2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（江苏版）（必修2）专题04+大题好拿分（提升版）

1．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点， F、G分别是CB、CD上的点，且．
（1）求证：四边形是梯形；
（2）若，求梯形的中位线的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）首先根据三角的中位线定理得到，且，根据三角形相似得到，且，从而，且成立，即可得结论；（2）根据梯形中位线的长度等于上底和下底之和的一半可得结果.
（2）由（1）知，
从而，梯形的中位线的长为.
点睛：本题考查直线与直线平行的判定，梯形中位线的长度，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
2．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点， F、G分别是CB、CD上的点，且．
（1）求证：四边形是梯形；
（2）若，求梯形的中位线的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）首先根据三角的中位线定理得到，且，根据三角形相似得到，且，从而，且成立，即可得结论；（2）根据梯形中位线的长度等于上底和下底之和的一半可得结果.
（2）由（1）知，
从而，梯形的中位线的长为.
点睛：本题考查直线与直线平行的判定，梯形中位线的长度，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
3．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，＝2＝2．
（1）求证：；
（2）求证：∥平面；
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】分析：（1）取PC中点F，利用等腰三角形的性质可得PC⊥AF，先证明CD⊥平面PAC，可得CD⊥PC，从而EF⊥PC，故有PC⊥平面AEF，进而证得PC⊥AE．
（2）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB．
∴，∴，
∴．
∴．
∴PC⊥．
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．
点睛：点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
4．已知分别为正方体的棱的中点．
（1）求异面直线和所成的角的大小.
（2）求证:.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】分析：(1) 根据异面直线所成角定义进行合理平移即可；（2）要证，可转证，利用好四边形为平行四边形，问题迎刃而解.
详解：（1）因为,所以即为异面直线和所成的角
又因为，所以两条异面直线所成的角为
（2）法1：因为分别为正方体的棱的中点．
所以,,得到,且，
四边形为平行四边形，所以,
同理可证，
又因为,所以,,即证
法2：因为分别为正方体的棱的中点．
所以,,得到，四边形为平行四边形，所以
同理可证
又因为与方向相同，与方向相同，所以
点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．
5．四边形是正方形， 是正方形的中心， 平面， 是的中点．
（1）求证： ∥平面；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证PA∥EO即可，这可由中位线定理得证；
（2）要证，就是要证平面。
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
6．如图，在三棱锥中，平面平面， ， ， ．
（1）求三棱锥的体积；
（2）在平面内经过点，画一条直线，使，请写出作法，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，因为，所以，由面面垂直的性质可得平面，求出的值，利用三角形面积公式求出底面积，从而根据棱锥的条件公式可得三棱锥的体积；（2）在平面中，过点作，交于点，
在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，根据作法，利用线面垂直的判定定理与性质可证明.
因为，所以的面积，
所以三棱锥的体积．
7．已知正三棱柱， 是的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）连接，交于点，连结，由棱柱的性质可得点是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性质可得平面，于是，再由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论.
试题解析：（1）连接，交于点，连结，
因为正三棱柱，
所以侧面是平行四边形，
故点是的中点，
又因为是的中点，
所以，
又因为平面， 平面，
所以平面．
所以平面 平面．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
8．已知圆,直线
（1）求证：直线过定点；
（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值；
（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．

【答案】（1）直线过定点（2）
（3）在直线上存在定点，使得为常数
详解：（Ⅰ）依题意得，
令且，得
直线过定点
（Ⅱ）当时，所截得弦长最短，由题知，
，得， 由得
上式对任意恒成立， 且
解得 ,说以（舍去，与重合），
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数
点睛：过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。
9．已知圆：．
（1）直线过点，被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）直线的的斜率为1，且被圆截得弦，若以为直径的圆过原点，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）确定圆心坐标与半径，对斜率分类讨论，利用直线l1圆C截得的弦长为4，即可求直线l1的方程；
（2）设直线l2的方程为y=x+b，代入圆C的方程，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过原点，即可求直线l2的方程
详解：圆C：，圆心 半径为3，
（1）因直线过点
①当直线斜率不存在时 ：
此时被圆截得的弦长为
∴：
②当直线斜率存在时
可设方程为 即
由被圆截得的弦长为，则圆心C到的距离为
∴解得
∴方程为 即
由上可知方程为：或
由（*）式得
∴即，∴或
将或代入（*）方程，对应的△＞0．
故直线：或．
点睛：点睛：本题主要考查了直线与圆相切，直线与圆相交，属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键，当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.
10．在平面直角坐标系中，已知点， ， 在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于， 两点．　
①若弦长，求直线的方程；
②分别过点， 作圆的切线，交于点，判断点在何种图形上运动，并说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）设圆的方程为： ，将点， ， 分别代入圆方程列方程组可解得， ， ，从而可得圆的方程；（2）①由（1）得圆的标准方程为，讨论两种情况，当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，由弦长，根据点到直线距离公式列方程求得，从而可得直线的方程；②，利用两圆公共弦方程求出切点弦方程，将代入切点弦方程，即可得结果.
试题解析：（1）设圆的方程为： ，由题意可得
解得， ， ，故圆的方程为．
②设，则切线长，
故以为圆心， 为半径的圆的方程为，
化简得圆的方程为： ，①
又因为的方程为，②
②①化简得直线的方程为，
将代入得： ，
故点在直线上运动．
11．已知的一条内角平分线的方程为，其中， ．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）点的坐标为．（2）24
【解析】试题分析：（1）先根据中点坐标公式以及直线垂直斜率的积等于 列方程组求出点关于直线的对称点的坐标，根据两点式或点斜式可得直线的方程，与角平分线的方程联立可得顶点的坐标；（2）根据两点间的距离公式可得的值，再利用点到直线距离公式可得到直线： 的距离，由三角形面积公式可得结果.
（2），
到直线： 的距离，
故的面积为．
12．设点， 是正三角形，且点在曲线上．
（1）证明：点关于直线对称；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析（2）的周长为．
【解析】试题分析：（1）即证，由，可化简得证（2）设，则．由化简得，其中，解得，反代即得， 的周长为．
试题解析:（1）证明：设上一点为，
则其与点的距离满足．
由，知，化简得，所以， ，
点关于直线对称．
13．已知圆M：与轴相切．
(1)求的值；
(2)求圆M在轴上截得的弦长；
(3)若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2) 令，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.
试题解析：(1) 　　∵圆M：与轴相切　　
∴　　　∴
(2) 令，则　　∴
　∴
(3)
　∵的最小值等于点到直线的距离，　
∴　∴
∴四边形面积的最小值为．
14．已知圆过三点，圆．
（1）求圆的方程；
（2）如果圆和圆相外切，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）设圆一般方程，代入三点坐标，解方程组可得，（2）先化圆的标准方程，再由两圆外切得，解方程可得实数的值．
（2）圆的方程即，所以圆心，半径为5，
圆即，
所以圆心，半径为2．
因为圆和圆外切，所以，所以，
解得．
15．已知直线x－2y＋2＝0与圆C：x2＋y2－4y＋m＝0相交，截得的弦长为.
(1) 求圆C的方程；
(2) 过原点O作圆C的两条切线，与抛物线y＝x2相交于M，N两点(异于原点)．求证：直线MN与圆C相切．
【答案】(1) x2＋(y－2)2＝1.(2) 见解析.
【解析】试题分析：
(1)利用弦长公式求得r=1，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1
(2)利用题意求得圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切.
试题解析：
(1) 解：∵ C(0，2)，∴ 圆心C到直线x－2y＋2＝0的距离为d＝＝.
∵ 截得的弦长为，
∴ r2＝＋＝1，
∴ 圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1.
16．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
【答案】
【解析】试题分析：设直线点斜式方程： ，根据垂径定理列方程： ，利用点到直线距离公式得 ，代入解得 的值，即得直线方程，注意讨论斜率不存在的情况是否满足题意
试题解析：由题意易知直线的斜率ｋ存在，设直线的方程为
由题意知，圆C：的圆心为(0，0)，半径为5，圆心到直线的距离
在中，即解得
所以的方程为
点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
17．求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
【答案】
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
18．（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程；
（2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
试题分析：（1）设与的交点为，则根据点关于点的对称点在上，求得的值，再根据点和的坐标求出直线的方程；（2）先求得反射点的坐标，在直线上取一点，设关于直线的对称点，求得，再利用直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程．
试题解析：（1）设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，代入的方程得，∴，即点在直线上，所以直线的方程为
．
由得，
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为.
考点：直线的方程．
19．求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
【答案】(1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)3x＋4y＋15＝0.
【解析】试题分析：（1）当横截距 时，纵截距，此时直线过点，可得直线方程；当横截距 时，纵截距，此时直线方程设为，把代入，解得 ，由此能求出过点 且在两坐标上的截距相等的直线方程；（2）先假设直线的倾斜角是 ，进而根据直线倾斜角与斜率之间的关系得到，然后根据正切函数的二倍角公式求出所求直线的斜率，最后根据点斜式方程得到答案.
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
20．如图，、是两条公路（近似看成两条直线），，在内有一纪念塔（大小忽略不计），已知到直线、的距离分别为、，=6千米，=12千米．现经过纪念塔修建一条直线型小路，与两条公路、分别交于点、．
（1）求纪念塔到两条公路交点处的距离；
（2）若纪念塔为小路的中点，求小路的长．
【答案】（1）到点处的距离为千米；（2）小路的长为24千米.
又到直线的距离=6千米，设，
所以，解得或（舍负），所以. 7分
（2）因为小路的中点，点在轴上，即，所以，
又点在上，所以，所以，
由（1）知，所以，
.
答：（1）到点处的距离为千米；（2）小路的长为24千米.
解法二：（1）设，则，
因到直线、的距离分别为、，=6千米，=12千米，
所以，
所以，化简得，
又，所以，.

答：（1）到点处的距离为千米；（2）小路的长为24千米.