课时训练09 离散型随机变量
(限时：10分钟)
1．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
解析：A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．
答案：B
2．有以下三个随机变量，其中离散型随机变量的个数是( )
①某热线部门1分钟内接到咨询的次数ξ是一个随机变量；
②一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量；
③某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：①③是离散型随机变量，②不是离散型随机变量，因为其取值是无限的不能一一列举出来．
答案：B
3．(1)某机场候机室中一天的旅客数量X.
(2)某篮球下降过程中离地面的距离X.
(3)某立交桥一天经过的车辆数X.
其中不是离散型随机变量的是__________．
解析：(1)(3)中的随机变量X可能取的值，我们都可以一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；
(2)中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故(2)中的X不是离散型随机变量．
答案：(2)
4．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为__________．
解析：当硬币全部为正面向上时，ξ＝0.硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．
答案：{0,1,2,3,4,5}
5．盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值．
(2)写出ξ＝1所表示的事件．
解析：(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2)ξ＝1表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．
(限时：30分钟)
一、选择题
1．下列随机变量不是离散型随机变量的是( )
A．某景点一天的游客数ξ
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数ξ
C．水文站观测到江水的水位数ξ
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ
解析：由离散型随机变量的概念可知，A，B，D中的随机变量ξ可以一一列出，是离散型随机变量．
答案：C
2．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为( )
A．5 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.
答案：D
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
解析：ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
答案：D
4．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )
A．0≤ξ≤5，ξ∈N B．－5≤ξ≤0，ξ∈Z
C．1≤ξ≤6，ξ∈N D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z
解析：ξ的所有可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，即－5≤ξ≤5，ξ∈Z.
答案：D
5．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9
C．10 D．25
解析：号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
答案：B
二、填空题
6．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则(ξ＝6)表示的试验结果有__________种．
解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C·C＝20种．
答案：20
7．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________．
解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
答案：300,100，－100，－300
8．某人在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X；则随机变量X的可能取值有________种．
解析：因为后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24种，因此X的可能取值有24种．
答案：24
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示，若能，请写出随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号码数之和ξ；
(2)袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出1球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出1球……直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.
解析：(1)ξ可取3,4,5,6,7.其中
ξ＝3表示取出分别标有1、2的2张卡片；
ξ＝4表示取出分别标有1、3的2张卡片；
ξ＝5表示取出分别标有1、4或2、3的2张卡片；
ξ＝6表示取出分别标有2、4的2张卡片；
ξ＝7表示取出分别标有3、4的2张卡片．
(2)ξ可取所有的正整数．ξ＝i表示前i－1次取出红球，而第i次取出白球，这里i＝1,2,3，….
10．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果：
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数为X.
解析：(1)X的可能取值为1,2,3，…，10.
X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12.
X＝2表示(1,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；
X＝12表示(6,6)．
11．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y是否是离散型随机变量．
解析：设X表示抽到的白球个数，则由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0,1,2,3，所以Y对应的值为5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.即Y的可能取值为6,11,16,21.显然，Y为离散型随机变量．
课时训练 10 离散型随机变量的分布列
(限时：10分钟)
1．已知随机变量X的分布列如下表，则m的值为( )
X
1
2
3
4
5
P
m
A. B.
C. D.
答案：C
2．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A. B.
C. D.
解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：C
3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为__________．
答案：
4．随机变量ξ的分布列如下，则ξ为奇数的概率为__________.
ξ
0
1
2
3
4
5
P
解析：P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.
答案：
5．从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加雅安抗震救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．
解析：依题意可知，随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
P(X＝0)＝＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝＝0.3.
(或P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
(限时：30分钟)
一、选择题
1．某一随机变量X的概率分布如表，且m＋2n＝1.2.则m－的值为( )
X
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
答案：B
2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜ξ≤4)等于( )
A. B.
C. D.
解析：P(2＜ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.
答案：A
3．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q的值为( )
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
解析：由＋(1－2q)＋q2＝1，即q2－2q＋＝0，
解得q＝.又因为P(ξ＝i)＞0，故有1－2q＞0，故q＝1－.
答案：D
4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
解析：本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．
答案：B
5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
解析：A项，P(ξ＝2)＝；
B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；
C项，P(ξ＝4)＝；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＞.
答案：C
二、填空题
6．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为__________．
解析：设当选的3人中女生的人数为X.
则X＝1,2,3.
∵P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＝.
答案：
7．某射手射击一次命中环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率为__________．
解析：根据射手射击一次命中环数X的分布列，有
P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，
P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22，
P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.88.
答案：0.88
8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为__________．
解析：设ξ的分布列为
ξ
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－＜d＜.
答案：－＜d＜
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．求X的分布列．
解析：X的可能取值为：0,1,2,3,4.
P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)．
即
X
0
1
2
3
4
P
10.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
解析：当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
11.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
解析：(1)设乙厂生产的产品数量为m件，依题意得＝，所以m＝35，
答：乙厂生产的产品数量为35件．
(2)∵上述样本数据中满足x≥175且y≥75的只有2件，
∴估计乙厂生产的优等品的数量为35×＝14件．
(3)依题意，ξ可取值0,1,2，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
课时训练 11 条件概率
(限时：10分钟)
1．由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A表示“第二位数字为0”，用事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
答案：A
2．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：C
3．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝__________.
答案：
4．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率是______．
解析：设“点数不超过4”为事件A，“点数为奇数”为事件B.
P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
5．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件．
求：(1)第一次抽到次品的概率．
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率．
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.
(1)第一次抽到次品的概率P(A)＝＝.
(2)P(AB)＝＝＝.
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝.
(限时：30分钟)
一、选择题
1．抛掷红、蓝两个骰子，事件A＝“红骰子出现4点”，事件B＝“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P(A|B)为( )
A. B.
C. D.
解析：先求出P(B)、P(AB)，再利用条件概率公式P(A|B)＝来计算．P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝.
答案：D
2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A为两个点数都不相同，设事件B为两个点数和是7或8，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝×＝.
答案：A
3．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出2个，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：第一次摸出红球的条件下袋中有5个红球和4个白球，第二次摸到红球的概率为.
答案：D
4．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
答案：B
5．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：甲排在第一跑道，其他5位同学共有A种排法，乙排在第二跑道共有A种排法，所以，所求概率为＝.
答案：B
二、填空题
6．分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是__________．
解析：设取出的两个元素中有一个是12为事件A，取出的两个元素构成可约分数为事件B，则n(A)＝7，n(AB)＝4.所以P(B|A)＝＝.
答案：
7．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为__________．
解析：记“选出4号球”为事件A，“选出球的最大号码为6”为事件B，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝__________.
解析：P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.
由条件概率计算公式，得
P(B|A)＝＝＝.
答案：
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．五个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．
解析：设第一次取到新球为事件A；第二次取到新球为事件B.
(1)P(A)＝＝；
(2)P(B)＝＝＝；
(3)方法一：P(AB)＝＝.
P(B|A)＝＝＝.
方法二：n(A)＝3×4，n(AB)＝3×2.
P(B|A)＝＝＝.
10．如图，一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每一次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(A|B)、P(AB).
解析：用μ(B)表示事件B区域的面积，μ(Ω)表示大正方形区域的面积，由题意可知：
P(AB)＝＝，P(B)＝＝，
P(A|B)＝＝.
11．在某次考试中，共有10道题供选择，已知该生会答其中的6道题，随机从中抽5道题供该生回答，答对3道题则及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．
解：记“从10道题中依次抽5道题，第一道题不会答”为事件A，“从10道题中依次抽5道题，有3道题或4道题会答”为事件B，
n(A)＝CC，
n(AB)＝C(CC＋CC)，
P(B|A)＝＝＝.
课时训练 12 事件的独立性
(限时：10分钟)
1．甲、乙两人投球命中率分别为，，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：A
2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
3．两人射击命中目标的概率分别为，，现两人同时射击目标，则目标被命中的概率为__________．
答案：
4．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是__________．
解析：设“任取一书是文科书”为事件A，“任取一书是精装书”为事件B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
答案：
5．制造一种零件，甲机床的正品率是0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．
(1)两件都是正品的概率．
(2)两件都是次品的概率．
(3)恰有一件正品的概率．
解析：记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件．
(1)两件都为正品为事件AB，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72.
(2)两件都是次品为事件 ，则P( )＝P()·P()＝0.10×0.20＝0.02.
(3)抽取的两件中恰有一件正品包含事件A 与事件B，则P(C)＝P(A )＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.
(限时：30分钟)
一、选择题
1．甲乙两人投球命中率分别为、，甲乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：P＝×＋×＝＝.
答案：A
2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
答案：A
3．如图所示的电路，有a、b、c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由图示及题意可知，灯泡甲亮是开关a，c闭合和b打开同时发生，其概率为××＝.
答案：A
4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
答案：A
5．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝××＝，
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＋＝.
答案：A
二、填空题
6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是__________．
解析：由已知每次打开家门的概率为，则该人第三次打开家门的概率为×＝.
答案：
7．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为__________．
解析：设从甲袋中任取一个球，事件A：“取得白球”，则此时事件：“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B：“取得白球”，则此时事件：“取得红球”．
∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立．
∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P(AB＋)＝P(AB)＋P()
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×
＝.
答案：
8．设两个相互独立的事件A，B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率，则事件A发生的概率P(A)是__________．
解析：由题意知，∵P()＝，P(A)＝P(B)．
∴[1－P(A)][1－P(B)]＝，
P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]．
∴1－P(A)＝，P(A)＝.
答案：
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率．
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解析：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种．
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
10．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响：
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
解析：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝，
P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
记“该选手进入第四轮才被淘汰”为事件B，
所以P(B)＝P(A1∩A2∩A3∩4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)
＝×××
＝.
(2)方法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C，
P(C)＝P(＋A1＋A1A2)
＝P()＋P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()
＝＋×＋××＝.
方法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D，
则P(D)＝×××＝.
而C与B∪D为对立事件，B与D为互斥事件，
所以P(C)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)
＝1－－＝.
11．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
解析：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件，
(1)2人都射中目标的概率为：
P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为
P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，
故所求概率为：P＝P()＋P(A)＋P(B)
＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)
＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
课时训练 13 独立重复试验与二项分布
(限时：10分钟)
1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：C
2．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设此射手射击四次命中次数为ξ，
∴ξ～B(4，p)，依题意可知，P(ξ≥1)＝，
∴1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，
∴(1－p)4＝，p＝.
答案：B
4．一名同学通过某种外语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是__________．
解析：P＝C12＝.
答案：
5．在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
(1)恰有两道题答对的概率．
(2)至少答对一道题的概率．
解析：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.
由独立重复试验的概率计算公式得：
(1)恰有两道题答对的概率为
P＝C22＝.
(2)方法一：至少有一道题答对的概率为
1－C04＝1－＝.
方法二：至少有一道题答对的概率为
C3＋C22＋C3＋C4＝＋＋＋＝.
(限时：30分钟)
一、选择题
1．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
2．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设所求概率为P，
则1－(1－P)4＝，得P＝.
答案：A
3．任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为，
则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为
P＝C2×＝.
答案：B
4．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P＝C·2·3＝.
答案：B
5．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( )
A．1或2 B．2或3
C．3或4 D．5
解析：依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝2或1时P(ξ＝k)最大．
答案：A
二、填空题
6．甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是，，，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是__________．
解析：恰有两个打给乙可看成3次独立重复试验中，“打给乙”这一事件发生2次，故其概率为C2·＝.
答案：
7．有4台设备，每台正常工作的概率均为0.9，则4台中至少有3台能正常工作的概率为__________．(用小数作答)
解析：4台中恰有3台能正常工作的概率为C×0.93×0.1＝0.291 6,4台中都能正常工作的概率为C×0.94＝0.656 1，则4台中至少有3台能正常工作的概率为0.291 6＋0.656 1＝0.947 7.
答案：0.947 7
8．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否出现故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机才可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是__________．
解析：4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4,2引擎飞机成功飞行的概率为p2，
要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.
答案：
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．某同学练习投篮，已知他每次投篮命中率为，
(1)求在他第三次投篮后，首次把篮球投入篮筐内的概率；
(2)若想使他投入篮球的概率达到0.99，则他至少需投多少次？(lg2＝0.3)
解析：(1)第三次首次投入则说明第一、二次未投入，所以P＝2×＝.
(2)设需投n次，即在n次投篮中至少投进一个，则对立事件为“n次投篮中全未投入”，计算式为：
1－n≥0.99，
0．2n≤0.01?lg0.2n≤lg0.01，
n(lg2－1)≤－2?n≥，
因为lg2＝0.3，所以n≥?n≥3.
即这位同学至少需投3次．
10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．
解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)由题意，P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2·＝，
P(ξ＝2)＝C·2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以，随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P
11.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．
解析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C22＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.
由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
课时训练14 离散型随机变量的数学期望
(限时：10分钟)
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A. B．2
C. D．3
答案：A
2．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
3．已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝，则E(η)＝( )
A. B.
C. D.
答案：C
4．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝__________.
答案：
5．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1 000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．
(1)求甲和乙都不获奖的概率．
(2)设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值E(X)．
解析：(1)设“甲和乙都不获奖”为事件A，
则P(A)＝··＝，
所以，甲和乙都不获奖的概率为.
(2)X的所有可能的取值为0,400,600,1 000，
P(X＝0)＝··＝，
P(X＝400)＝··＝，
P(X＝600)＝··＝，
P(X＝1 000)＝＋··＝，
所以X的分布列为
X
0
400
600
1 000
P
所以E(X)＝0×＋400×＋600×＋1 000×＝500(元)．
(限时：30分钟)
一、选择题
1．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：X＝2,3.
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值是( )
A．0.6 B．1
C．3.5 D．2
解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
答案：C
3．已知随机变量X的分布列是
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
，E(X)＝7.5，则a等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，
0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4.
答案：C
4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
解析：由题意，设没有发芽的种子数为随机变量ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，E(ξ)＝1 000×0.1＝100，补种的种子数X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.
答案：B
5．从抽签盒中编号为1,2,3,4,5,6的6支签中，任意抽取3支，设X为这3支签中号码最大的一个，则X的均值是( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：由题意可知，X可以取值3,4,5,6，
且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝＝5.25.
答案：B
二、填空题
6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝__________.
解析：由分布列的性质，得＋＋m＝1，即m＝，所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝，
即－a＋3＝，得a＝2.
答案：2
7．若随机变量X～B，E(X)＝2，则P(X＝1)等于__________．
解析：∵X～B，∴E(X)＝n×＝2，∴n＝4.
∴P(X＝1)＝C·1·3＝.
答案：
8．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝__________.
解析：X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：1.75
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ)．
解析：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
P(A··)＝P(A)P()P()＝×2＝.
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3
＝2×－3＝－.
方法二：由于Y＝2X－3，
所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及均值E(η)．
解析：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
因此η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
课时训练 15 离散型随机变量的方差
(限时：10分钟)
1．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.
答案：A
2．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
解析：随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
1－m
m
所以E(ξ)＝0·(1－m)＋1·m＝m.
所以D(ξ)＝(0－m)2·(1－m)＋(1－m)2·m＝m(1－m)．
答案：D
3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为__________．
解析：＝ ＝.
答案：
4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，则自动包装机__________的质量较好．
解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中，故乙的质量较好．
答案：乙
5．2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县(北纬30.3°，东经103.0°)发生7.0级地震．一方有难，八方支援，重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动．其中重庆某医院外科派出由5名骨干医生组成的救援小组，奔赴受灾第一线参与救援．现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的芦山、宝山、天全县中的某一个．
若将随机分配到芦山县的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列、期望和方差．
解析：由条件可知，ξ～B，
故P(ξ＝i)＝Ci5－i，(i＝0,1,2，…，5)
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
所以E(ξ)＝np＝5×＝，
D(ξ)＝np(1－p)＝5××＝.
(限时：30分钟)
一、选择题
1．掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上一面是3的次数的均值和方差分别是( )
A．2和5 B．2和
C．4和 D.和1
解析：由题意知变量符合二项分布，掷一次骰子相当于做一次独立重复试验，且发生的概率是，所以E(ξ)＝12×＝2，D(ξ)＝12××＝.
答案：B
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4，由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
解析：∵D(X甲)＞D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻整齐．
答案：B
3．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析：由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.
答案：B
4．若随机变量X的分布列如下表所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝( )
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．－0.4
解析：根据题意，得
解得所以a－b＝－0.2.
答案：C
5．D(ξ－D(ξ))的值为( )
A．0 B．1
C．D(ξ) D．2D(ξ)
解析：因为D(ξ)是一个常数，而常数的方差等于零，所以D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)－0＝D(ξ)．
答案：C
二、填空题
6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为__________．
解析：∵X～B，∴D(X)＝3××＝.
答案：
7．某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6，则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分为__________；方差为__________．
解析：成绩平均分为85，方差为51.
答案：85 51
8．一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望与方差分别为________．
解析：记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，则η＝4ξ，
依题意知：ξ～B(25,0.8)．
所以E(ξ)＝25×0.8＝20，
D(ξ)＝25×0.8×0.2＝4，
所以E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×20＝80，
D(η)＝D(4ξ)＝42D(ξ)＝16×4＝64.
答案：80,64
三、解答题：每小题15分，共45分．
9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2(单位：s)，其分布列如下：
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
解析：∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)＜D(X2)．
由上可知，A面大钟的质量较好．
10．某人投弹击中目标的概率为p＝0.8，
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时，击中次数Y的均值和方差．
解析：(1)X的分布列为：
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，
所以E(Y)＝np＝10×0.8＝8，
D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
11．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲
分数X甲
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2
乙
分数X乙
80
90
100
概率
0.4
0.2
0.4
试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．
解析：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为
E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.
方差分别为：
D(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.
由上面数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＜D(X乙)．
这表示，甲、乙两人所得分数的平均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．
课时训练 16 正态分布
(限时：10分钟)
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案：A
2．如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
答案：A
3．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )
A．22.8% B．45.6%
C．95.44% D．97.22%
答案：C
4．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X＞a－1)，则实数a的值为__________．
解析：因为随机变量X～N(1,52)，所以正态曲线关于x＝1对称，因为P(X≤0)＝P(X＞a－1)，所以0与a－1关于x＝1对称，所以×(0＋a－1)＝1，所以a＝3.
答案：3
5．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是f(x)＝e，x∈R.试求光通量在下列范围内的白炽灯的个数．
(1)(209－6,209＋6)．
(2)(209－18,209＋18)．
解析：由于X的概率密度函数为
f(x)＝e，
所以μ＝209，σ＝6.
所以μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.
μ－3σ＝209－6×3＝209－18，
μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.
因此光通量X的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.
(1)光通量X在(209－6,209＋6)范围内的白炽灯个数大约是10 000×0.682 6＝6 826.
(2)光通量X在(209－18,209＋18)范围内的白炽灯个数大约是10 000×0.997 4＝9 974.
(限时：30分钟)
一、选择题
1．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0
B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3
C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0
D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3
解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e.在x＝0时，取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.
答案：D
2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ＞c)，则c的值为( )
A．0 B．μ
C．－μ D．σ2
解析：由正态分布密度曲线的性质知：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ.
答案：B
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ≥c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：方法一：由P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)可知
2＝，解得c＝2.
方法二：∵P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，
∴正态曲线关于x＝c对称，又N(2,9)，∴c＝2.
答案：B
4．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则( )
A．P1＞P2 B．P1＜P2
C．P1＝P2 D．不确定
解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
答案：C
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：∵ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴P(ξ＜2)＝.
∴P(2＜ξ＜4)＝0.8－＝0.3.∴P(0＜ξ＜2)＝0.3.
答案：C
二、填空题
6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝__________.
解析：P(－1＜ξ＜0)＝P(－1＜ξ＜1)
＝[1－2P(ξ＞1)]＝－P(ξ＞1)
＝－p.
答案：－p
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为__________．
解析：由X～N(1，σ2)(σ＞0)，知正态曲线的对称轴为x＝1，从而由图像可知P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，所以P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.
答案：0.8
8．某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率是__________．
解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＜X≤70)＝P(50－20＜X≤50＋20)＝0.954 4.
答案：0.954 4
三、解答题
9．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．
解析：由题意得：μ＝70，σ＝10，
P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.
(1)P(ξ＜60)＝－P(60＜ξ≤80)
＝－×0.682 6
＝0.158 7.
(2)P(ξ≥90)＝－P(50＜ξ≤90)
＝－×0.954 4
＝0.022 8.
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.
10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？
解析：由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，据此质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．
11．某批待出口的水果罐头，每罐净重X(g)服从正态分布N(184,2.52)，求：
(1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g的概率；
(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g小于等于189 g的概率．
解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5.
(1)易知P(X＞186.5)＝P(X＜181.5)，又P(181.5≤X≤186.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，
所以P(X＞186.5)＝[1－P(181.5≤X≤186.5)]
＝(1－0.682 6)＝0.158 7.
(2)P(179＜X≤189)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
