3.1.2 不等关系与不等式
[A 基础达标]
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A
B D．A>B
解析：选B.因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)
＝＋b2≥0，
所以A≥B.
2．已知aA.> B．ab<1
C.>1 D．a2>b2
解析：选D.由ab2，故选D.
3．如果loga3>logb3，且a＋b＝1，那么( )
A．0C．1解析：选A.因为a＋b＝1，a，b>0，
所以0因为loga3>logb3，所以>.
所以lg a4．设α∈，β∈，则2α－的范围是( )
A. B．
C．(0，π) D．
解析：选D.0＜2α＜π，0≤≤，所以－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2C．ab>a2 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D.由<<0，得b6．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述不等关系为________．
解析：设买票面8角的x套，买票面2元的y套，
由题意列不等式组，得
即
答案：
7．已知0解析：因为00，1＋b>0，1－ab>0，
所以M－N＝＋＝>0，即M>N.
答案：M>N
8．若m>2，则mm与2m的大小关系是________．
解析：因为＝，又m>2，
所以>1，所以>1，又2m>0，故mm>2m.
答案：mm>2m
9．(1)已知a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明：(1)由于－＝
＝，
因为a所以b＋a<0，b－a>0，ab>0，
所以<0，
故<.
(2)因为<，所以－<0，
即<0，
而a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
解：设该校拟建的初级机房有x台计算机、高级机房有y台计算机，则
解得
因为x、y为整数，所以或
即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．
[B 能力提升]
11．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：选A.因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.所以bb>a>c.
12．若规定＝ad－bc，则与的大小关系为________．(a，b∈R，且a≠b)
解析：－＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0(因为a≠b)，
所以>.
答案：>
13．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b.
则甲采购员两次购粮的平均单价为
＝元/kg，
乙采购员两次购粮的平均单价为
＝元/kg.
因为－＝＝，
又a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
所以＞0，即＞.
所以乙采购员的购粮方式更合算．
14．(选做题)设f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得，
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
法二：由，
得，
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
3.2.1 一元二次不等式的解法
[A 基础达标]
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是( )
A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
解析：选C.－x2－x＋2≥0?x2＋x－2≤0?(x＋2)(x－1)≤0?－2≤x≤1.
2．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0; ②x2－2x＋>0；
③x2＋6x＋10>0; ④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选C.①显然不可能；
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
④中不等式可化2x2－3x＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.
3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
解析：选B.由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
4．不等式2x2＋2x－4≤的解集为( )
A．[－1，3] B．[－3，－1]
C．[－3，1] D．[1，3]
解析：选C.2x2＋2x－4≤?2x2＋2x－4≤2－1，
即x2＋2x－4≤－1，
所以x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故选C.
5．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )
A．{x|x>5a或x<－a}
B．{x|x<5a或x>－a}
C．{x|－aD．{x|5a解析：选B.因为x2－4ax－5a2>0，所以(x－5a)(x＋a)>0.因为a<－，所以5a<－a.所以不等式的解为x>－a或x<5a.故选B.
6．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________．
解析：原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1，
可化为2x2－x＋1≤0，
由于判别式Δ＝－7＜0，
所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，
因此原不等式的解集是?.
答案：?
7．已知关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是________．
解析：由不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，可知a<0，且a＝b，则不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集等价于不等式(x＋1)(x－3)<0的解集，即不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集为(－1，3)．
答案：(－1，3)
8．若关于x的不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1解析：因为不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1所以1，m是方程x2－3x＋t＝0的两根，
所以，解得.
所以t＋m＝4.
答案：4
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x2－2x＋3＞0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0.
故原不等式的解集是.
(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
10．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，
因此?m＝－.
[B 能力提升]
11．若关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集为，则a的取值范围为( )
A．a<0或a>1 B．a>1
C．0解析：选B.不等式ax2－(a＋1)x＋1<0可化为(ax－1)(x－1)<0，由不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集为，得a>0，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝，且<1，则a的取值范围为a>1，故选B.
12．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．
解析：由题意有或
解得－1＜x＜0或0≤x＜－1，
所以所求x的取值范围为(－1，－1)．
答案：(－1，－1)
13．已知：f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3，2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)c为何值时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R.
解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为x∈(－3，2)．
所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根．
所以且a<0，可得
所以f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由a<0，知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，要使不等式－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，故c≤－.
所以当c≤－时，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R.
14．(选做题)已知不等式mx2＋nx－<0的解集为.
(1)求m，n的值；
(2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)>0，其中a是实数．
解：(1)由不等式mx2＋nx－<0的解集为，得方程mx2＋nx－＝0的两根为－，2，且m<0，则
解得m＝－1，n＝.
(2)由第一问知，不等式可化为(2a－1－x)(x－1)>0，
即[x－(2a－1)](x－1)<0，而方程[x－(2a－1)](x－1)＝0的两根为x1＝2a－1，x2＝1，
①当2a－1<1，即a<1时，原不等式的解集为{x|2a－1②当2a－1＝1，即a＝1时，原不等式的解集为?；
③当2a－1>1，即a>1时，原不等式的解集为{x|1综上，当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜2a－1}，
当a＝1时，原不等式的解集为?，
当a＜1时，原不等式的解集为{x|2a－1＜x＜1}．
3.2.2 一元二次不等式的应用
[A 基础达标]
1．不等式≥2的解集是( )
A. B．
C.∪(1，3] D．∪(1，3]
解析：选D.因为(x－1)2＞0，
由≥2可得x＋5≥2(x－1)2且x≠1.
所以2x2－5x－3≤0且x≠1，
所以－≤x≤3且x≠1.
所以不等式的解集是∪(1，3]．
2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( )
A．M∩N B．M∪N
C．?R(M∩N) D．?R(M∪N)
解析：选D.＜0?(x＋3)(x－1)＜0，故集合M可化为{x|－3＜x＜1}，将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案．
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝?，则实数a的集合是( )
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}
C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
解析：选D.若a＝0时符合题意，若a＞0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0＜a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}，故选D.
4．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．(1，＋∞)
解析：选B.A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a<.
5．在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．－1C．－解析：选C.(x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，所以－x2＋x＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，所以(2a－3)(2a＋1)<0，即－6．若a＜0，则不等式＞0的解集是________．
解析：原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)＞0，
由于a＜0，所以4a＜－5a，
因此原不等式解集为{x|x＜4a或x＞－5a}．
答案：{x|x＜4a或x＞－5a}
7．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
解析：由题意得七月份的销售额500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以xmin＝20.
答案：20
8．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
所以f(x)在x∈[0，1]上是递减的，
所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3.
所以要使x2－4x≥m对于任意x∈[0，1]恒成立，
则需m≤－3.
答案：(－∞，－3]
9．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，若二次方程ax2－(a＋2)x＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，解不等式f(x)>1.
解：因为函数f(x)是二次函数，所以a≠0，
因为Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
又二次方程ax2－(a＋2)x＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，所以f(－2)f(－1)<0，
而f(－2)＝6a＋5，f(－1)＝2a＋3，
所以(6a＋5)(2a＋3)<0，所以－又a∈Z，所以a＝－1，
所以不等式f(x)>1可化为－x2－x＋1>1，解得－110．一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离L与ω，v之间的关系式L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以每小时50 km行驶时，从刹车到停车行进了10 m，求该车载有等于自身重量的货物行驶时，若要求司机在15 m距离内停车(包含15 m)，并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为1 s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到1 km/h)
解：根据已知当L＝10，v＝50时，
10＝k·502·ω?kω＝.
又司机反应时间1 s内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为kv2·2ω＋×1.
依题意，得kv2·2ω＋×1≤15?＋≤15?18v2＋625v－33 750≤0?0故汽车允许最大时速为29 km/h.
[B 能力提升]
11．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是( )
A．[10，16) B．[12，18)
C．[15，20) D．[10，20)
解析：选C.设这批台灯的销售单价为x元，
则[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，
因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，
所以x2－30x＋200<0的解为10又因为x≥15，所以15≤x＜20，
因此，应将这批台灯的销售单价制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．故选C.
12．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0.
因此，即
于是，不等式＋c>bx可化为－2a>－ax.
因为a<0，所以－2<－x，即<0，
当x＝1时，不等式不成立；
当x≠1时，得x<0.
所以，所求不等式的解集为{x|x<0}．
答案：{x|x<0}
13．解下列不等式：
(1)(x－1)(x－2)(3－x)>0；
(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0；
(3)1＋x－x3－x4>0.
解：(1)因为(x－1)(x－2)(3－x)>0.
所以(x－1)(x－2)(x－3)<0，
又因为方程(x－1)(x－2)(x－3)＝0的根是x1＝1，
x2＝2，x3＝3.
画出数轴、标出根、再穿线如图(1)所示．
所以原不等式的解集为{x|x<1或2(2)方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根是x1＝0，
x2＝x3＝1，x4＝x5＝x6＝－1，x7＝－2，
其中－1为三重根，1为二重根，如图(2)所示．
故不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
(3)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)<0.
而对于x∈R，恒有x2＋x＋1>0，
所以原不等式等价于(x＋1)(x－1)<0，
所以原不等式的解集为{x|－114．(选做题)已知不等式x2＋px＋1＞2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
解：(1)不等式化为：
(x－1)p＋x2－2x＋1＞0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图像是一条直线．又因为|p|≤2，
所以－2≤p≤2，于是得：
即
即所以x＞3或x＜－1.
故x的取值范围是x＞3或x＜－1.
(2)不等式可化为(x－1)p＞－x2＋2x－1，
因为2≤x≤4，所以x－1＞0.
所以p＞＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
所以p＞(1－x)max.
而2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1，
故p的取值范围是p＞－1.
3.3.1 基本不等式
[A 基础达标]
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( )
A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.
2．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．不确定
解析：选A.因为a＞2，所以a－2＞0.
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．
即m∈[4，＋∞)，
由b≠0得b2≠0，
所以2－b2＜2.所以22－b2＜4，即n＜4.
所以n∈(0，4)，综上易知m＞n.
3．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：选D.若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则＜，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．
4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与的大小关系是( )
A．s＝ B．s≤
C．s> D．s≥
解析：选B.由已知得(1＋s%)2
＝(1＋p%)(1＋q%)
≤＝，
于是1＋s%≤1＋.
故s≤.
5．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(x，y＞0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为( )
A．M＜N＜P B．N＜P＜M
C．P＜M＜N D．P＜N＜M
解析：选D.由基本不等式可知≥＝()x＋y＝3≥3，因为x≠y，
所以等号不成立，故P＜N＜M.
6．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．
解析：因为a＜1，
即a－1＜0，
所以－＝(1－a)＋
≥2＝2.即a＋≤－1.
答案：a＋≤－1
7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
解析：因为a＞b＞c，
所以a－b＞0，b－c＞0.
≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.
答案：≤
8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥，
所以loga≥loga＝logat.
答案：≤
9．已知f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x1≠x2时，比较f与的大小．
解：因为f(x)＝ax，
所以f＝a，
[f(x1)＋f(x2)]＝(ax1＋ax2)．
因为a>0且a≠1，x1≠x2，
所以ax1>0，ax2>0，且ax1≠ax2，
所以(ax1＋ax2)> ＝a，
即f<[f(x1)＋f(x2)]．
10．已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3.
证明：＋＋
＝＋＋＋＋＋－3
＝＋＋
－3.
因为a，b，c都是正数，
所以＋≥2＝2，
同理＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6.
因为a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，
所以＋＋＞6，
所以＋＋＞3.
[B 能力提升]
11．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D.因为2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，
所以2≤1，
所以2x＋y≤＝2－2，
所以x＋y≤－2，
即(x＋y)∈(－∞，－2]．
12．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．
解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.
解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)．
答案：[6，＋∞)
13．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
14．(选做题)是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．
解：当x＝y时，由已知不等式得c＝.下面分两部分给出证明：
(1)先证＋≤，此不等式?
3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)?2xy≤x2＋y2，此式显然成立．
(2)再证＋≥，此不等式?
3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)?x2＋y2≥2xy，此式显然成立．
综上可知，存在常数c＝，对任意的实数x，y使题中的不等式成立．
3.3.2 基本不等式与最大（小）值
[A 基础达标]
1．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
2．函数y＝log2(x>1)的最小值为( )
A．－3 B．3
C．4 D．－4
解析：选B.因为x＋＋5
＝(x－1)＋＋6
≥2＋6＝8.
所以log2≥3，所以ymin＝3.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
解析：选B.(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.
4．已知x＞1，y＞1且xy＝16，则log2x·log2y( )
A．有最大值2 B．等于4
C．有最小值3 D．有最大值4
解析：选D.因为x＞1，y＞1，
所以log2x＞0，log2y＞0.
所以log2x·log2y≤
＝＝4，
当且仅当x＝y＝4时取等号．
故选D.
5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：选C.y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2－5＝2×3－5＝1.当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.
6．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为________．
解析：x＋＋y＋
＝x＋＋y＋
＝3＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立．
答案：5
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．
解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
答案：
8．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.
答案：8
9．求下列函数的最小值．
(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；
(2)设x＞－1，求y＝的最小值．
解：(1)2x＋y＝
＝(2x＋y)
＝≥(2＋4)＝.
当且仅当＝时等号成立，即y2＝4x2.
所以y＝2x.
又因为＋＝3，得x＝，y＝.
所以当x＝，y＝时，2x＋y取得最小值为.
(2)因为x＞－1，所以x＋1＞0.
设x＋1＝t＞0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
所以当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1 832－6x－y(x＞6，y＞6，xy＝1 800)．
(2)法一：S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y，xy＝1 800，
即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
法二：S＝1 832－6x－×
＝1 832－≤1 832－2
＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝，
即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝＝45.
[B 能力提升]
11．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则实数m的最大值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C.由已知，可得6＝1，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝
6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，
所以9m≤54，即m≤6，故选C.
12．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：＝＋＋，由基本不等式得，＋＋≥2＋＝4ab＋≥4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．
答案：4
13．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，
得
(1)因为x＞0，y＞0，
所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
所以3xy－2－1≥0，
即3()2－2－1≥0.
所以(3＋1)(－1)≥0.
所以≥1，所以xy≥1.
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
所以xy的最小值为1.
(2)因为x＞0，y＞0，
所以x＋y＋1＝3xy≤3·，
所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.
所以x＋y≥2.
当且仅当x＝y＝1时取等号．
所以x＋y的最小值为2.
14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝2米，AD＝1米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
解：(1)设DN的长为x(x>0)米，
则|AN|＝(x＋1)米，
因为＝，
所以|AM|＝，
所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
由S矩形AMPN>9，得>9，
又x>0，所以2x2－5x＋2>0，
解得02.
即DN的长的取值范围是∪(2，＋∞)．(单位：米)
(2)由(1)知矩形花坛AMPN的面积为y＝＝＝2x＋＋4≥2·＋4＝8(x>0)．
当且仅当2x＝即x＝1时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为8平方米．
3.4.1 二元一次不等式（组）与平面区域
[A 基础达标]
1．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方 B．右上方
C．左下方 D．右下方
解析：选D.将(0，0)代入2x－y－6，得－6＜0，(0，0)点在不等式2x－y－6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．
2．已知点(a，2a－1)既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(5，＋∞) C．(0，2) D．(0，5)
解析：选D.因为(a，2a－1)在直线y＝3x－6的上方，
所以3a－6－(2a－1)＜0.即a＜5.
又(a，2a－1)在y轴右侧，所以a＞0.
所以0＜a＜5.
3．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析：选C.画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(3，0)共6个．
4．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是( )
解析：选C.原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
5．在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
解析：选D.由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1.
因为S△ABC＝2，所以(1＋a)×1＝2，所以a＝3.
6．不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积为________．
解析：原不等式等价于
其表示的平面区域如图中阴影部分．
所以S＝()2＝2.
答案：2
7．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有________个．
解析：画出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
因为直线2x＋y－10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点(5，0)．
答案：1
8．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
解析：区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0，1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．
由方程组解得A(1，0)．
由方程组解得B(2，3)．
所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.
答案：
9．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，试求b的取值范围．
解：由于点P(1，－2)关于原点的对称点的坐标为(－1，2)，由题意得，点(1，－2)和(－1，2)都在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，
所以整理得
解得－所以b的取值范围是.
10．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t，1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4，12)，由
解得C(－4，4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
所以S＝×16×8＝64.
(2)由已知得
即亦即得t＝－1，0，1，2，3，4.
故整数t的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．
[B 能力提升]
11．某人上午7：00乘汽车以v1千米/时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距离300 km的B地，在B地不停留，然后骑摩托车以v2千米/时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距离50 km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x，y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x，y的范围阴影部分如图表示正确的是( )
解析：选B.由题可得，v1＝，v2＝.
所以即
作图得B.
12．若以原点为圆心的圆全部在不等式组表示的平面区域内，则圆的面积的最大值为________．
解析：因为原点到直线x－3y＋6＝0，2x＋y－4＝0，3x＋4y＋9＝0的距离分别为，，，且<<，所以以原点为圆心，为半径的圆是所给平面区域内面积最大的圆，其面积为π＝.
答案：
13．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名大学生可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．
解：不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是
对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．
14．(选做题)已知点M(a，b)在由不等式组
表示的平面区域内，求点N(a＋b，a－b)所在的平面区域的面积．
解：因为点M(a，b)在不等式组表示的平面区域内，所以设X＝a＋b，Y＝a－b，
则即
所以点N(a＋b，a－b)，即点N(X，Y)所在的平面区域如图阴影部分所示．
由图可知其面积为S＝×4×2＝4.
3.4.2 简单线性规划
[A 基础达标]
1．不等式组表示的平面区域是( )
A．矩形 B．三角形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选B.不等式组?
或，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.
2．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1，1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.
3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－ D．－
解析：选C.如图所示，
所表示的平面区域为图中的阴影部分．
由
得A(3，－1)．
当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－.
4．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选A.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1，－1)，要使题中不等式组表示的区域为三角形区域，首先必须使k<0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l1与l2，易得k的取值范围是(－∞，－1)．
5．实数x，y满足不等式组则W＝的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1，1)的连线的斜率，由图可知点A(－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W＜1.
6.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z最大．
答案：(0，5)
7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
答案：－10
8．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
解析：不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2，3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.
答案：
9．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．
解：因为f(x)≤1在[0，1]上恒成立，
所以
即 将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为.
10．已知x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值；
(2)求z＝的取值范围．
解：作出可行域如图所示．
(1)作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．
解得A.
解得B(5，3)．
所以zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋＝.
(2)z＝＝，可看作区域内的点(x，y)与点D(－5，－5)连线的斜率，由图可知，kBD≤z≤kCD.
因为kBD＝＝，kCD＝＝，所以z＝的取值范围是.
[B 能力提升]
11．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B．
C．4 D．
解析：选B.由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．因为kAC＝－，所以a＝.
12．设点P(x，y)是不等式组所表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1，1)，n＝(2，1)，点O是坐标原点，若向量＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是________．
解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x，y)＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x＋3y，变形得y＝x＋.当直线y＝x＋过点A(－1，0)时，z取得最大值，且zmax＝2；当直线y＝x＋过点B(3，0)时，z取得最小值，且zmin＝－6.故λ－μ的取值范围是[－6，2]．
答案：[－6，2]
13．在约束条件下，当3≤s≤5时，求目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围．
解：如图，由
得
交点为B(4－s，2s－4)，其他各交点分别为A(2，0)，C(0，s)，C′(0，4)．
(1)当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC，此时7≤zmax＜8；
(2)当4≤s≤5时，可行域是△OAC′，此时zmax＝8.
由(1)，(2)可知目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7，8]．
14．(选做题)实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；
(2)的取值范围；
(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．
解：方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组
?
由解得A(－3，1)；
由解得B(－2，0)；
由解得C(－1，0)．
所以在如图所示的坐标平面aOb内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．
(1)△ABC的面积为S△ABC＝×|BC|×h＝(h为A到Oa轴的距离)．
(2)的几何意义是点(a，b)和点D(1，2)连线的斜率．
kAD＝＝，kCD＝＝1.
由图可知，kAD＜＜kCD.
所以＜＜1，
即∈.
(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．
3.4.3 简单线性规划的应用
[A 基础达标]
1．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种教学用品应各买的件数为( )
A．2件，4件 B．3件，3件
C．4件，2件 D．不确定
解析：选B.设买A种教学用品x件，B种教学用品y件，剩下的钱为z元，
则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．
2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析：选C.设购买软件x片，磁盘y盒，则画出线性约束条件表示的平面区域，可行域内的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
解析：选B.设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，
则
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：选B.设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱(x，y∈N)，根据题意，得约束条件
画出可行域如图．目标函数z＝280x＋200y，
即y＝－x＋，
作直线y＝－x并平移，得最优解A(15，55)．
所以当x＝15，y＝55时，z取最大值．
5．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )
A．甲4组、乙2组 B．甲2组、乙4组
C．甲、乙各3组 D．甲3组、乙2组
解析：选D.设甲种x组，
乙种y组．则
总的组数z＝x＋y，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分，寻找整点分析，x＝3，y＝2时，为最优解．
6．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
7．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．
解析：设买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示，
将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.
答案：37
8．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．
解析：设甲种产品装x件，乙种产品装y件(x，y∈N)，总利润为z万元，
则且z＝10x＋20y.作出可行域，如图中的阴影部分所示．
作直线l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.当l0向右上方平移时z的值变大，平移到经过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点(4，1)时，zmax＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．
答案：60万元
9．A，B两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？
解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，则从B仓库调40－x万个到甲地，20－y万个到乙地，总运费记为z元，
则有
z＝120x＋180y＋100(40－x)＋150(20－y)，
即z＝20x＋30y＋7 000，作出可行域及直线l0：20x＋30y＝0，经平移知直线经可行域上点M(30，0)时与原点距离最小，即x＝30，y＝0时，z有最小值，zmin＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．
10．雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元．
(1)若投资人用x万元投资甲项目，y万元投资乙项目，试写出x，y所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x，y范围的图形．
(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：(1)由题意，知x，y满足的条件为
上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)．
(2)根据第一问的规划和题设条件，可知目标函数为z＝x＋0.6y.
如图所示，作直线l0：x＋0.6y＝0.
当直线l0经平移过直线x＋y＝10与0.2x＋0.1y＝1.6的交点A时，其纵截距最大，解方程组解得
即A(6，4)，此时z＝6＋0.6×4＝8.4(万元)，
所以当x＝6，y＝4时，z取得最大值．
即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大．
[B 能力提升]
11．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg，生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg，B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )
A．500元 B．700元
C．400元 D．650元
解析：选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x，y件，
则x，y满足
利润z＝30x＋20y.
不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点，根据目标函数的几何意义，在直线2x＋3y＝60和直线4x＋2y＝80的交点B处取得最大值，解方程组得B(15，10)，代入目标函数得zmax＝30×15＋20×10＝650.
12．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元．每天调配A型卡车______辆，B型卡车______辆，可使公司所花的成本费用最低．
解析：设每天调出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，依题意有
目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．
作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分，即可行域．
由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8，0)使z＝320x＋504y取得最小值，
zmin＝320×8＋504×0＝2 560(元)．
答案：8 0
13．某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万m3/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万m3/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m3；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m3，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m3，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m3.试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？
解：设第一化工厂每天处理工业废水x万m3，
需满足：≤0.2%，0≤x≤2；
设第二化工厂每天处理工业废水y万m3，需满足：
≤0.2%，0≤y≤1.4.
两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z＝1 000x＋800y元．
问题即为：在约束条件
即
求目标函数z＝200(5x＋4y)的最小值．如图，作出可行域．可知当x＝1，y＝0.8时目标函数有最小值，即第一化工厂每天处理工业废水1万m3，第二化工厂每天处理工业废水0.8万m3，能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小．
14．(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋， 这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20，24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
第三章 不等式
1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0，x∈R}，B＝{x|x2－1≥0，x∈R}，则A∩B等于( )
A．{x|－1B．{x|x≤－1或1≤x<2}
C．{x|1D．{x|1≤x<2}
解析：选D.因为A＝{x|－1B＝{x|x≥1或x≤－1}，
所以A∩B＝{x|1≤x<2}．
2．已知z＝2x＋y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则实数a的值是( )
A. B．
C. D．
解析：选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0，平移该直线，当相应直线分别经过该平面区域内的点(a，a)与(1，1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小与最大，此时z＝2x＋y取得最小值与最大值，于是有2×1＋1＝4(2a＋a)，a＝.
3．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．a(a－b)＞0
解析：选C.由已知可得，c＜0，a＞0，b不一定，若b＝0时，C不一定成立，故选C.
4．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．
解析：＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝，
即|xy|＝时等号成立．
答案：9
5．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为__________时，日获利不少于1 300元．
解析：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解之得20≤x≤45.
因此，该厂日产量为20件至45件时，
日获利不少于1 300元．
答案：20件至45件
6．已知实数x，y满足不等式组且z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值为2，求实数m的取值范围．
解：画出可行域如图所示(阴影部分)，由题意，知z＝(x＋1)2＋(y－1)2，过点(－1，1)作直线y＝x的垂线，垂足为原点O，点(－1，1)与点O之间距离的平方恰好为2，说明点O一定在可行域内，则直线y＝x＋m在y轴上的截距m≤0.
第三章 不等式
章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
解析：选C.由题意知?－1＜x＜1.
2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A．f(x)>g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)解析：选A.因f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，故f(x)>g(x)．
3．不等式≤2的解集是( )
A．{x|x＜－8或x＞－3}
B．{x|x≤－8或x＞－3}
C．{x|－3≤x≤2}
D．{x|－3＜x≤2}
解析：选B.原不等式可化为－2≤0，
即≤0，
即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得：x≤－8或x＞－3.
4．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有( )
A．最小值和最大值1
B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值
D．最小值1
解析：选B.因为x2y2≤＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，所以(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2≥.因为x2y2≥0，所以≤1－x2y2≤1.
5．若不等式<0和不等式ax2＋bx－2>0的解集相同，则a，b的值分别为( )
A．－8，－10 B．－4，－9
C．－1，9 D．－1，2
解析：选B.因为不等式<0的解集为(－2，－)，所以不等式ax2＋bx－2>0的解集为(－2，－)，所以二次方程ax2＋bx－2＝0的两个根为－2，－，所以，所以a＝－4，b＝－9.故选B.
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
解析：选A.
?
??－4≤x≤－3.
7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
解析：选A.设车站到仓库距离为x(x＞0)，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，因为x＝10时，y1＝2，y2＝8，所以k1＝20，k2＝，所以费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．
8．已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是( )
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
解析：选A.作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z取得最大值，故zmax＝－2×1＋1＝－1.
9．已知x＞0，y＞0.若＋＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2＜m＜4 D．－4＜m＜2
解析：选D.因为x＞0，y＞0，所以＋≥8(当且仅当＝时取“＝”)．若＋＞m2＋2m恒成立，
则m2＋2m＜8，解之得－4＜m＜2.
10．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是( )
A．[3，8] B．[3，6]
C．[6，7] D．[4，5]
解析：选A.设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，
则(λ＋μ)x＋(λ－μ)y＝2x－3y，
所以解得
所以z＝－(x＋y)＋(x－y)．
因为－1≤x＋y≤4，
所以－2≤－(x＋y)≤.①
因为2≤x－y≤3，
所以5≤(x－y)≤.②
①＋②得，3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
所以z的取值范围是[3，8]．
11．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则实数a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－3
解析：选C.因为不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，所以对一切x∈，
ax≥－x2－1，即a≥－恒成立．
令g(x)＝－＝－.
易知g(x)＝－在内为增函数．所以当x＝时，g(x)max＝－，所以a的取值范围是，即a的最小值是－.故选C.
12．已知x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到的最小值为2，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C. D．2
解析：选B.画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当直线z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，
即2＝2a＋b，
所以2－2a＝b，
所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20.构造函数m(a)＝5a2－8a＋20(＞a＞0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－8a＋20的最小值是＝4，
即a2＋b2的最小值为4.故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．函数y＝2－x－(x＞0)的值域为________．
解析：当x＞0时，y＝2－≤2－2＝－2.当且仅当x＝，x＝2时取等号．
答案：(－∞，－2]
14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是________．
解析：由题意，知方程x2－4x＋m＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m≤0，解得m≥4，又x2－(m＋3)x＋3m<0等价于(x－3)(x－m)<0，
所以3答案：(3，m)
15．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域内的一个动点，则·的取值范围是________．
解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，因为＝(－1，1)，＝(x，y)，所以·＝－x＋y.取目标函数z＝－x＋y，则y＝x＋z.作斜率为1的一族平行线，当直线经过点C(1，1)时，z取最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当直线经过点B(0，2)时，z取最大值，即zmax＝0＋2＝2，于是0≤z≤2，即·的取值范围是[0，2]．
答案：[0，2]
16．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.
因为a2＋b2＋c2＝1，
所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，
所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，
所以3a2≤2，所以a2≤，所以－≤a≤.
所以amax＝.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋，解不等式f(x)－f(x－1)＞2x－1.
解：由题意可得
x2＋－(x－1)2－＞2x－1，
化简得＜0，即x(x－1)＜0，
解得0＜x＜1.
所以原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．
18．(本小题满分12分)正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)·＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
19．(本小题满分12分)已知x、y、z是实数，a、b、c是正实数，求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋xz)．
证明：法一：x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋xz)＝x2－2xy＋y2＋x2－2xz＋z2＋y2－2yz＋z2＝＋＋
≥0.
所以x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋xz)成立．
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
法二：x2＋y2＋z2＝＋＋≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋yz＋xz)．当且仅当a＝b＝c时等号成立．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－2所以不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)因为f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
则x2－4x＋7≥m(x－1)．
所以对一切x>2，均有不等式≥m成立．
又＝(x－1)＋－2
≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．
所以实数m的取值范围是(－∞，2]．
21．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
解：设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示．
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5，0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立．
(1)证明：f(2)＝2；
(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；
(3)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图像上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：由条件知：f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，所以f(2)＝2.
(2)因为所以4a＋c＝2b＝1.
所以b＝，c＝1－4a.
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
所以a＞0，Δ＝－4a(1－4a)≤0，
解得：a＝，c＝.所以f(x)＝x2＋x＋.
(3)g(x)＝x2＋x＋＞，在x∈[0，＋∞)上恒成立．
即x2＋4(1－m)x＋2＞0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
①Δ＜0，即[4(1－m)]2－8＜0.
解得：1－＜m＜1＋.
②解得：m≤1－，
综上m∈.
