2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学备考热点难点突破练（必修5+必修3）专题05+概率

专题05 概率
1.并不是所有的试验都是古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概
型．两个条件中只要有一个不满足就不是古典概型．
2．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概
率模型,简称为几何概型.
【热点难点突破】
例1.【2018全国3卷】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【答案】B
例2.【2018全国2卷文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
例3.从区间中随机选取一个实数，则函数有零点的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,令，则.若函数有零点，即方程有实根，即方程有大于零的实根.由根与系数的关系得，故方程的两个根同号，则，解得.又因为，解得或.综上所述，满足题意的的取值范围是.
故由几何概型可知函数有零点的概率是.
故本题正确答案为A.
例4.【2018全国1卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2 B. p1=p3
C. p2=p3 D. p1=p2+p3
【答案】A
【解析】分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2，p3的关系，从而求得结果.
详解：设，则有，
从而可以求得的面积为，
黑色部分的面积为 ，
其余部分的面积为，所以有，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成区域的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为__________．
【答案】
【方法总结】
1.求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在写出基本事件后最好检验一下各基本事件发生
的概率是否相同．求随机事件的概率的关键就是明晰它包含了几个基本事件．要写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列举法、列表法、坐标系法、树形图法等．无论采用哪种方法，都要求按照一定的顺序进行，以做到不重不漏．
2.求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.
3.求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.
4.用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.
【精选精练】
1．如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具。它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：本题考查了面积比的几何概型中概率的计算，其中正确求解黑色部分和白色部分的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
2．从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，若抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：直接利用古典概型公式求解.
详解：设3名男生为A，B，C，2名女生为D，E，
从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，抽到了1名女同学，包含的基本事件有：AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共7个，
抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到，包含的基本事件有DE，只有1个，
∴抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为p=．
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查古典概型的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)注意本题不是条件概率，因为若抽到了1名女同学，并不代表现在已经抽到了1名女同学，是一种假设.
3．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据古典概型的概率求解方法，列出４个小球所有排列的可能共有12种，则能够满足中间2个小球不都是红球的有2种情况，所以根据独立事件的概率计算方法可求出概率。
详解：根据古典概型的概率计算，设白球为A，蓝球为B，红球为CC，则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,BCCA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA共12种情况，其中红球在中间的有ACCB,BCCA两种情况，所以红球都在中间的概率为
所以中间两个小球不都是红球的概率为
所以答案选C
点睛：古典概率的计算，主要是列举出所有的可能，不要重复和漏项。注意正确理解题目中“不都是”否定形式表达的意义，利用对立事件的概率和为1，可以求出概率。
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，
可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，
其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，
则田忌马获胜的概率为.
本题选择A选项.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
5．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：求出，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，利用面积比，即可求解概率.
详解：由题意，且，解得，
不妨设三角形内的斜边的边长为5，则较小边直角边的边长为，
较长直角边的边长为，所以小正方形的边长为1，
所以打正方形的面积为，小正方形的面积为，
所以满足条件的概率为，故选D.
点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解问题，其中解答中利用三角函数的基本关系式，求得大、小正方形的边长，得到大、小正方形的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
6．把一根长为6米的细绳任意做成两段，则稍短的一根细绳的长度大于2米的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：本题主要考查概率中的几何概型，关键是明确概率模型，明确事件的测度，通过长度、面积或体积之比来得到概率
7．如图所示的程序框图,则满足的输出有序实数对的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合流程图和几何概型整理计算即可求得最终结果.
详解：表示的平面区域为图中的正方形内部区域，
满足的区域为图中应用部分的区域，
正方形和图中的阴影部分区域均关于坐标原点直线对称，
结合图形的对称性可知，满足题意的概率值为.
本题选择D选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
8．书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为__________．
【答案】.
【解析】分析：列举可得从5本书中任取2本书的所有可能结果和取出的两本书都是数学书的所有结果，然后根据古典概型概率公式求解．
详解：设两本语文你书分别为，三本书学书分别为由题意得从从5本书中任取2本书的所有可能结果为，共10种．其中取出的两本书都是数学书的结果为，共3种．由古典概型概率公式可得所求概率为．
点睛：解答古典概型概率问题的关键是正确得到基本事件的所有情况和所求概率的事件包含的基本事件的个数，常用的方法有列举法、树状图法和列表法，然后根据公式求解．
9．从区间随机抽取个数，构成个数对，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为__________．
【答案】
【解析】分析：根据随机模拟试验的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.
详解：利用几何概型，可得四分之一圆形的面积和正方形的面积比为
，故答案为.
点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
10．在中，在边上任取一点，满足的概率为_______.
【答案】. 　
点睛：（1）本题主要考查几何概型的计算，意在考查学生对该知识的掌握能力.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
11．在区间上随机取一个数，若的概率是，则实数的值为__________．
【答案】8
【解析】分析：由长度概型公式得到关于的方程，解出实数的值.
详解：在区间上随机取一个数，则的概率是，解得
故答案为:8
点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
12．甲、乙两名同学各自等可能地从政治、历史、地理3门课程中选择2门作为考试科目，则他们选择的课程完全相同的概率为__________．
【答案】
【解析】甲和乙各有三种选择方法,故基本事件的总数有种,其中选课完全相同的有种,故概率为.
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算. 计算古典概型事件的概率可分三步 (1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为；(2)分别计算基本事件的总个数和所求的事件所包含的基本事件个数；(3)利用古典概型的概率公式求出事件的概率．