2017-2018学年高二物理教科版选修3-4学案：第1章 机械振动 第3讲 简谐运动的图像和公式

第3讲　简谐运动的图像和公式
[目标定位]　1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．
一、简谐运动的图像
1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．
2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线．
3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．
想一想　在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？
答案　匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x＝vt，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．
二、简谐运动的表达式
振动物体离开平衡位置的位移x与时间t的关系可用正弦函数(或余弦函数)来表示．即x＝Asin(ωt＋φ)
其中ω＝，f＝，综合可得
x＝Asin(t＋φ)＝Asin(2πft＋φ)．
式中A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同．
三、简谐运动的相位、相位差
1．相位
在式x＝Asin(2πft＋φ)中，“2πft＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．
t＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．
2．相位差
指两振动的相位之差.
一、对简谐运动图像的认识
1．形状：正(余)弦曲线
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．
3．获取信息
(1)简谐运动的振幅A和周期T，再根据f＝求出频率．
(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.
图1
(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点对应的时刻质点向x轴正方向振动．
图2
(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小．
注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．
【例1】　(多选)如图3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　)
图3
A．由P→Q，位移在增大
B．由P→Q，速度在增大
C．由M→N，位移先减小后增大
D．由M→N，加速度先增大后减小
解析　由P→Q，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a＝＝－可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误．
答案　AC
借题发挥　简谐运动图像的应用
(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．
(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．
(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．
针对训练1　一质点做简谐运动的图像如图4所示，在前2 s内具有最大负方向速度的时刻是(　　)
图4
A．0.5 s B．1 s
C．1.5 s D．2 s
解析　质点经过平衡位置时速度最大，速度方向也可以根据切线斜率的正、负来判断，也可以根据下一时刻位移的变化来判断，还可以根据简谐运动的过程来判断．
答案　B
二、简谐运动的表达式与相位、相位差
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式
x＝Asin(2πft＋φ)
1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A、频率f和初相φ.可根据T＝求周期，可以求某一时刻质点的位移x.
2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．
Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．
(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前．
Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．
【例2】　一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5sincm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．
(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5sincm，求它们的相位差．
解析　(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s，f＝＝4 Hz.A＝5 cm，φ1＝.
(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝π－＝π.
答案　(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π
针对训练2　(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是(　　)
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
解析　由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm、5 cm，故不同；ω都是100π rad/s，所以周期(T＝)都是 s；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝得相位差(为)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致．
答案　BC
简谐运动的图像
1．(多选)如图5所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
图5
A．t1时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
解析　t1时刻振子正通过平衡位置向下负方向运动，选项A错误；t2时刻振子运动到负向最大位移处，选项B正确；t3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动，选项C正确；该图像是从正向最大位移处计时画出的，选项D错误．
答案　BC
2．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是(　　)
图6
解析　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.
答案　D
简谐运动的表达式
3．(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为x＝0.2 sin，则振动A滞后B
解析　由振动方程为x＝0.1sin 2.5πt，可读出振幅A＝0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φB－φA＝，即B超前A，或说A滞后B，选项D正确．
答案　CD
4．(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin m．比较A、B的运动(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期均为T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D对．
答案　CD
题组一　简谐运动的图像
1．(多选)关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　)
A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线
B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向
解析　振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B、D对．
答案　BCD
2．(多选)如图1所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)
图1
A．振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
解析　振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2 s．又f＝，所以f＝25 Hz，则A项错误，C项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D项正确；第2个10－2 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B项正确．
答案　BCD
3．(多选)一质点做简谐运动的振动图像如图2所示，则该质点(　　)
图2
A．在0～0.01 s内，速度与加速度同向
B．在0.01～0.02 s内，速度与回复力同向
C．在0.025 s时，速度为正，加速度为正
D．在0.04 s时，速度最大，回复力为零
解析　F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x?t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．
答案　AC
4．如图3甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　　)
图3
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增大
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
答案　A
5．如图4所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是(　　)
图4
A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿x轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析　该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向移动的，故选项A、B正确；由获得图像的方法知，选项C错误；频闪照相是在相同时间内留下的小球的像．因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，选项D正确．
答案　C
6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(　　)
解析　根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案　A
7．(多选)图5为甲、乙两单摆的振动图像，则(　　)
图5
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4
解析　由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.
答案　BD
8．如图6甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：
图6
(1)单摆的振幅为，频率为，摆长约为(保留一位有效数字)；图中所示周期内位移x最大的时刻为．
(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆图中的点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是．势能增加且速度为正的时间范围是．
答案　(1)3 cm　0.5 Hz　1 m　0.5 s末和1.5 s末
(2)E、G、E、F　1.5～2 s　0～0.5 s
题组二　简谐运动的表达式与相位、相位差
9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负向最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sinm B．x＝8×10－3sinm
C．x＝8×10－1sinm D．x＝8×10－1sinm
解析　ω＝＝4π rad/s，当t＝0时，具有负向最大加速度，则x＝A，所以初相φ＝，表达式为x＝8×10－3·sin m，A对．
答案　A
10．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，则质点(　　)
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同
解析　根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
答案　AD
11．(多选)一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点．图7甲中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像的是(　　)
图7
A．若规定状态a时t＝0，则图像为①
B．若规定状态b时t＝0，则图像为②
C．若规定状态c时t＝0，则图像为③
D．若规定状态d时t＝0，则图像为④
解析　若规定状态a时t＝0，振子从x＝3 cm处沿正方向运动，图像①符合，故选项A正确；若规定状态b时t＝0，振子从x＝2 cm处沿负方向运动，图像②不符合，故选项B错误；若规定状态c时t＝0，振子从x＝－2 cm处沿负方向运动，图像③不符合，故选项C错误；若规定状态d时t＝0，振子从x＝4 cm处沿正方向运动，图像④符合，故选项D正确．
答案　AD
12．如图8所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8 cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2 s，则小球的振动周期为s，振动方程为x＝cm.
图8
解析　从N点到O点刚好为，则有＝0.2 s，故T＝0.8 s；由于ω＝＝ rad/s，而振幅为4 cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4cos t cm.
答案　0.8　4cos t
13．如图9所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：
图9
(1)A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是cm，周期是s.
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
解析　(1)由图像知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.
(2)由图像知：t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s.则A简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π，则B简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm，xB＝0.2sincm＝0.2sinπ cm.
答案　(1)0.5　0.4　0.2　0.8　(2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm，xB＝0.2sincm　(3)xA＝－ cm，
xB＝0.2sinπ cm.
14．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图10中作出该振子的位移—时间图像；
图10
(3)写出振子的振动方程．
解析　(1)xBC＝20 cm，t＝2 s，n＝10，由题意可知：A＝＝＝10 cm，T＝＝＝0.2 s.
(2)由振子经过平衡位置开始计时经过周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移—时间图像如图所示．
(3)由A＝10 cm，T＝0.2 s，ω＝＝10π rad/s，故振子的振动方程为x＝10sin(10πt＋π)cm.
答案　(1)10 cm　0.2 s
(2)见解析图
(3)x＝10sin (10πt＋π)cm