2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（必修3%2b必修4）专题04+大题好拿分【提升版】（20题）

2017-2018学年度下学期期末考试备考黄金30题系列
大题好拿分（人教版必修三、必修四）【提升版】
（解答题20道）
班级：________ 姓名：________
解答题
1．某商店对新引进的商品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
定价(元)
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量（件）
100
94
93
90
85
78
(1)求回归直线方程；
(2)假设今后销售依然服从(Ⅰ)中的关系，且该商品金价为每件5元，为获得最大利润，商店应该如何定价？（利润=销售收入-成本）
参考公式：.
【答案】（1）；（2）9.5
详解：(1),
,
,
.
(2)设商店的获利为元，则
,
当且仅当时，取得最大值405，即商店应定为9.5元.
点睛：本题主要考查线性回归方程的应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
2．某机构为了解某市民用电情况，抽查了该市100户居民月均用电量（单位：，以分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求样本中月均用电量为的用户数量；
(2)估计月均用电量的中位数；
(3)在月均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则月均用电量为的用户中应该抽取多少户？
【答案】（1）15；（2）224；（3）10
【解析】分析：（1）根据各矩形面积之和为求得月均用电量为的用户的频率，从而可得结果；（2）由频率分布直方图面积为的横坐标即为月均用电量的中位数；（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比列为，，由此能求出月平均用电量在的用户中应抽取的户数.
详解：(1)由得,
所以月均用电量为的频率为，用户应有户.
(2)因为，所以月均用电量的中位数在内.
设中位数为，则，解得，即中位数为224.
(3)月均用电量为的用户有（户），同理可求月均用电量为
的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比列为，所以从月均用电量在的用户中应抽取(户).
点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.
3．下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.
(1)求的值；（直接写出结果，不必写过程）
(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）甲代表队的中位数为76，结合茎叶图能求出x的值；乙代表队的平均数为75，结合茎叶图能求出y的值；（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解．
4．在年初的时候，国家政府工作报告明确提出， 年要坚决打好蓝天保卫战，加快解决燃煤污染问题，全面实施散煤综合治理.实施煤改电工程后，某县城的近六个月的月用煤量逐渐减少， 月至月的用煤量如下表所示：
月份
用煤量（千吨）
（1）由于某些原因， 中一个数据丢失，但根据至月份的数据得出样本平均值是，求出丢失的数据；
（2）请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）现在用（2）中得到的线性回归方程中得到的估计数据与月月的实际数据的误差来判断该地区的改造项目是否达到预期，若误差均不超过，则认为该地区的改造已经达到预期，否则认为改造未达预期，请判断该地区的煤改电项目是否达预期？
（参考公式：线性回归方程，其中 ）
【答案】（1）4（2）（3）该地区的煤改电项目已经达到预期
【解析】试题分析：（1）根据平均数计算公式得，解得丢失的数据；（2）根据公式求，再根据求；（3）根据线性回归方程求估计数据，并与实际数据比较误差，确定结论.
试题解析：解：（1）设丢失的数据为，则
得，即丢失的数据是.
（2）由数据求得，
由公式求得
所以关于的线性回归方程为
（3）当时， ，
同样，当时， ，
所以，该地区的煤改电项目已经达到预期
5．联合国教科文组织规定，每年的4月23日是“世界读书日”．某校研究生学习小组为了解本校学生的阅读情况，随机调查了本校400名学生在这一天的阅读时间（单位：分钟），将时间数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；
（3）若用分层抽样的方法从这400名学生中抽取50人参加交流会，则在阅读时间为的两组中分别抽取多少人？
【答案】(1) ;(2)43.6;(3) 阅读时间在分钟的应抽取（人），阅读时间在分钟的应抽取（人）．
【解析】试题分析：（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可求解的值；
（2）由样本的频率分布直方图，求解数据的平均数，即可作出估计；
（3）由样本的频率分布直方图，得到各个时间段的概率，即可求解相应的人数.
试题解析：
（1）由已知，得，
解得；
（2）由样本的频率分布直方图，估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间为：
（分钟）．
（3）阅读时间在分钟的人数为，
阅读时间在分钟的人数为，
所以阅读时间在分钟的应抽取（人），
阅读时间在分钟的应抽取（人）．
6．如图,已知单位圆x2+y2=1与x轴正半轴交于点P,当圆上一动点Q从P出发沿逆时针方向旋转一周回到P点后停止运动设OQ扫过的扇形对应的圆心角为xrad,当0(Ⅰ)写出程序框图中①②处的函数关系式;
(Ⅱ)若输出的y值为2,求点Q的坐标.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题意得到函数解析式为f(x)=，根据这一条件可得到结果；（2）当0解析：
(I)当0当π综上可知,函数解析式为f(x)=.
所以框图中①②处应填充的式子分别为y=cos,y=-cos ,
(Ⅱ)若输出的y值为,则
当0当7．阅读程序框图，并完成下列问题：
（1）若输入x＝0，求输出的结果；
（2）请将该程序框图改成分段函数解析式；
（3）若输出的函数值在区间内，求输入的实数x的取值范围．
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【解析】试题分析：（1）由x＝0，得：f(0)=20=1；（2）写出分段函数;(3)由函数的值域，解出x的取值范围.
试题解析：
（1）输入x＝0, ,所以输出结果为f(0)=20=1；
（2）；
（3）．
8．某校有教师400人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下：
学历
35岁以下
35-55岁
55岁及以上
本科
60
40
硕士
80
40
(1)若随机抽取一人，年龄是35岁以下的概率为，求；
(2)在35-55岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名教师中任选2人，求两人中至多有1人的学历为本科的概率.
【答案】（1）20；（2）
【解析】分析：（1）(1)由由古典概型概率公式，解得,故；（2）由分层抽样的规律可知，需学历为研究生的2人，记为，学历为本科的3人，记为的，列举可得总的基本事件，找出符合题意得基本事件，由古典概型公式可得.
详解：(1)由已知可知，解得,
故.
(2)由分层抽样的规则可知，样本中学历为硕士的人数为人，记为,
学历为本科的人数为人.记为,
从中任选2人所有的基本事件为
共10个，
设“至多有1人的学历为本科”为事件，则事件包含的基本事件为
，共7个.
所以.
点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 总体中个体差异明显，层次分明适合分层抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.
9．小王、小张两位同学玩投掷正四面体（每个面都为等边三角形的正三棱锥）骰子（骰子质地均匀，各面上的点数分别为）游戏，规则：小王现掷一枚骰子，向下的点数记为，小张后掷一枚骰子，向下的点数记为，
（1）在直角坐标系中，以为坐标的点共有几个？试求点落在直线上的概率；
（2）规定：若，则小王赢，若，则小张赢，其他情况不分输赢，试问这个游戏公平吗？请说明理由.
【答案】（1）16，；（2）不公平
试题解析：
（1）由于，
则以为坐标的点有： ，共个，
其中落在直线上，因此所求的概率为；
（2）满足的点有：共个，所以小王赢的概率为，
满足的点有共个，所以小张赢的概率为，
故小王赢的概率小于小张赢的概率，所以这个游戏不公平.
10．设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；
（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.
详解：（1）由题，，周期，∴，
再由，即，
得：，又，∴，，
由，得的单减区间为．
（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）
（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，
由题，，
∴，，
当时，的最小值为．
点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.
11．函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)先将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，求在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】分析：(1)由最大值可得，由，可得，令，得，从而可得的解析式；(2)根据正弦函数的单调性，由，解不等式可得结果；(3)当时，，函数在区间上的值域为,进而可得结果.
详解：(1)由图可知，正弦曲线的振幅为1，所以.
，所以.
令，得，所以.
所以
(2)由，知.
所以函数的单调递增区间为.
(3)由题意知.
当时，，函数在区间上的值域为,
所以函数在区间.
点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象及最值，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
12．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数在区间上的单调性.
【答案】（1）最小正周期，的最大值为2；（2）在上是增函数，在上是减函数.
【解析】分析：（1）先化简函数得到，再求出函数的最小正周期和最大值. （2）先求出，再求出函数在区间上的单调性.
详解：（1）
∴的最小正周期，的最大值为2.
（2）∵，∴
由得
得
∴在上是增函数，在上是减函数.
点睛：本题主要考查三角函数的周期、最值和单调性，属于基础题.
13．已知函数 .
（1）当有是实数解时，求实数的取值范围；
（2）若，对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
（1）由题意可知实数的取值范围为函数的值域，结合三角函数的范围和二次函数的性质可知时函数取得最小值，当时函数取得最大值，实数的取值范围是.
（2）由题意可得时函数取得最大值，当时函数取得最小值，原问题等价于，求解不等式组可得实数的取值范围是.
（2）由，
当时函数取得最大值，
当时函数取得最小值，
故对一切恒成立只需，解得，
所以实数的取值范围是.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
14．已知
（1）求的值;
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）先由求得，从而可判断为负值，利用平方关系可求得的值；（2）令，则， ，利用二倍角的余弦公式可得结果.
试题解析：（1）
（2）令，则
15．设函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若， ， ，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式以及及二倍角余弦公式将展开合并可得，利用正弦函数的单调性列出不等式可得函数的单调递减区间；（2）利用化简结果及，求出， ，结合角的范围解出，使用差角的余弦公式计算即可得结果.
试题解析：（1） ．
当，即 时递增， 递减．所以，函数的单调递减区间为．
（2）由， ，得， ，
∵，则，∴．
．
∴
．
【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.
的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
16．已知向量， ，
（1）设,求;
（2）求向量在方向上的投影.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由， ，可得，利用平面向量数量积公式可得的值；（2）向量在方向的投影为.
试题解析：（1）
（2）向量在方向的投影.
17．已知向量，记.
(1)求的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间是,；（2）.
试题解析：（1）
由，
得，
所以的单调递减区间是
最小正周期为.
（2）将函数的图像向右平移个单位得到的图象，则；
因为，所以，
所以；
若函数在上有零点，则函数 的图像与直线 在上有交点，所以实数的取值范围为.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图像变换及最值，属于中档题.
的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
18．已知是同一平面的三个向量，其中.
（1）若且，求的坐标；
（2）若，且，求的夹角．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）设，进而根据模长求即可；
（2）由得(，将和，代入求解即可.
试题解析：
（1），
即 解得
（2），
.
即
.
19．已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若且，求的值.
【答案】（1） ；(2) .
【解析】试题分析：（1）利用数量积及三角恒等变换知识化简得；（2）由，可得，进而得到，再利用两角和余弦公式即可得到结果.
试题解析：
（1）
， ，即
（2）
，

20．已知函数（）
（1）若，用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数在[0,π]上的图象．
（2）若偶函数，求
（3）在（2）的前提下，将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在的单调递减区间．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）当时得解析式，由五个关键点及区间端点，作出表格，进而画图即可；
（2）因为偶函数，则y轴是图像的对称轴，求出=1，再根据的范围求得的值；
（3）由图像变化得，令，结合定义域即可得解.
试题解析：
（1）当，
列表：
函数
（2）
因为为偶函数，则y轴是图像的对称轴
所以=1，则即
又因为，故 （用偶函数的定义解也给分）.
（3）由（2）知，将f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将横坐标变为原来的4倍，得到,
所以
当，即时，的单调递减，因此在的单调递减区间.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.