2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（江苏版）（必修5）专题06+大题易丢分

1．已知等差数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
详解：设等差数列的公差为，
因为，
所以
所以
所以
所以.
（Ⅱ）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以
因为，
所以.
设数列的前项和为，
则

所以数列的前项和为
点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
2．在等差数列中， ，其前项和满足.
（1）求实数的值，并求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
试题解析：
（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，所以. 所以，所以.
所以.
（2）由（1）知，所以.
所以.
所以

3．已知数列的前项和满足．
（Ⅰ）求， ， 的值；
（Ⅱ）已知数列满足， ，求数列的通项公式．
【答案】（Ⅰ）， ， ；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）分别令， 可得解；
（Ⅱ）当时，由，可得，利用等比数列求通项即可，再由累加求和即可得通项.
所以是以为首项， 为公比的等比数列.所以.
因为 ，所以.
则，
，
.
，
以上个式子相加得： ，
又因为，所以.
点睛：这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消去，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消去，就需在原式将变形为，再利用递推求通项公式.
4．已知是等差数列的前项和，且， ．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足， ，求的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，结合列基本量方程求解即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ，所以，从而可得解.
（Ⅱ）设等比数列的公比为．
由（Ⅰ）可知， ， ，所以．
所以，数列的前项和为， ．
5．设等差数列的公差不为0， ，且， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求使成立的的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）8.
【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，从而得，即可得通项公式；
（Ⅱ）由，解不等式即可.，
（Ⅱ）因为，
所以．
依题意有，
解得．
使成立的的最小值为8．
6．由，，，排列而成的项数列满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项．
（）满足条件的数列中，写出所有的单调数列．
（）当时，写出所有满足条件的数列．
（）满足条件的数列的个数是多少？并证明你的结论．
【答案】），，，，；（）见解析；（）个．
【解析】试题分析：（1）根据题意：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项，可以写出结果；（2）设所求个数为，则, 对，若排在第位，则它之后的位数完全确定，只能是，，，，,从而可以找到和的递推关系，得到结论.
解析：
（），，， ，；
（）数列为：1，2，3，4；4，3，2，1;2,1,3,4;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1；
共8个.
令，，，，
则，
，
，∴．
7．如图，在平面直角坐标系内从点P1（0,0）作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记点的坐标为（,0）（k＝1,2，…，n）.
（1）试求与的关系（k＝2，…，n）；
（2）求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.
【答案】(1)xk＝xk－1－1（k＝2，…，n）；(2).
【解析】试题分析：(I)设出Pk-1的坐标，求出Qk-1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到xk与xk+1的关系．
(II)求出|PkQk|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和
试题解析：（1）设点Pk－1的坐标是（xk－1,0），
∵y＝ex，∴y′＝ex，
∴Qk－1（xk－1，exk－1），在点Qk－1（xk－1，exk－1）处的切线方程是y－exk－1＝exk－1（x－xk－1），令y＝0，则
xk＝xk－1－1（k＝2，…，n）；
8．在数列和中， ， ， ， ，等比数列满足.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】(1) ,;(2) .
【解析】试题分析：（1）根据等差和等比数列通项的求法得到， （2）， ，可得到，进而求出参数值.
解析：
（Ⅰ）因为，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以，即．
因为， ，且， ，
所以， ．
因为数列是等比数列，
所以数列的公比，
所以，即．
9．已知由实数构成的等比数列{an}满足a1=2，a1+ a3+ a5=42.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求a2+ a4+ a6+…+ a2n.
【答案】（I）an=2n或an=（-1）n-1·2n ;（II）当an=2n时，a2+ a4+ a6+…+ a2n=·（4n-1）；当an=（-1）n-1·2n时，a2+ a4+ a6+…+ a2n=·（1-4n）.
【解析】试题分析：（1）根据题意可得，即可得到等比数列的公比，进而得到数列的通项公式；
（2）分类讨论，根据等比数列的求和公式，即可求解的值.
试题解析：
（I）由可得2（1+q2+q4）=42.
由数列{an}各项为实数，解得q2=4，q=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n或an=（-1）n-1·2n
（II）当an=2n时，a2+ a4+ a6+…+ a2n=·（4n-1）；
当an=（-1）n-1·2n时，a2+ a4+ a6+…+ a2n=·（1-4n）.
10．在无穷数列中， ，对于任意，都有， ．设，记使得成立的n的最大值为．
（Ⅰ）设数列{an}为1，3，5，7，…，写出b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）若{an}为等比数列，且a2=2，求b1+b2+b3+…+b50的值；
（Ⅲ）若{bn}为等差数列，求出所有可能的数列{an}．
【答案】(Ⅰ)b1=1， b2=1， b3=2；(Ⅱ) 243；(Ⅲ) ．
试题解析：
（Ⅰ）b1=1， b2=1， b3=2．
（Ⅱ）因为为等比数列， a1=1，a2=2，
所以，
因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，
所以b1=1，b2=b3=2，b4=b5= b6= b7=3，b8=b9b15=4，b16=b17b31=5，b32=b33b50= 6．故b1+ b2+b3b50=243．所以b1+ b2+b3+…b50=243．
（Ⅲ）由题意，得，
结合条件，得．
又因为使得成立的n的最大值为，使得成立的n的最大值为，所以， ．设，则．
假设，即，则当时， ；当时， ．
所以， ．
因为为等差数列，所以公差，所以，其中．
这与（）矛盾，所以．
又因为，所以，
由为等差数列，得，其中．
因为使得，由，
得．
(1)本题解题的关键是抓住新定义中使得成立的n的最大值为，可将问题迎刃而解．
(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
11．已知数列的前项和为，且．
（）证明：数列是等比数列．
（）若数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】(1) 见解析．（ ）．
试题解析：由可知当时，解得．
当时， ， ，两式相减得
，即，
∴是首项为，公比为的等比数列．
当时上式也满足条件，
故数列的通项公式为．
12．已知数列的前项和为，且．
（）求数列的通项公式．
（）在数列中， ， ，求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）先由赋值法得到，再根据时， ， ，两式做差得到，进而得到数列通项；（2）根据第一问得到时， ，累加法可得到数列的通项.
解析：
（）已知数列的前项和为，且，
∴当时， ，得，
当时， ，
，
两式相减，得，即，
∴数列是以为首项， 为公比的等比数列，
∴．
以上各式相加得 ，
经检验，当时， 满足上式，
∴数列的通项公式．
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
13．已知数列的前项和为,且满足,.设.
（1）求的通项公式；
（2）猜测与的大小关系并证明.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项公式得,化简构造常数列，即得的通项公式；（2）根据数列单调递增,放缩可得结论，根据条件第一项不放.
（2）因为单调递增,放缩可得:
点睛：构造法求数列通项：
(1) 为常数）,构造等比数列；
(2) ,构造等差数列
14．已知是公差不为的等差数列,且,成等比数列,数列满足
,.
（1）求数列和通项公式;
（2）求数列前项和.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】试题分析：（1）先根据成等比数列,求出公差，再根据等差数列通项公式得数列通项公式;构造数列等差数列定义得，即得通项公式;（2）利用错位相减法求数列前项和.
（2）
作差得:
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
15．已知数列满足： ， ．
（）求， ， 的值．
（）求证：数列是等比数列．
（）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）， ， ；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：
（1）根据递推关系求值即可．（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以为首项，以为公比的等比数列．（3）由（）可得，故，作差判断可得数列前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为．由题意可得恒成立，于是
，解不等式可得所求范围．
两式相减得，
即，
∴，
又，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．
（）由（）可得，
∴，
∴，
由，得；
由可得，
∴，
∴数列有最大值，
∴对任意，有，
点睛：（1）已知Sn与an的关系解题时，要注意由Sn求an的纽带： ，根据题目已知条件，消掉Sn或an，通过构造等差数列或等比数列进行求解．
（2）本题（3）中，将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．求数列项的最值时，可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值．
16．设函数．
（）求函数在上的单调递增区间．
（）设锐角的内角， ， 所对的边分别为， ， ，且，求的取值范围．
【答案】(1) 和．(2) .
【解析】试题分析：(1)首先,结合二倍角公式和辅助角公式化简给定的函数,得到,然后,根据三角函数的单调性进行确定单调递增区间;
(2)先结合余弦定理化简得到,然后,结合正弦定理,得到,结合范围得到,然后,根据有关角的范围,从而确定的取值范围.
试题解析：（）
，
∵，
∴，
令，得，
令，得，
∴函数在上的单调增区间是和．
∴，
∵，
∴，
∴,
∵是锐角三角形，
∴， ，
∴， ，
∴的取值范围是．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
17．设函数．
（）求的最小正周期．
（）当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是.
【解析】试题分析：（1）由二倍角公式将式子化简，再由周期的公式得到结果；（2）∵，∴, ，进而得到最值.
（）∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴当时， 的最大值是，最小值是．
点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式
将函数化为的形式，利用求最值，其中 的取值需结合数值以及符号确定.
18．如图所示，在四边形中， ，且， ， ．
（）求的面积．
（）若，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，故，由三角形的面积公式可得．（2）在中由余弦定理可得．在中，由余弦定理可得，化简得，解得．
∴的面积．
（）∵在中， ， ， ，
∴由余弦定理可得，
∴，
在中， ， ， ，
∴由余弦定理可得，
即，
化简得，
解得．
故的长为．
19．如图，在中，点在边上， ， ．
（）若，求的面积．
（）若， ，求的长．
【答案】(1) ；(2)4.
试题解析：
（）若， ，则， ，
在中，由余弦定理可得，
即，
∴，
∴的面积．
20．设．
（）求的单调递增区间．
（）把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简的解析式，再利用正弦函数的单调性列不等式，从而可求得函数的增区间；（2）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而可求得的值.
试题解析：（）由
，
由，
得，
所以的单调递增区间是．
即，
所以．
21．在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且， ．
（）若，求的值．
（）若的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由， ． ，根据正弦定理可得
；（2）由，解得，再由余弦定理可得
，从而得.
试题解析：（）在中， ，
∴，
即．
22．在中，角， ， 的对边分别为， ， ． ， ， 成公差为的等差数列， ，点在边上，且．
（）求的值．
（）求的值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：
（）由题意，设， ，结合余弦定理有： ，解得．
（）由（）可知， ， ，结合余弦定理可得，则，
， ．
试题解析：
（）∵， ， 成公差为的等差数列，
∴， ，
在中，由余弦定理可得， ，
即，
解得．
∴，
∴．
23．定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意 ， 恒成立，则称为线周期函数， 为的线周期．
（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证： 为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
【答案】（1）③；（2）见解析；（3）1
【解析】试题分析：（1）根据新定义判断即可，（2）根据新定义证明即可，（3）为线周期函数，可得存在非零常数，对任意，
.．即可得到，解得验证即可．
试题解析：
（1）③；
（2）证明：∵为线周期函数，其线周期为，
∴存在非零常数，对任意 ， 恒成立.
∵,
∴ .
∴为周期函数.
①②两式相加，得.
∵，∴．检验：
当时， ．存在非零常数，对任意，
，
∴为线周期函数，综上， .
24．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
2
0
0
（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为= （直接写出结果即可）；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）， ；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数）在区间上的最大值和最小值
试题解析：
（1）
0
0
2
0
0
根据表格可得
再根据五点法作图可得 ，
故解析式为：
（2）令 函数的单调递增区间为， .
（3）因为，所以.
得： .
所以,当即时， 在区间上的最小值为.
当即时， 在区间上的最大值为.
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．
25．已知向量， ， .
（1）若关于x的方程有解，求实数k的取值范围；
（2）若且，求.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程有解，即可求实数的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．
（2）因为，所以，即.
当时， ， .
当时， ， .
26．在中，角， ， 的对边分别是， ， ，已知， ，且．
（）求的值．
（）若角为锐角，求的值及的面积．
【答案】（1）；（2）.
试题解析： （）∵，由正弦定理知，
∴．
（）∵，
且为锐角，
∴，
代入， ，解出或（舍去）
∵，
∴．
27．已知函数其中的周期为,且图象上一个最低点为
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）求的单调递减区间;
（Ⅲ）当时,求的最值.
【答案】(1) (2) (3)见解析.
解析：（Ⅰ）由最低点为得
由得
所以
由点在图象上得
即所以
即
又因为所以当时,
所以
（Ⅱ）,
解得
所以的单调递减区间是
（Ⅲ）因为所以
所以当即时, 取得最小值1，
当即时, 取得的最大值是
点睛：本题主要考查的知识点是正弦函数的单调性，以及正弦函数的最值的求法，还考查了由的部分图象确定及其解析式。利用函数的周期以及函数的最值，求解， ， ，即可得到解析式，通过的范围求出函数的相应的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可
28．已知， ．
（）求的坐标；
（）当为何值时， 与垂直；
（）设向量与的夹角为，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：（）∵， ，
∴，
∴．
（）∵， 与垂直，
∴，
解得．
（）依题意， ，
∴．
29．设函数．
（）求函数的单调递增区间；
（）求在上，函数的值域．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（）
令， ，
则， ，
∴函数的单调递增区间为， ．
（）∵，
∴，
∴，
即函数的值域为．
【方法点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式以及三角函数的单调性，属于中档题. 的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
30．已知函数．
（）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（）指出自变量为何值时， 取最大值、最小值．
【答案】（1）图象见解析；（2）当， 时， 取最大值，当， 时， 最小值.
【解析】试题分析：（）先列表，利用分别取值， ， ，求出对应的值，然后描点，用平滑曲线连接即可；（2）由（）可知，当，即当， 时， 取最大值，当， ，即当， 时， 最小值.
试题解析：（）列表，作图，
（）由（）可知，当，即当， 时， 取最大值，
当， ，即当， 时， 最小值．