2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（江苏版）（必修2）专题05+小题易丢分

1．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.
点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
2．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力
3．（2018湖南株洲高三年级质量检测）在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，，，则此直三棱柱的外接球的表面积为________________.
【答案】
4．已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为_________________.
【答案】
【解析】思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连接EF.在△ABF中可得 ，在△EBF中可得 .
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连接OA、OD．设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立的方程.
如图，设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连接EF.在△ABF中求得BF=，在△EBF中求得EF=.
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连接OA、OD．设第五个球的半径为r，则OA=r+3，OD=r+2，于是OE=，OF=，∵OE+OF=EF，
∴ 平方整理再平方得，解得或（舍掉），故答案为.
点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解．
5．已知，，是半径为2的球表面上三点，若，，，则三棱锥的体积为_______．
【答案】
【解析】分析：由题中条件可得为直角三角形，取BC中点为D，则D为的外心，由面，求解即可.
详解：如图所示：
三棱锥的体积为.
故答案为：.
点睛：本题主要考查了球的内接三角形的性质，即球心和内心连线与三点所成的截面垂直，属于中档题.
6．如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是____________.
【答案】平行
【解析】如图，将其补成正方体，
设和交于点，连接，依题意可知，∥OB，且=OB，即四边形为平行四边形，则∥，因为?平面， ?平面，所以直线∥平面.故填：平行
7．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是_________.
【答案】
8．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的_______．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)
【答案】外心
【解析】过P作平面，连接，由于，则，则，点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.
9．已知直线， 和平面， ，且， ，则“， ”是“”的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”
【答案】必要不充分
10．在四棱锥中， 底面，底面是正方形， ，三棱柱的顶点都位于四棱锥的棱上，已知分别是棱的中点，则三棱柱的体积为__________．
【答案】1
【解析】由题得中点， 是DC中点， 是SC中点,PN=1,MN=,且PN⊥MN，
所以三棱柱的底面积为.
由题得正方形的对角线长，三棱柱的高为，
所以三棱柱的体积为，故填1.
点睛：本题的关键是确定、和位置，后面求三棱柱的体积就可以迎刃而解了.
11．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，下列结论中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①PD⊥CD；
②BD⊥平面PAO；
③PB⊥CB；
④BC∥平面PAD.
【答案】①③④
12．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；
③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；
④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
【答案】②④
【解析】对于①，若直线m⊥α如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线m垂直，故②正确；
对于③，④，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．
答案：②④
13．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．
【答案】平行
【解析】取PD的中点F，连接EF，AF，
在△PCD中，EF綊CD.
又因为AB∥CD且CD＝2AB，
所以EF綊AB，所以四边形ABEF是平行四边形，
所以EB∥AF.
又因为EB?平面PAD，AF?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
答案：平行
14．如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．
【答案】平行
15．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确命题的个数是________．
【答案】3
【解析】如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.
16．实数x、y满足，则的最大值为_________.
【答案】2
【点评】本题考查了消元法及函数的最值的求法，要掌握本类试题中一些式子的几何意义，如
表示曲线上点与点（a,b）之间距离的平方；表示曲线上点与点（a,b）连线的斜率；注意将直线在坐标轴上的截距与z联系起来解题.
综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键是要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值进行求解.一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．
17．直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为_________．
【答案】3x﹣2y+12=0
【解析】设A（x，0）、B（0，y），由中点坐标公式得：
解得：x=﹣4，y=6，由直线l过点（﹣2，3）、（﹣4，0），
∴直线l的方程为：，
即3x﹣2y+12=0．
故答案为：3x﹣2y+12=0
18．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n>0)互相垂直，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】∵直线：与直线：，.
∴，即.
∴
∵
∴，即.
故答案为.
19．过点(－1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．
【答案】或
②所求的直线与两坐标轴的截距不为时，设该直线的方程为.
∵直线过点
∴
∴直线的方程为.
综上，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是或.
故答案为或.
点睛：本题主要考查直线的方程，直线的方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都具有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
20．在平面直角坐标系中， ， ，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
画出图形，如图所示，结合图象知，直线，可化为， 该直线过点
，解得，又该直线过点 ，解得，又直线与线段有公共点， 实数的取值范围是或，即实数的取值范围是
，故答案为.
21．若三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y－10＝0和2x－y＝0相交于一点，则实数a的值为______．
【答案】
22．直线与圆交于两点，则________．
【答案】
【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.
详解：根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
23．（湖北省襄阳市2018届高三1月调研）已知两个不共线向量的夹角为，M、N分别为线段OA、OB的中点，点C在直线MN上，且，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】因为三点共线，所以，
所以，，表示原点与直线上的点的距离的平方，它的最小值为，故填．
24．已知点在圆：上，点在双曲线上，则，两点之间的距离的最小值为_______________．
【答案】
25．已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为__________．
【答案】5
【解析】由平面几何知识，得点与圆心的连线与直线垂直，则，解得，则
，因为圆心到直线的距离为，所以，则四边形 的面积为.
26．已知垂直直线于点，若，则线段长度的最大值为_____________．
【答案】
【解析】过定点，所以在以为直径的圆上，因此线段长度的最大值为．
27．若圆C过两点，且圆心C在直线x－2y－2＝0上，则圆C的标准方程为_________．
【答案】
【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法③解答的.
28．已知直线ax＋by＝1(其中a、b为非零实数)与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则的最小值为____.
【答案】4
【易错点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系以及利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
29．已知圆.由直线上离圆心最近的点向圆引切线，切点为，则线段的长为__________．
【答案】
【解析】圆心到直线的距离：，
结合几何关系可得线段的长度为.
30．已知A、B、C是圆x2＋y2＝1上的三点，且，其中O为坐标原点，则的面积等于________．
【答案】
【解析】如图所示，由||＝||＝||＝1知，?OACB是边长为1的菱形，且∠AOB＝120°.
∴S?OACB＝||||sin 120°＝1×1×＝.