2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（江苏版）（必修5）专题04+大题好拿分（提升版）

1．已知是数列的前n项和，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值；
（3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式
成立.求满足等式的所有正整数n.
【答案】（1）（2）（3）1和3.
试题解析：（1）由 得，两式作差得，即
.
，，所以 ，，则 ，所以数列是首项为公比为的等比数列，所以 ；
（2）由题意，即，
所以，其中，，
所以，，
，所以，，；
（3）由 得，
，
，
，
所以 ，即，
所以 ，
，
当时， ，即，
所以当时，递减，所以对任意正整数都有；
综上可得，满足等式的正整数的值为和.
2．已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；
（3）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1) .
(2) 的最小值为16.
(3) .
【解析】试题分析：第一问将式子变形，得到两项的比值，之后用累乘法求得通项公式，一定需要注意对进行验证；第二问转化成最值来处理，第三问需要对为奇数和为偶数两种情况进行讨论求得结果.
因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
故. ……………………5分
(2) 由（1）知，则
.……………………7分
假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ……………………9分
所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16. ……………………………………10分
（3）当为奇数时，

；………………13分
当为偶数时，

. ………………15分
因此
………………16分
3．已知等差数列， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求；
（3）是否存在正整数，使得仍为数列中的项，若存在，求出所有满足的正整数的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) .
(2) .
(3) 存在，满足条件的正整数
【解析】分析：（1）由题意，数列为等差数列，求得公差，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）知，得到，进而可求解；
（3）由题意得，令，则，因为故为8的约数，的可能取值为，分类讨论即可求解的值.
设数列的前项和为，
当时，

点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
4．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数， 时的图象，且图象的最高点为.赛道的中间部分为长千米的直线跑道，且.赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧.
(1)求的值和的大小；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且,求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．

(2)由(1)，可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.
设,,“矩形草坪”的面积为
.
∵，
∴,
故当，即时，取得最大值．
5．已知等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求；
(3)是否存在正整数，使得仍为数列中的项，若存在，求出所有满足的正整数的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】试题分析：（1）根据题意求得等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式.
（2）由（1）知，求得数列的通项公式，求得数列的前项和，即可求解的值；
（3）由题意，令，则，进而得到的可能取值为，分类讨论即可得到满足条件的正整数的值.
（2）由（1）知，当时，；当时，
，
设数列的前项和为，
当时，

（3）
令（其中且是奇数），则
故为8的约数，又是奇数，的可能取值为
当时，是数列中的第5项；
当时，不是数列中的项.
所以存在，满足条件的正整数
点睛：本题主要考查了等差数列的综合应用，属于一道新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查等差数列的有关知识及数列的概念的理解能力，同时考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第三问难度较大，属于难题.
6．函数的图象与轴交于点，周期是．
（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当 ， 时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）或．
试题解析：（1）由题意，周期是π，即．
由图象与y轴交于点（0，)，∴，可得，
∵0≤φ≤，
得函数解析式．
由，可得对称轴方程为，（k∈Z）
由，可得对称中心坐标为（，0），（k∈Z）
（2）点Q是PA的中点， A，∴P的坐标为，
由，可得P的坐标为，
又∵点P是该函数图象上一点，
∴，
整理可得：，
∵x0∈，∴，
故或，
解得或．
7．设等比数列的前项和为；数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；
②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列,设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
【答案】（1）；（2）见解析
（2）①当时，得 时，得； 时，得，
则由，得．
而当时，由得．
由，知此时数列为等差数列．
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，
则：
又，所以 ，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有．
点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．
8．已知数列中，，，．数列的前n项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由；
【答案】（1），（2），或．
【解析】分析：（1）利用待定系数法得到是首项为3，公比为2的等比数列，由此能求出，n∈N*．
（2）推导出，从而，设{bn}是等差数列，公差为d，则4bn+1=4dbn+1，求出d=1，由此能求出，或．．
（2）由，得，
两式相减得，即．①
若是等差数列，设公差为，则，
因为，所以．又，即，
解得，或．
当时，，满足条件；
当时，，也满足条件．
故，或．
点睛：判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：
1．定义法：（常数）（）是等差数列。
2．递推法：（）是等差数列。
3．性质法：利用性质来判断。
4．通项法：（为常数）是等差数列。
5．求和法：（为常数，为的前项的和）是等差数列。
9．已知函数是常数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求方程的解集；
（3）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）当时，利用同角三角函数之间的关系化简函数的解析式，利用正弦函数的有界性以及二次函数的最值求解即可；（2）当时，化简，即
求得，进而可得方程的解集；；（3）利用换元法 ，则，函数在区间上有零点等价于有解，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可得结果.
（2）当时，方程即
即解得，（ 已舍）,
和,
所以，当时，方程的解集是.
（3）由，得

令
,令,
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
10．如图所示，某镇有一块空地，其中， ， 。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在的周围安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定 的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）防护网的总长度为（2）
试题解析:
（1）在中， ， ， ， ，
在中， ，
由余弦定理，得，
，即， ，
为正三角形，所以的周长为，
即防护网的总长度为.
（2）设， ，
，即，
在中，由，得，
从而，即，由，
得， ，即 .
当且仅当，即时，
的面积取最小值为 .
【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用,考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式,考查三角函数的最值的求法.对于实际应用问题,首先将题目的已知条件标明在图象上,然后根据已知选择正弦定理或者余弦定理来解三角形.
11．已知点， 是函数（， ）图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时， 的最小值为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）．（2）（）．（3）．
【解析】试题分析：（1）由题意先求，根据确定其值，再求出函数的周期，利用周期公式求出的值，从而可求函数解析式.（2）令，即可解得函数的单调减区间.（3）由题意可得， 恒成立，只需求时， 的最大值即可.
（2），即，
∴函数的单调递增区间为（）．
（3）当时， ，于是， ， 等价于
，由，得的最大值为，
所以，实数的取值范围是．
12．已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若A为锐角且，，，，求的值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】试题分析：第一问利用和角公式先将式子拆开，之后应用倍角公式和辅助角公式将解析式化简，之后根据题中所给的角的范围，求得整体角的取值范围，从而确定出正弦值的范围，最后求得函数的值域，第二问根据题的条件，求得角A的大小，利用正弦定理求得，之后利用平方关系求得的大小，之后利用差角公式求得结果.
（2）由得，
又由，∴，∴，．…………………8分
在中，由余弦定理，得． ………………10分
由正弦定理，得，………………12分
∵，∴，∴，…………………13分
（此处先由余弦定理求出，再求出亦可）
∴ ……………15分
13．某矩形花园，,，是的中点，在该花园中有一花圃其形状是以为直角顶点的内接Rt△，其中E、F分别落在线段和线段上如图．分别记为，的周长为，的面积为。
(1)试求的取值范围；
(2)为何值时的值为最小；并求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）分别将HE,HF的长度求出来，角的范围求出来，再求出S的取值范围；（2）将直角的周长表示出来，令 则，化简的表达式，求出的最小值。

(2)由，在中有



令 则
其中
点睛：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，在解答过程中，根据在上，在上. 得出，容易被忽略，应引起大家足够的重视。
14．已知为正整数，数列满足， ，设数列满足
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列是等差数列，求实数的值；
（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：
（1）由，可得，两边开方得，于是证得数列为等比数列．（2）由（1）可得，故，从而可得数列的通项公式，根据等差数列可得，由此求得或，然后分别验证可得符合条件．（3）由题意可得有成立，即对任意的，均存在成立，且为正整数，然后将分为奇数和偶数两种情况讨论，最后可得时符合题意．
数列是首项为，公比为2的等比数列．?
(2)解:由(1)得，?
∴，
∴
数列是等差数列，
∴，?
，?
解得或．?
当时，，是关于n的一次函数，因此数列是等差数列；?
当时，，由于，不是常数，因此数列不是等差数列．
综上可得．?
(3)解:由(2)得，?
对任意的，均存在，使得成立，?
即有，?
化简得，?
15．已知， ，函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若， ，求的值；
（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围.
【答案】（1）， （2）（3）
【解析】试题分析：（1）利用数量积的计算得到，再利用二倍角公式和辅助角公式得到，从而可求在上的最值．（2）等价于
，把变形为，利用两角差的余弦可以得到．（3）先求出单调增区间为，因此存在 ，使得
，从而，根据不等式的形式和可得，因此．
解析：（1） ， 因为
，所以，所以，所以．
（3），令 得
，因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得
，所以有 即，因为所以 又因为， 所以, 所以从而有，所以，所以
（另解：由，得.因为，所以，所以或，解得或.又，所以）
点睛：对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等组有解确定整数的取值即可．
16．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调递增，且.
（1）若，求的取值范围；
（2）若， ， .是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由函数的单调性及奇偶性可得，可化为，解三角函数不等式可得结果；（2）先求出的解，结合三角函数的单调性进行分为， 和三种情形求解即可.
故的取值范围为，
（2）由题意知，当时， 又，
∵，∴，∴
要使恒成立，则恒成立
①当时，则， ，
②当时， 显然成立
③当时，则
∴，∴
综上所述，使恒成立时， 的范围为.
17．设等比数列的前项和为；数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；
②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列,设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
【答案】（1）；（2）见解析
（2）①当时，得 时，得；时，得，
则由，得．
而当时，由得．
由，知此时数列为等差数列．
②由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，
则：
又，所以 ，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有．
点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．
18．已知公比为整数的正项等比数列满足： ， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】(1) .
(2) .
整理为： ，
由，且为整数，可解得，故…………………5分
数列的通项公式为．…………………7分
（2）由，
，
有 ，…………………9分
两式作差有： ，…………………11分
得 ，…………………14分
故．…………………15分
方法点睛：该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以及数列通项公式的求解问题，第二问是典型的数列求和问题---错位相减法，在求解的过程中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数.
19．已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列{bn}满足 bn=,是否存在正整数，使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.
(3) 令,记数列{cn}的前项和为,其中,证明：.
【答案】（1）（2）存在，（3）证明见解析
详解：（1）解：∵an+12=2an2+anan+1，∴（an+1+an）（2an﹣an+1）=0，
又an＞0，∴2an﹣an+1=0，即2an=an+1，
∴数列{an}是公比为2的等比数列．
由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．
∴数列{an}的通项公式为，n∈N*．
（2）解：=，若b1，bm，bn成等比数列，则（）2=，
即．
由，得，
∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．
又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．
故当且仅当m=2，n=12．使得b1，bm，bn成等比数列．
∴[]
=
=，
∵（）n+1?递减，
∴0＜（）n+1?≤
∴，∴．
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：
（1）已知数列的通项公式为，求前项和： ；
（2）已知数列的通项公式为，求前项和：
；
（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.
20．已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求函数的值域；
（3）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数在上是单调增函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．
∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得=，∴f（x）=2sin（2x+）．
∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，
可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，
∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，
∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．