2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（必修5%+必修3）专题04+大题好拿分【提升版】（20题）

2017~2018学年度下学期期末考试备考黄金30题之大题好拿分【提升版】高一数学
1．在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若且,求的面积．
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）
因为函数在处取得最大值，所以，得
所以
因为，所以，则函数值域为
(2）因为
所以，则
所以
由余弦定理得
所以，又因为，，所以
则面积．
考点：1．向量的数量积；2．正弦函数的性质；3．正弦定理；4．余弦定理
2．（本小题满分12分）如图，在凸四边形中，为定点，,为动点，满足．
（1）写出与的关系式；
（2）设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值.
【解析】
试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）转化为二次函数求最值，注意角的取值范围.
试题解析：（1）由余弦定理，在中，
在中，
所以，即 4分
（2）, 6分
所以

10分
由题意易知，,所以
当时，有最大值． 12分
考点：1、余弦定理的应用；2、三角函数求最大值.
3．在中，内角所对的边分别为.已知，
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理， ，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知， ，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由， ，故由即可求出，从而得面积．
（2）由， ， 得，由，得，从而，故，所以的面积为．
点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．
4．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1），（2）.
【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出
（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.

试题解析：（1）因为，所以，即.
所以.
（2）因为，由（1）知，所以.
由余弦定理可得，整理得，解得，
因为，所以，
所以的面积.
5．在中，，是边的一个三等分点（靠近点），记.
（1）求的大小；
（2）当取最大值时，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.
（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又 ，由，得.因为，所以 .因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.
试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.
（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又 ，由，得.因为，所以 .因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.
【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．
6．如图，已知平面上直线， 分别是上的动点， 是之间的一定点， 到的距离， 到的距离， 三内角、、所对边分别为， ，且.
（1）判断的形状；
（2）记，求的最大值.
【答案】（1）直角三角形（2）
（II），由（I）得，则
， ， ，
所以时， 的最大值为．………………12分
考点：1、正弦定理的运用；2、三角形形状的判定，3、辅助角公式的运用．
7．已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】分析：（I）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，，可得，为奇数时，，
为偶数时，；（II）由（1）知．为偶数时，，
为奇数时，.
详解：
（1）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为
由已知，得
∵，
∴，解得
为奇数时，
为偶数时，
∴
（2）由（1）知即
为偶数时，
为奇数时，
.
点睛：本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．
8．已知等比数列满足条件，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求的前项和．
【答案】（1）（2）
（2） 当时， ，
当时，①②
由①-②得到，，
综上，
①
②
由①-②得到
，
点睛：该题考查的是有关数列的通项公式与求和的问题，在求解的过程中，注意对等比数列的通项公式的应用，得到题中的数列的首项和公比所满足的条件，从而求得结果；再者就是利用和与项的关系求通项的时候，需要对首项进行验证，在应用错位相减法求和时，需要明确步骤应该怎么写.
9．已知是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，求由该折线与直线， 所围成的区域的面积.
.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：(I)依题意布列和公比的方程组.
（II）利用梯形的面积公式，记梯形的面积为.
求得，
应用错位相减法计算得到
试题解析：(I)设数列的公比为，由已知.
由题意得，所以，
因为,所以，
因此数列的通项公式为
（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意，
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
①-②得
=
所以
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
10．已知等差数列的公差为2，其前项和（， ）.
（1）求的值及的通项公式；
（2）在等比数列中， ， ，令（），
求数列的前项和.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得： ，
分奇偶项讨论，分组求和即可.
试题解析：
（1）
，
，
，
，
（2）∵，
∴， ，
当时，

，
，
，
当时， 是偶数，

.
11．设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.
（1）求；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）(Ⅱ) ．
【解析】试题分析：
（1）利用条件解方程组求出首项和公差，即可写出通项公式，再利用裂项法求和；
（2）写出不等式，分离参数后，转化为求关于n的函数的最小值，利用均值不等式即可求出.
试题解析：
（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，
由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①
又∵ a1，a4，a13成等比数列，
∴ a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简3d=2a1，②
联立①②解得a1=3，d=2，
∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ∴ ，
∴ ．
(Ⅱ) ∵ +11，即，
∴ ，又≥6 ，
当且仅当n=3时，等号成立，
∴ ≥162， ∴ ．
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
12．已知等比数列的前项和为，等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系解得根据待定系数法解得等差数列公差与首项，代人即得的通项公式；（2）根据错位相减法求数列的前项和.注意相减时项的符号变号，求和时项的个数，最后不要忘记除以
（Ⅱ）依题意，，
∴ ，①
∴ ，②
①—②得，
，
∴.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
13．在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立.
(1)求的取值范围；
(2)当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状.
【答案】(1) ;(2) ， 为等边三角形.
【解析】试题分析：(1)对二次项系数分类讨论，借助三个二次的关系布列的不等式组，解之即可；(2)利用（1）得到取最大值，表示的周长借助重要不等式求出面积的最大值，进而判断出的形状.

(2)∵， ，∴的最大值为.
此时，
∴，
∴ (当且仅当时取等号).
∴ (当且仅当时取等号).
此时， 面积的最大值为， 为等边三角形.
14．
已知关于的不等式.
(1)当时，求此不等式的解集.
(2)求关于的不等式（其中）的解集.
【答案】(1) .
(2) ①当时， 或,
②当时， ，
③当时， 或.
【解析】试题分析：第一问将代入不等式，利用一元二次不等式的解法求得结果；第二问将不等式进行整理，将其进行因式分解，之后对进行讨论，讨论的标准就是根的大小以及符号.
(1) ；
所以不等式为，
再转化为，…………………3分
所以原不等式解集为…………………5分
(2)不等式可化为，
即；…………………7分
当时， ，不等式的解集为或；…………………9分
当时， ,不等式的解集为；…………………11分
当时， ,不等式的解集为或；…………………13分
综上所述，原不等式解集为
①当时， 或,
②当时， ，
③当时， 或；…………………14分
15．已知函数， ， ，且.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ，(2) .
(2)解法2：由于，
当时， 总有， 不符合题意，
当时，若，则，
若，则，
则，
∴，
综上.
【解析】试题分析：（1）解得方程的根为， ， ，结合求解即可；（2）利用或，通过当时，当时，结合函数的图象验证求解即可.
试题解析：(1) ，得.
得， ，
∵，∴或.
经检验符合题意，∴.
(2)设由于，
当时， 总有， 不符合题意，
当时，由， 的图象可得，
或成立则
，∴.
16．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班人的成绩记为由右边的程序运行后，输出.据此解答如下问题：
注：图中表示“是”，表示“否”
（1）求茎叶图中破损处分数在，，各区间段的频数；
（2）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数分别是多少？
【答案】（1）4（2）众数75，中位数73.5
【解析】分析：(1)由直方图先求出在之间的频率及频数，由程序框图求出在之间的频数，用样本容量相减，可得答案；
(2)计算各段的频率，进而得到频率最大的组中值即为众数，求出频率的等分线，可得中位数.
详解：（1）由直方图知：在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，
∴在[50，60）之间的频数为2；
由程序框图知：在[70，80）之间的频数为10
所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4；
点睛：该题考查的是有关统计的问题，在解题的过程中，需要明确茎叶图和直方图的意义，以及会读程序框图的结果，从中得到相关的信息，利用众数和中位数的概念求得结果.
17．某高中有高一新生500名，分成水平相同的两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试
（1）求该学校高一新生两类学生各多少人？
（2）经过测试，得到以下三个数据图表：
图1：75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图
图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图
下图表格：100名学生成绩分布表：
①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；
②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.

【答案】（1）A类学生200人，B类学生有300人；（2）
【解析】
（1）由题意知A类学生有（人）
则B类学生有500－200=300（人）.
（2）①表一
图二
组号
分组
频数
频率
1
5
0.05
2
20
0.20
3
25
0.25
4
35
0.35
5
10
0.10
6
5
0.05
合计
100
1.00
②79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.
从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a）、（23）、（2a）、（3a）共6种抽法；
抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法
则抽到2人均在80分以上的概率为
18．去年“十一”期间，昆曲高速公路车辆较多．某调查公司在曲靖收费站从座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔辆就抽取一辆的抽样方法抽取辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，后，得到如图的频率分布直方图．
（I）调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？
（II）求这辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（III）若从这辆车速在的小型汽车中任意抽取辆，求抽出的辆车车速都在的概率．
【答案】（I）系统抽样；（II）众数的估计值为，中位数的估计值为；（III）.
【解析】
试题分析：（I）由于“每间隔辆就抽取一辆”也就是说抽取的汽车间隔相等，符合系统抽样的规则；（II）众数是指出现频率最高的数，在频率分布直方图中用该组的中点来代表，根据就是找频率分布直方图中频率为的分界点，根据各个矩形的面积来求解即可；（III）容易计算车速在的共有辆，其中车速在的有辆，记为，，，，车速在的有辆，记为，，列举出从辆汽车中抽取辆的所有取法，找出抽出的辆车车速都在的取法，作比即得要求的概率.
试题解析：（I）系统抽样．
（II）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为；
由题图可知，中位数应该在之间，设为，
则，，
即中位数的估计值为．
（III）这辆车中，车速在的共有辆，
其中车速在的有辆，记为，，，，
车速在的有辆，记为，．
若从车速在的这辆汽车中任意抽取辆的可能结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共种不同的结果，
其中抽出的辆车车速都在的结果有种，
因为抽到每种结果都是等可能的，
所以从这辆车速在的汽车中任意抽取辆，抽出的辆车车速都在的概率为．
考点：随机抽样、频率分布直方图及古典概型中某事件的概率.
19．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示：
组别
一
二
三
四
五
候车时间(分钟)
人数
2
6
4
2
1
（1）估计这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60 名乘客中候车时间少于10 分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
【答案】（1）10.5；（2）32；（3）.
【解析】试题分析：（1）各组等车时间中间值与频数的积求和,可得这名乘客等车时间的总和，除以可得这名乘客的平均候车时间；（2）根据名乘客中候车时间少于分祌频数和为，可估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数；（3）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人怡好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案.
试题解析：（1）这15名乘客的平均候车时间
约为(分钟)
（2）这15名乘客中候车时间少于10分钟的频率为，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为．
（3）将第三组乘客编号为,第四组乘客编号为，从6人中任选2人共包含以下15个基本事件 ，其中2 人恰好来自不同组包含以下8个基本事件:
，于是所求概率为．
【方法点睛】本题主要考查样本估计总体及古典概型概率公式，，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
20．海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:)，其产量都属于区间，按如下形式分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到频率分布直方图如图：
定义箱产量在(单位:)的网箱为“低产网箱”， 箱产量在区间的网箱为“高产网箱”.
（1）若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；
（2）按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；
（3）若在（2）抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别，求的概率.
【答案】（1）37.5（2）3,5,8,7,2.（3）
【解析】分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，（2）按照分层抽样，应抽数按各箱数的比例分配，（3）先确定5箱中要抽取2箱的总事件数，再确定的含义为高低产箱中各取一箱，以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：
解：　（1）样本中的100个网箱的产量的平均数

（2）各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，
要在此100 箱中抽25箱，所以分层抽样各组应抽数为：3,5,8,7,2.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.