1.1.1 数列的概念
[A 基础达标]
1．下列说法中不正确的是( )
A．数列a，a，a，…是无穷数列
B．1，－3，，－7，－8，10不是一个数列
C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C.，0，，0 D．2，0，2，0
解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么( )
A．30是数列{an}的一项 B．44是数列{an}的一项
C．66是数列{an}的一项 D．90是数列{an}的一项
解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．
4．已知数列的通项公式是an＝则该数列的前两项分别是( )
A．2，4 B．2，2
C．2，0 D．1，2
解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.
5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，所以猜想an＝，故选C.
6．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n.
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
7．已知数列{an}的前4项为11，102，1 003，10 004，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2 017－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝2 017－3n>0，得n<＝672，又因为n∈N＋，所以正整数n的最大值为672.
答案：672
9．已知数列{n(n＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．
10．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
解：将a1＝2，a2＝代入通项公式，
得解得所以an＝，
所以a4＝＝，a5＝＝.
[B 能力提升]
11．已知数列{an}的通项公式为an＝sin nθ，0<θ<，若a3＝，则a15＝____________．
解析：a3＝sin 3θ＝，又0<θ<，所以0<3θ<，所以3θ＝，所以a15＝sin 15θ＝sin π＝.
答案：
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 017这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．
解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an＝15n－14.
由an＝15n－14≤2 017得n≤135.4，当n＝1时，此时a1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134.
答案：134
13．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 016；
(3)2 017是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)．
由a1＝3，且a17＝67，得，
解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.
(2)易得a2 016＝4×2 016－1＝8 063.
(3)令2 017＝4n－1，得n＝＝?N＋，
所以2 017不是数列{an}中的项．
14．(选做题)已知数列，
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；
(4)在区间内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝＝＝.令n＝10，得第10项a10＝.
(2)令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝＝＝1－，
又n∈N＋，所以0<<1，所以0
所以数列中的各项都在区间(0，1)内．
(4)令<<，所以
所以所以当且仅当n＝2时，上式成立，故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
1.1.2 数列的函数特性
[A 基础达标]
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
解析：选A.因为an＋1－an＝3>0，故数列{an}是递增数列．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
解析：选B.因为an＋1－an＝－＝<0，所以an＋13．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．109 B．108
C．108 D．107
解析：选C.an＝－2n2＋29n＋3＝
－2＋3＝－2·＋3＋，当n＝7时，an最大且等于108，故选C.
4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析：选C.因为{an}是递减数列，所以an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.由an＋1＝<0，解得所以n＝5.
6．已知下列数列：
①2 010，2 014，2 018，2 022；
②0，，，…，，…；
③1，，，…，，…；
④1，－，，…，，…；
⑤6，6，6，6，6，6.
其中，有穷数列是______，无穷数列是______，递增数列是______，递减数列是______，常数列是______，摆动数列是________．(将符合条件的数列的序号填在横线上)
解析：①是有穷递增数列；②是无穷递增数列；③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤是常数列，也是有穷数列．
答案：①⑤ ②③④ ①② ③ ⑤ ④
7．已知数列{an}中，an＝n·，当an最大时，n＝________．
解析：an＋1－an＝·，故当n＝1，2，3时，an＋1>an；当n≥4时，an＋1答案：4
8．已知数列{an}为单调递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________．
解析：由于数列{an}为单调递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－＝1－＞0，即λ＜n(n＋1)(n∈N＋)，所以λ＜2.
答案：(－∞，2)
9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，
(1)数列中有多少项为负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求此最小值．
解：(1)由n2－5n＋4<0得1所以n＝2或3.所以数列中有2项为负数．
(2)因为an＝n2－5n＋4＝－，
又因为n∈N＋，
所以n＝2或3时，an有最小值－2.
10．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．
(1)求证：an>－2；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解：(1)证明：因为f(x)＝
＝＝－2＋，
所以an＝－2＋.
因为n∈N＋，所以an>－2.
(2)数列{an}为递减数列．
因为an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝<0，
即an＋1[B 能力提升]
11．一给定函数y＝f(x)的图像在下列各图中，并且对任意an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an(n∈N＋)，则该函数的图像是( )
解析：选A.由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an.可以知道x∈(0，1)时f(x)>x，即f(x)的图像在y＝x图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A符合条件．
12．已知通项公式为an＝(m2－2m)(n3－2n)的数列是递减数列，则实数m的取值范围为____________．
解析：因为数列{an}为递减数列，所以an＋1所以an＋1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)<0.因为n∈N＋，所以3n2＋3n－1＝3－≥5>0.
所以m2－2m<0，解得0答案：(0，2)
13．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)，试问n取何值时，an取最大值？试求出an的最大值．
解：因为＝＝＝＋·，由＝1，解得n＝7，
则当n＝7时，＝1，即a7＝a8.
当n<7时，>1，即an＋1>an.
当n≥8时，<1，即an＋1则当n＝7或n＝8时，an取最大值，
最大值为a7＝a8＝.
14．(选做题)设f(x)＝log2x－logx4(0解：因为f(x)＝log2x－logx4(0所以log22an－log2an4＝2n，由换底公式，得log22an－＝2n，即an－＝2n，所以a－2nan－2＝0，
所以an＝n±.①
由0由①②得an＝n－，此即为数列{an}的通项公式．
1.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
[A 基础达标]
1．下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；
④数列{2n＋1}是等差数列．
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③④ D．③④
解析：选C.②③④正确，①中公差为－2.
2．已知{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：选C.因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为d2的等差数列
D．公差为4d的等差数列
解析：选C.由于dan－dan－1＝d(an－an－1)＝d2(n≥2，n∈N＋)，故选C.
4．若一个等差数列的首项a1＝1，末项an＝41(n≥3)，且公差为整数，则项数n的取值个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B.由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，解得d＝.又d为整数，n≥3，则n＝3，5，6，9，11，21，41，共7个．故选B.
5．已知等差数列{an}的首项a1＝，第10项是第一个比1大的项，则公差d的取值范围是( )
A．d＞ B．d＜
C.＜d＜ D．＜d≤
解析：选D.设{an}的通项公式为an＝＋(n－1)d，
由题意得即解得＜d≤.
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝15，2a6＝a3＋7，且ak＝13，则k＝____________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
所以a4＋a7＋a10＝15，即a1＋6d＝5，①
2a6＝a3＋7，即a1＋8d＝7，②
联立解①②组成的方程组得
所以an＝n－2，又因为ak＝13，
令k－2＝13.所以k＝15.
答案：15
7．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列为等差数列，则a5＝________．
解析：由题意，，成等差数列，
所以2×＝＋，解得a5＝.
答案：
8．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图像与x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2
9．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
解：由题意知，
所以解得
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 017.
解：(1)证明：因为xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，所以＝＝＋，
所以－＝(n≥2且n∈N＋)，
所以是等差数列．
(2)由第一问知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
所以＝＝.
所以x2 017＝.
[B 能力提升]
11．(2018·“江淮十校”联考)古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )
A.斤 B．斤
C．2斤 D．斤
解析：选D.由题意可知等差数列{an}中
，
即，
解得d＝－，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝.故选D.
12．首项为－24的等差数列{an}，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________．
解析：设等差数列的公差为d，则通项公式an＝－24＋(n－1)d，由
解得即公差的取值范围是.
答案：
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.
(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．
解：(1)证明：(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.
(2)由第一问可知，
an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，
所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.
14．(选做题)若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，①
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，②
②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列．
(2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，
所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，
所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1.
所以an＝.
1.2.1 第2课时 等差数列的性质
[A 基础达标]
1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30 B．15
C．5 D．10
解析：选B.因为数列{an}为等差数列，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a2＋a4)＝×6＝15.
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
解析：选A.由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，
所以a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．
3．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( )
A．－6 B．6
C．0 D．10
解析：选B.由于{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an－bn}也是等差数列，
而a1－b1＝6，a20－b20＝6，
所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B.
4．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为( )
A．105 B．120
C．90 D．75
解析：选A.由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.
5．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q等于( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D．
解析：选B.设等差数列{an}的公差为d.
因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，
即q－p＝(p－q)d，因为p≠q，所以d＝－1.
故ap＋q＝ap＋[(p＋q)－p]d＝q＋(－1)q＝0.
6．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，则am＝________．
解析：因为m－n，m，m＋n成等差数列，又因为{an}是等差数列，所以am－n，am，am＋n成等差数列，所以am＝.
答案：
7．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．
解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.
答案：20
8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________．
解析：由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
9．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：
(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an>100的n的最小值是15，
试求公差d和首项a1的值．
解：因为a3＋a5＋a7＝93，
所以3a5＝93，所以a5＝31，
所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>＋5.
因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，
所以6又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.
10．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．
解：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为an＝3n＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为bm＝4m＋8.
根据公共项的意义，就是两项相等，令an＝bm，
即n＝＋1，该方程有正整数解时，m＝3k，k为正整数，令k＝1，得m＝3，则n＝5，
因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．
[B 能力提升]
11．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…；{bn}：3，7，11，…，都有100项，则它们的公共项的个数为( )
A．20 B．23
C．25 D．27
解析：选C.在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3，所以an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，所以bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，所以n＝－1.因为m，n∈N＋，所以m＝3k(k∈N＋)．又，所以012．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．
解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.
又{cn}为21项的对称数列，
所以c2＝c20＝19.
答案：19
13．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．
解：(1)设等差数列的公差为d.
因为a1＋a2＋a3＝12.
所以a2＝4，
因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以16＝4＋6d，所以d＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故an＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.
14．(选做题)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．
试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)
解：设在相同的时间内，
从低到高每档产品的产量分别为
a1，a2，…，a10，
利润分别为b1，b2，…，b10，
则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，
所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，
所以利润f(n)＝anbn
＝(－3n＋63)(2n＋6)
＝－6n2＋108n＋378
＝－6(n－9)2＋864.
显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.
所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．
1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和
[A 基础达标]
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S2＝4，则公差d为( )
A．2 B．3
C．6 D．7
解析：选B.由得解得
2．已知数列{an}为等差数列，a10＝10，数列前10项和S10＝70，则公差d＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D.由S10＝，得70＝5(a1＋10)，解得a1＝4，所以d＝＝＝，故选D.
3．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
解析：选B.(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，则3(a1＋a20)＝54，所以a1＋a20＝18.则S20＝＝10×18＝180.
4．已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝2n2＋3n，则( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列
C．是公差为4的等差数列 D．不是等差数列
解析：选A.因为Sn＝2n2＋3n，所以＝2n＋3，
当n≥2时，－＝2n＋3－2(n－1)－3＝2，
故是公差为2的等差数列．
5．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.＝＝＝＝＝.
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________．
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5知，6×(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.
答案：
8．若等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a1>0，Sn为其前n项和，则Sn最大时n＝________．
解析：因为3a8＝5a13，所以3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－，故an＝a1＋(n－1)d＝a1－(n－1)＝(41－2n)．由a1>0可得当n≤20时，an>0，当n>20时，an<0，所以Sn最大时n＝20.
答案：20
9．已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
所以an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由a1＝1，d＝－2，得Sn＝2n－n2.
又Sk＝－35，则2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N＋，故k＝7.
10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
解：设最下面一层放n根，则最多可堆n层，
则1＋2＋3＋…＋n＝≥600，
所以n2＋n－1 200≥0，
记f(n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，
而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根．
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．
[B 能力提升]
11．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B.由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
所以4(a1＋an)＝280，所以a1＋an＝70.
又Sn＝＝×70＝210，所以n＝6.
12．若两个等差数列的前n项和之比是(7n＋1)∶(4n＋27)，则它们的第11项之比为____________．
解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，
则a11＝，b11＝，
所以＝＝＝＝＝.
答案：4∶3
13．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)证明：数列为等差数列，并求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意S＝an，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)得S＝(Sn－Sn－1)(n≥2)，
化简整理得－＝2(n≥2)，知数列为公差为2的等差数列，所以＝＋(n－1)×2＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝.
(2)bn＝＝×，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值；
(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c的值．
解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d>0，所以a3(2)由(1)知a1＝1，d＝4，
所以Sn＝na1＋·d＝2n2－n＝2－，所以当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.
(3)由(2)知Sn＝2n2－n，所以bn＝＝，
所以b1＝，b2＝，b3＝.因为数列{bn}是等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，得2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0(舍去)，所以c＝－.
1.2.2 第2课时 等差数列习题课
[A 基础达标]
1．在数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )
A．a21和a22 B．a22和a23
C．a23和a24 D．a24和a25
解析：选C.因为an＋1＝an－，所以数列{an}是等差数列，且公差为－，
所以an＝15＋(n－1)·.因为a23＝，a24＝－，所以a23a24<0.
2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是( )
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
解析：选C.依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．
3．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
解析：选D.因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．
4．数列{an}满足：a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a2 018＝( )
A．0 B．－
C. D．
解析：选B.由a1＝0，an＋1＝，令n＝1，得a2＝＝－；令n＝2，得a3＝＝；令n＝3，得a4＝＝0＝a1，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a2 018＝a3×672＋2＝a2＝－，故选B.
5．已知数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，则b2 018＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{bn}是周期为6的周期数列，所以b2 018＝b336×6＋2＝b2＝1.故选B.
6．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为________．
解析：由题意可知数列{an}的首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取最大值时，n＝7或8.
答案：7或8
7．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________．
解析：法一：S9＝S4，即＝，
所以9a5＝2(a1＋a4)，
即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，
所以d＝－，
由1－(k－1)＋1＋3·＝0，得k＝10.
法二：S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，所以k＝10.
答案：10
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n＝________．
解析：由a1＋a3＋a5＝105，得3a3＝105，即a3＝35.
由a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33.
所以d＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n，则a1＝39.
所以Sn＝＝＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
所以当n＝20时，Sn取最大值．
答案：20
9．在等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn.求：
(1)等差数列{an}的通项公式；
(2)Sn，n为何值时，Sn最大．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
根据题意，得a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，
解得a1＝6，d＝－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8.
(2)由第一问可知Sn＝6n＋·(－2)＝－n2＋7n＝－＋.
因为S3＝－9＋21＝12，S4＝－16＋28＝12，
所以当n＝3或n＝4时，Sn最大．
10．已知数列{an}的通项公式an＝31－3n，求数列{|an|}的前n项和Hn.
解：设{an}的前n项和为Sn.
由an＝31－3n可得Sn＝－n2＋n.
由an≥0，解出n≤≈10.3.
当n≤10时，Hn＝Sn＝－n2＋n；
当n≥11时，Hn＝2S10－Sn＝n2－n＋290.
所以Hn＝
[B 能力提升]
11．设等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a1>0，则前n项和Sn中最大的是( )
A．S10 B．S11
C．S20 D．S21
解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，由3a8＝5a13，即3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，得a1＝－d>0，所以d<0，则an＝a1＋(n－1)d＝－d＋(n－1)d.由an<0，得n>＝20.5，即从第21项开始为负数，故S20最大．
12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．
解析：由题意可得an＋an＋1＝5，所以an＋1＋an＋2＝5.所以an＋2－an＝0.因为a1＝2，所以a2＝5－a1＝3.所以当n为偶数时，an＝3；当n为奇数时，an＝2.所以a18＝3.
答案：3
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，
因为S12>0，S13<0，
所以即
所以－(2)因为S12>0，S13<0，
所以所以所以a6>0，
又由第一问知d<0.
所以数列前6项为正，从第7项起为负．
所以数列前6项和最大．
14．(选做题)在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－18，其前n项和为Sn，
(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；
(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
解：(1)因为a16＋a17＋a18＝a9＝－18，
所以a17＝－6.又a9＝－18，所以d＝＝.
首项a1＝a9－8d＝－30.所以an＝n－.
若前n项和Sn最小，则
即所以n＝20或21.
这表明：当n＝20或21时，Sn取最小值．最小值为S20＝S21＝－315.
(2)由an＝n－≤0?n≤21.
所以当n≤21时，Tn＝－Sn＝(41n－n2)，
当n>21时，Tn＝－a1－a2－…－a21＋a22＋…＋an
＝Sn－2S21＝(n2－41n)＋630.
故Tn＝
1.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式
[A 基础达标]
1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选B.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，所以q＝±4.因为a1a2＝aq＝16＞0，所以q＞0，所以q＝4.
2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
解析：选D.由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C.在等比数列{an}中，因为a1＝1，所以am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.又因为am＝ qm－1，所以m－1＝10，所以m＝11.
4．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．16
解析：选B.因为点(an，an＋1)在直线y＝2x上，
所以an＋1＝2an.
因为a1＝1≠0，
所以an≠0，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a4＝1×23＝8.
5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.设这个数为x，
则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
所以这三个数为45，75，125，公比q为＝.
6．(1)把下面数列填上适当的数．
32，16，________，4，2，1.
(2)数列2，4，8，16，32，…，的一个通项公式为________．
解析：(1)公比为的等比数列．
(2)该数列为等比数列，首项a1＝2，公比q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n.
答案：(1)8 (2)an＝2n
7．已知等比数列{an}的前三项为a－2，a＋2，a＋8，则等于________．
解析：由题意知(a＋2)2＝(a－2)(a＋8)，
所以a＝10，
所以{an}的首项为8，公比为，
即an＝8×，
所以＝＝.
答案：
8．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________．
解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q>1，所以q＝2.
答案：2
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，
所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝
32×＝28－n；
当q＝－时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝
32×.
所以an＝28－n或an＝32×.
(2)当an＝时，28－n＝或32×＝，解得n＝9.
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，
所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
[B 能力提升]
11．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，令{x}＝x－[x]，则，，，三个数构成的数列( )
A．是等比数列但不是等差数列
B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：选A.因为＝1，所以＝－＝－1＝.由于·＝12，＋＝≠2×1，所以，1，成等比数列，不成等差数列，即，，成等比数列，不成等差数列．
12．已知等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，2a2成等比数列，则an＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a2＝q，a3＝q2.因为a1，a3，2a2成等比数列，
所以q4＝2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.
答案：2n－1
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)设bn＝an＋1＋2an，求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1，
Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an，
所以an＋1＝2an①，
由已知及①式可知an≠0.
所以由＝2，知{an}是等比数列．
由a1＝S1＝2a1＋1，
得a1＝－1，所以an＝－2n－1.
(2)证明：由第一问知，an＝－2n－1，
所以bn＝an＋1＋2an＝－2n－2×2n－1＝－2×2n＝－2n＋1＝－4×2n－1.
所以数列{bn}是等比数列．
14．(选做题)在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比；
(2)是否存在a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．
解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，{bn}的公比为q(q≠0)，由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，得1＋d＝q.由a8＝b3，得1＋7d＝q2，解得(舍去)或即数列{an}的公差为5，数列{bn}的公比为6.
(2)假设存在a，b，使得an＝logabn＋b成立，即1＋(n－1)·5＝loga6n－1＋b，所以5n－4＝(n－1)loga6＋b，所以(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0.要使上式对于一切自然数n成立，必须且只需解得因此，存在a＝，b＝1使得结论成立．
1.3.1 第2课时 等比数列的性质
[A 基础达标]
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选D.由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．
2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是 ( )
A．1 B．2
C. D．
解析：选C.a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，
所以a3a6＋a4a5＝.
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于( )
A．10 B．25
C．50 D．75
解析：选B.法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.
法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝25.
4．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )
A．300元 B．900元
C．2 400元 D．3 600元
解析：选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×＝2 400(元)．
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C.等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．
解析：因为a6a10＝a，a3a5＝a，
所以a＋a＝41.
又因为a4a8＝5，an>0，
所以a4＋a8＝
＝＝.
答案：
7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，
则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
8．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是________．
解析：由题意可得所以y＝，所以＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.
答案：
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．
解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，
这三个数可表示为2－d，2，2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解之得d＝6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4，2，8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为8，2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
所以d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4，2，8.
10．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N＋)的前n项和．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为a＝9a2a6＝9a，
所以q2＝＝，因为an＞0，所以q＞0，所以q＝，
因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝，
所以an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝log3(a1·a2·…·an)
＝log3＝－.
设数列的前n项和为Sn，
则Sn＝－2
＝－2
＝－2＝－.
[B 能力提升]
11．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝( )
A．20 B．512
C．1 013 D．1 024
解析：选D.因为bn＝，且b10·b11＝2，
又{bn}是等比数列，
所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，
则··…＝b1b2b3…b20＝210，即＝1 024，
从而a21＝1 024a1＝1 024.
12．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
解析：因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－.
答案：－
13．如图所示，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连接各边中点得△A2B2C2，再连接△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
证明：由题意，得△AnBnCn(n＝1，2，3…)的边长AnBn构成首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝，所以S△AnBnCn＝，
所以＝＝.
因此，数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
14．(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列．则b＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－因为m≥2，m∈N＋，所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．
1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和
[A 基础达标]
1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为( )
A．1＋ B．
C. D．以上皆错
解析：选D.当a＝1时，Sn＝n，故选D.
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选C.设{an}的公比为q，
因为4a1，2a2，a3成等差数列，
所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，
即q2－4q＋4＝0，所以q＝2，
又a1＝1，所以S4＝＝15，故选C.
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选A.因为S3＋3S2＝0，
所以＋＝0，
即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去)．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝( )
A. B．－
C. D．
解析：选A.法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝＝.故选A.
法二：因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝＝－，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8× ＝.故选A.
5．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90 B．70
C．40 D．30
解析：选C.因为S30≠3S10，所以q≠1.
由得
所以
所以q20＋q10－12＝0.所以q10＝3，
所以S20＝＝S10(1＋q10)
＝10×(1＋3)＝40.
6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
解析：因为在等比数列{an}中，前3项之和等于21，
所以＝21，所以a1＝1.
所以an＝4n－1.
答案：4n－1
7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.
答案：2n＋1－n－2
8．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________．
解析：设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.
又a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1，
所以＝，所以S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝×[1－(－2)5]＝11.
答案：11
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
10．数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．
解：(1)设数列{an}的公差为d，
因为a1，a2，a6成等比数列，
所以a＝a1·a6，
所以(1＋d)2＝1×(1＋5d)，
所以d2＝3d，
因为d≠0，
所以d＝3，
所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝＝4，
故b1＋b2＋…＋bk＝＝.
令＝85，即4k＝256，
解得k＝4.
故正整数k的值为4.
[B 能力提升]
11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：选B.设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.所以两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2，又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以a·q＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.
12．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和S奇为85，所有偶数项之和S偶为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．
解析：设公比为q，
由得
所以S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)
＝a1q2·＝585.
答案：585
13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋…＋a2n.
解：由条件知S1＝a1＝1.
(1)①当c＝1时，an＝?an＝
②当c≠1时，an＝
(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；
②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×；
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)
＝570＋70××4×
＝780－210×，
An＝，
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又
A8＝＝82>80，
A9＝＝76<80，
所以须在第9年初对M更新．
1.3.2 第2课时 数列求和习题
[A 基础达标]
1．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.
2．若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2
解析：选C.Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝＋＝2n＋1－2＋n2.
3．数列{an}中，an＝，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析：选B.数列{an}的前n项和为＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0.所以其在y轴上的截距为－9.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn等于( )
A．6n－n2 B．n2－6n＋18
C. D．
解析：选C.因为由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.
所以an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
n≤3时，an<0，n>3时，an>0，
Tn＝
5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝( )
A．2n B．2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
解析：选D.因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
6．已知数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于________．
解析：an＝＝1－，
所以Sn＝n－＝n－1＋＝＝5＋，
所以n＝6.
答案：6
7．已知ln x＋ln x2＋…＋ln x10＝110，则ln x＋ln2 x＋ln3 x＋…＋ln10 x＝________．
解析：由ln x＋ln x2＋…＋ln x10＝110.
得(1＋2＋3＋…＋10)ln x＝110，所以ln x＝2.
从而ln x＋ln2 x＋…＋ln10 x＝2＋22＋23＋…＋210
＝＝211－2＝2 046.
答案：2 046
8．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________．
解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
答案：100
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，
B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，
且Sn＝，n∈N＋；
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
解：(1)证明：因为Sn＝，n∈N＋，
所以当n＝1时，a1＝S1＝，
所以a1＝1.
当n≥2时，由
得2an＝a＋an－a－an－1.
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
因为an＋an－1＞0，
所以an－an－1＝1(n≥2)．
所以数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得an＝n，
Sn＝，
bn＝＝＝－.
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
[B 能力提升]
11．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是( )
A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2
解析：选D.因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，所以2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，有2Sn－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n－n，得Sn＝2n＋1－2－n.
12．已知数列{an}中，an＝4×(－1)n－1－n(n∈N＋)，则数列{an}的前2n项和S2n＝________．
解析：S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋
[4(－1)2n－1－2n]＝4[(－1)0＋(－1)1＋
(－1)2＋…＋(－1)2n－1]－(1＋2＋3＋…＋2n)＝－＝－n(2n＋1)．
答案：－n(2n＋1)
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝
设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
得解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，
则n为奇数时，cn＝＝－.
n为偶数时，cn＝2n－1，
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝
＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)．
14．(选做题)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，…，Pn＋1(xn＋1, n＋1)得到折线P1 P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知q＞0.
由题意得
所以3q2－5q－2＝0.
因为q＞0，
所以q＝2，x1＝1，
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
1.4 数列在日常经济生活中的应用
[A 基础达标]
1．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为( )
A．p B．12p
C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1
解析：选D.设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1，故选D.
2．某种产品计划每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是( )
A．a3q% B．a·(q%)3
C．a(1－q%)3 D．
解析：选D.设现在的成本为x元，则x(1－q%)3＝a，所以x＝，故选D.
3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )
A．2－1 B．2－1
C．3－1 D．3－1
解析：选A.设2012年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝2－1，故选A.
4．某企业2015年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2015年度的产值月平均增长率为( )
A. B．－1
C.－1 D．
解析：选C.设2015年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，所以r＝－1.故选C.
5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
C.[(1＋p)7－(1＋p)]
D.[(1＋p)8－(1＋p)]
解析：选D.2007年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1＋p)7，2008年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1＋p)6，依次类推，则2013年存入的a元到2014年的本息和为a(1＋p)，每年所得的本息和构成一个以a(1＋p)为首项，1＋p为公比的等比数列，则到2014年取回的总额为a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝＝[(1＋p)8－(1＋p)]．
6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．
解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar.
答案：78ar
7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n年后这辆车的价值为an元，则an＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．
解析：n年后这辆车的价值构成等比数列{an}，其中，a1＝100 000×(1－10%)，q＝1－10%，所以an＝100 000×(1－10%)n，所以a4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．
答案：100 000×(1－10%)n 65 610
8．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．
解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34 685，解得a＝4 955，则2a＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.
答案：9 910
9．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款10 000元，两年还清，月利率为0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？
解：贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为：10 000×(1＋0.457 5%)24
＝10 000×1.004 57524(元)．
设每月还x元，则到期时总共还
x＋1.004 575x＋…＋1.004 57523x
＝x·.
于是x·
＝10 000×1.004 57524.
所以x≈440.91(元)．
即每月应还440.91元．
10．甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
解：(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有a1＝a，当n≥2时，
an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]
＝(n－1)a，
所以an＝
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝a(n∈N＋)．
(2)易知bn＜3a，所以乙超市将被甲超市收购，
由bn＜an，
得a＜(n－1)a.
所以n＋4＞7，所以n≥7，
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
[B 能力提升]
11．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( )
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
解析：选C.设大约n年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a1＝5 000台，公比q＝1.1，Sn＝30 000，所以由30 000＝?1.1n＝1.6?n＝≈5，故选C.
12．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售价b(b>a)以及实数x(0解析：由已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，因为b>a，b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝，因为0答案：
13．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2又n∈N＋，知从第三年开始获利．
14．(选做题)某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．
(1)求该林场第六年植树的面积；
(2)设前n(1≤n≤10且n∈N＋)年林场植树的总面积为Sn亩，求Sn的表达式．
解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a，24a，36a，54a，81a.所以该林场第六年植树面积为80a亩．
(2)设第n年林场植树的面积为an亩，
则an＝
所以当1≤n≤5时，
Sn＝16a＋24a＋…＋×16a
＝＝32a.
当6≤n≤10时，
Sn＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＋…＋(86－n)a
＝211a＋80a＋…＋(86－n)a
＝211a＋
＝211a＋.
所以所求Sn的表达式为Sn＝
第一章 数列
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1.
2．若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1(n∈N＋)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
解析：选A.由递推关系式得a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
3．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于( )
A. B．
C．10 D．12
解析：选B.因为公差为1，
所以S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
因为 S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
所以a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.
4．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
5．等比数列{an}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝________．
解析：S偶＝a2＋a4＋…＋a20，
S奇＝a1＋a3＋…＋a19，则＝q，
所以S奇＝＝＝2.所以S20＝S偶＋S奇＝6＋2＝8.
答案：8
第一章 数列
章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知实数－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于( )
A．－4 B．±4
C．－2 D．±2
解析：选C.因为xz＝(－1)×(－2)＝2，y2＝2，
所以y＝－(y＝不合题意，舍去)，
所以xyz＝－2.
2．有穷数列1，23，26，29，…，23n＋6的项数是( )
A．3n＋7 B．3n＋6
C．n＋3 D．n＋2
解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n＋6，为等差数列，且首项a1＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，3n＋6＝0＋(x－1)×3，所以x＝n＋3.故选C.
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…， 按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )
A．33个 B．65个
C．66个 D．129个
解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}．
则即＝2.
所以an－1＝1·2n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65.
4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
A．90 B．100
C．145 D．190
解析：选B.设公差为d，所以(1＋d)2＝1×(1＋4d)，
因为d≠0，所以d＝2，从而S10＝100.
5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中不可能是{Sn}的图像的是( )
解析：选D.因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以设Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数y＝ax2＋bx的图象是过原点的一条曲线．当a＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．选D.
6．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于( )
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
解析：选A.设y＝kx＋b(k≠0)，因为f(0)＝1，所以b＝1.又因为f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，所以(4k＋1)2＝(k＋1)·(13k＋1)，所以k＝2，所以y＝2x＋1.所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2(2＋4＋…＋2n)＋n＝2n2＋2n＋n＝n(2n＋3)．故选A.
7．已知Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1，2，3，…)，则数列{an}( )
A．是公比为2的等比数列
B．是公差为2的等差数列
C．是公比为的等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
解析：选D.因为log2Sn＝n，所以Sn＝2n，则a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
因为a1＝2不适合上式，
所以{an}既非等差数列，也非等比数列．
8．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，则使得为等差数列的实数λ等于( )
A．2 B．5
C．－ D．
解析：选C.a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝，
则b1＝，b2＝，b3＝，
因为b1＋b3＝2b2，所以λ＝－.
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＋a11＝10，则＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选D.在等差数列{an}中，S20＝＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＝100，所以＝＝－＝－lg 100＝－2.故选D.
10．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
解析：选A.由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.
11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝( )
A．n B．－n
C．－ D．
解析：选C.因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为 Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.
又＝－1，所以{}是首项为－1，公差为－1的等差数列．
所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.
12．对于正项数列{an}，定义Gn＝为数列{an}的“匀称”值．已知数列{an}的“匀称”值为Gn＝n＋2，则该数列中的a10等于( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：选D.因为Gn＝，
数列{an}的“匀称”值为Gn＝n＋2，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋2)，①
所以n≥2时，
a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)(n＋1)，②
①－②得nan＝2n＋1，所以an＝，n≥2，当n＝1时，a1＝G1＝3满足上式．
所以an＝，a10＝.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．
解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)知{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝＝＝255.
答案：16 255
14．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________．
解析：由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，
所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以Sn＝4n－1，
所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.
答案：768
15．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．
解析：因为an＋1＝，
所以an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
所以周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，所以a1＝.
答案：
16．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则通项为an＝的数列{an}的前n项和为________．
解析：因为a，b，a＋b成等差数列，
所以2b＝a＋a＋b，故b＝2a.
因为a，b，ab成等比数列，
所以b2＝a2b，又b≠0，故b＝a2，
所以a2＝2a，又a≠0，所以a＝2，b＝4，
所以an＝＝＝
＝2，所以{an}的前n项和Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝2＝.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}(n∈N＋)满足a1＝2，a3＝6.
(1)求该数列的公差d和通项公式an；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn≥2n＋12，求正整数n的取值范围．
解：(1)由题意得d＝＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，n∈N＋.
(2)Sn＝×n＝n2＋n，由Sn≥2n＋12，
解得n≥4或n≤－3.
所以n≥4且n∈N＋.
18．(本小题满分12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，
a6＝0，所以解得
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，即q＝3.
所以数列{bn}的前n项和为＝4(1－3n)．
19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.设cn＝an－1，
(1)求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＋Sn＝n，①
所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，
所以2(an＋1－1)＝an－1，
所以＝，所以{an－1}是等比数列．
又a1＋a1＝1，所以a1＝，
因为c1＝a1－1，所以c1＝－.
又cn＝an－1，
所以{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)由第一问可知cn＝·＝－，
所以an＝cn＋1＝1－.
所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝.
又b1＝a1＝代入上式也符合，所以bn＝.
20．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少(可取1.110≈2.6)?
(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?
解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a－x；
2年后住房总面积为1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；3年后住房总面积为1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；…
10年后住房总面积为
1．110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x
＝1.110a－x≈2.6a－16x.
由题意，得2.6a－16x＝2a.
解得x＝a(m2)．
(2)所求百分比为＝≈6.3%.
即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.
21．(本小题满分12分)设数列是等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a1＝1，a2a3a4＝64.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当数列{Sn＋λ}也是等比数列时，求实数λ的值．
解：(1)因为数列是等比数列，
所以数列{an}也是等比数列．
设等比数列{an}的公比为q，则a＝a2a3a4＝64，
解得a3＝4.所以q2＝＝4，解得q＝2或q＝－2.
当q＝2时，数列{an}的通项公式为an＝2n－1；
当q＝－2时，数列{an}的通项公式为an＝(－2)n－1.
(2)当q＝2时，Sn＋λ＝＋λ＝2·2n－1＋λ－1，
当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{Sn＋λ}是首项为2，公比为2的等比数列．
同理当q＝－2时，Sn＋λ＝＋λ＝·(－2)n－1＋λ＋，当且仅当λ＋＝0，即λ＝－时，数列{Sn＋λ}是首项为，公比为－2的等比数列．
所以λ的值为1或－.
22．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nan＋an－c(c是常数，n∈N＋)，a2＝6.
(1)求c的值及数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m－2对任意n∈N＋恒成立，求正整数m的最大值．
解：(1)因为Sn＝nan＋an－c，
所以当n＝1时，S1＝a1＋a1－c，解得a1＝2c.
当n＝2时，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝a2＋a2－c.
解得a2＝3c，所以3c＝6，解得c＝2.则a1＝4，
数列{an}的公差d＝a2－a1＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.
(2)因为bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
由①－②可得Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝1－－，所以Tn＝2－.
因为Tn＋1－Tn＝－＝＞0，
所以数列{Tn}单调递增，T1最小，最小值为.
所以2×＞m－2.所以m＜3，
故正整数m的最大值为2.
