关于直线x＝80对称，知P(ξ＞110)＝P(ξ＜50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.
答案：B
12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由已知，得3a＋2b＋0·c＝2，得3a＋2b＝2，所以ab＝×3a×2b≤2＝.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设离散型随机变量X～N(0,1)，则P(X≤0)＝__________；P(－2＜X≤2)________．
解析：由题意知正态曲线的对称轴为x＝0.所以P(X≤0)＝P(X＞0)＝；P(－2＜X≤2)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
答案：　0.954 4
14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为__________．
解析：由于每次有放回摸球，故该试验可看作独立重复试验，即7次试验中摸取白球的次数ξ～B.由S7＝3可知，7次试验中5次摸白球，2次摸红球，故P＝C52＝.
答案：
15．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
请你找出丢失的数据后，求得均值为________．
解析：由0.20＋0.10＋0.□5＋0.10＋0.1□＋0.20＝1知，两个方框内数字分别为2,5，故E(X)＝3.5.
答案：3.5
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：由条件概率知②正确．④显然正确．
而且P(B)＝P(B∩(A1∪A2∪A3))
＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝.
故①③⑤不正确．
答案：②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例．
(2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例．
解析：(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
分数在60～80之间的学生的比例为
P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6，
所以不及格的学生的比例为
×(1－0.682 6)＝0.158 7，
即成绩不及格的学生人数占总人数的15.87%.
(2)成绩在80～90分内的学生的比例为
[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)]
－[P(70－10＜X≤70＋10)]
＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.59%.
18．(本小题满分12分)一袋中有6个黑球，4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率．
(2)有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率．
(3)有放回地依次取出3球，求取到白球个数X的分布列、期望和方差．
解析：(1)设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，C＝“第三次取到白球”，则在A发生的条件下，袋中只剩6个黑球和3个白球，
即P(|A)＝＝＝.
(2)因为每次取之前袋中球的情况不变．
所以n次取球的结果互不影响．
所以P()＝＝.
(3)设“摸一次球，摸到白球”为事件D，
则P(D)＝＝，P()＝.
因为这三次摸球互不影响，显然这个试验为独立重复试验，X服从二项分布，即X～B.
所以P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2×＝，
P(X＝2)＝C1×2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
又X服从二项分布，即X～B.
所以E(X)＝3×＝，
D(X)＝3××＝.
19．(本小题满分12分)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列．
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
解析：(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相应的概率，
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
20．(本小题满分12分)电信公司进行促销活动，促销方案为顾客消费1 000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，中奖后电信公司返还顾客现金1 000元，小李购买一部价格2 400元的手机，只能得2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买一部价格600元的小灵通(可以得到3张奖券)，小李抽奖后实际支出为X(元)．
(1)求X的分布列．
(2)试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算．
解析：(1)X的所有可能取值为2 450,1 450,450，－550，
P(X＝2 450)＝3＝，
P(X＝1 450)＝C··2＝，
P(X＝450)＝C·2·＝，
P(X＝－550)＝C·3＝，
故X的分布列为：
X
2 450
1 450
450
－550
P
(2)E(X)＝2 450×＋1 450×＋450×＋(－550)×＝1 850(元)．
设小李不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为X1(元)，则
P(X1＝2 400)＝2＝，
P(X1＝1 400)＝C··＝，
P(X1＝400)＝C2＝，
所以E(X1)＝2 400×＋1 400×＋400×＝2 000(元)，
所以E(X)＜E(X1)．
故小李出资50元增加1张奖券是划算的．
21．(本小题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值．
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
解析：(1)由频率分布直方图知
(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，
所以x＝0.018.
(2)因为50×(0.018＋0.006)×10＝12,50×0.006×10＝3，
所以不低于80分的学生共12人，
90分(含90分)以上的共3人．
ξ的取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
22．(本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率．
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
解析：(1)甲乙两人所付租车费用相同即为0,2,4元．
则付0元的概率为P1＝×＝.
付2元的概率为P2＝×＝，
付4元的概率为P3＝×＝，
则所付租车费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝.
(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8，
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝.
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P
E(ξ)＝＋＋＋＝.