2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（必修3%2b必修4）专题06+大题易丢分（20题）

2017-2018学年度下学期期末考试备考黄金30题系列
大题易丢分（人教版必修三、必修四）
（解答题20道）
班级：________ 姓名：________
解答题
1．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数的单调递增区间.
【答案】(1) 的最小正周期,的最大值为2;(2)函数的单调递增区间为.
（2）由

∴函数的单调递增区间为.
点睛：函数的性质
(1) . (2)周期
(3)由 求对称轴 (4)由求增区间;由求减区间.
2．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的值及的单调增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
（1）根据图象求得，可得，故，把看作一个整体，并根据正弦函数的单调增区间可得函数的单调增区间。（2）由可得，根据正弦函数的性质可得，从而可得函数的最大值和最小值。
试题解析：
（1）由图象可得，最小正周期为，
∴．
∴，
由，
得．
所以函数的单调递增区间为．
（2）∵，
∴,
∴,
∴.
∴函数在区间上的最大值为2，最小值为。
3．已知，()，函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
【答案】(1);(2).
【解析】分析：（I）首先利用向量数量积的坐标表示，然后利用二倍角降幂公式以及辅助角公式化简求解析式；（Ⅱ），利用公式求函数的单调递增区间.
（Ⅱ）当时，单调递增，即
．
单调递增区间是．
点睛：本题重点考查三角恒等变换求类型的函数的解析式，以及三角函数的性质，难点是三角函数的恒等变换，灵活掌握二倍角公式.
4．已知函数的图象与轴的交点为,它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和.
(1)求的解析式及的值；
(2) 若锐角满足，求的值.
【答案】（1）, ；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据图象的最值求出根据最高点与最低点坐标求出，从而求出，再由图象经过，求出，然后求的解析式，根据，求的值；（2）锐角 满足，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出 化简，将所求的值代入，即可求得的值.
试题解析：（1）由题意可得，即 ，，
．又，由，
, ．
，所以，，
又是最小的正数， .
（2），
，，
，
.
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质及恒等变形，属于中档题. 利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.
5．已知:函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时,求的最值以及取得最值时的值.
【答案】(1) 最小正周期 (2) 时,时
【解析】试题分析：先根据三角函数的二倍角公式化简为，再由可得到的最小正周期；
根据的范围确定的范围，再由余弦函数的性质可求出的最值以及取得最值时的值
解析：(1)


此函数最小正周期
(2)

当即时：,此时：
当即时：,此时：
综上可知：时
时
方法二：也可以转化：，最终结果一样.
6．函数（其中）的图像如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)最大值为1，最小值为0.
【解析】试题分析：
(Ⅰ) 由图象可得，从而得可得 ，再根据函数图象过点，可求得，故可得函数的解析式．(Ⅱ)根据的范围得到的范围，得到的范围后可得的范围，由此可得函数的最值．
试题解析：
（Ⅰ）由图像可知， ，
∴，
∴.
∴．
又点在函数的图象上，
∴， ，
∴， ，
又，
∴．
∴的解析式是．
（Ⅱ）∵,
∴．
∴，
∴，
∴当时，函数取得最大值为1；
当时，函数取得最小值为0．
点睛：根据图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)的方法
(1)根据函数图象的最高点或最低点可求得A；
(2)ω由周期T确定，即先由图象得到函数的周期，再求出T．
(3)φ的求法通常有以下两种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时，A，ω，B已知)求解即可，此时要注意交点在上升区间还是下降区间．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝．
7．已知.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）若， ，求的值.
【答案】(1)最小正周期，单调增区间为， ；(2) .
试题解析：
（1）
∴函数的最小正周期.
由， ，
得， ，
所以函数的单调增区间为， .
（2）由（1）得 ，
又，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴ .
点睛：
（1）解决三角函数问题时通常将所给的函数化简为的形式后，将看作一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解．在解题中要注意整体代换思想的运用．
（2）对于给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的问题，解题关键在于“变角”，即用已知的角表示所求的角，使其角相同或具有某种关系．
8．已知向量．
(1)若求的值；
（2）若与的夹角为求的值．
【答案】(1)1, (2)
【解析】试题分析：（1）若，则=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；
（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．
试题解析：
(1)∵，即
9．已知平面向量.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由数量积公式，得夹角余弦值为；（2），所以。
试题解析：
(1)∵向量，
∴.
∴向量与的夹角的余弦值为.
(2)∵向量与互相垂直，
∴.
又.∴.
点睛：本题考查数量积的应用。数量积公式，学生要熟练掌握数量积公式的应用，能够转化到求夹角公式。两向量垂直，则数量积为零。本题为基础题型，考查公式的直接应用。
10．已知向量， .
（1）若，求的值；
（2）若，求及的值.
【答案】（1）2；（3）.
【解析】试题分析: 因为，所以，即，
由可求的值；
（2）因为 ，所以 ，所以． 进而可求的值.
试题解析:（1）因为，所以，即，
所以
（2）因为 ，所以 ，所以．
所以．
11．在平面直角坐标系中,已知三点A(-1,0)、B(t,2)、C(2,1)，t∈R，O为坐标原点
(I)若△ABC是∠B为直角的直角三角形,求t的值
(Ⅱ)若四边形ABCD是平行四边形，求的最小值
【答案】(I)t＝1. (II) .
(II)若四边形ABCD是平行四边形，则，设点D的坐标为(x，y)，
则＝(x＋1,y)，∴(x＋1,y)＝(2－t，t－2)，
∴，即，即D(1－t，t－2)，∴＝(1－t，t－2)，
∴＝＝＝，
∴当t＝时， 取得最小值.
12．设两个向量，满足， .
（1）若，求的夹角.
（2）若夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)120°；(2) .
【解析】试题分析：
（1）由得，再根据数量积的定义可得，从而得的夹角为120°．（2）由题意得，若向量的夹角为钝角，则,解得．由于当时向量与的夹角为180°不合题意，需要舍去，从而可得所求范围．
试题解析：
（1）由得， ，
又， ，
∴
∴，
又，
∴的夹角为120°.
（2）由已知得.
∴ ，
∵向量与的夹角为钝角
∴，
解得.
设.
∴，解得.
∴当时， .
即时，向量与的夹角为180°.
∴向量与的夹角为钝角时， 的范围是.
13．已知向量， ， ．
（1）求 的值；
（2）若， ，且 ，求 ．
【答案】
【解析】试题分析：（1）由向量的数量积的坐标运算，求出的值；（2）由（1）的结果以及的范围，求出的值，将写成 ，用两角和的正弦公式展开，求出。
试题解析： ，
．
，
，
即，
．
，
．
，

点睛：本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算以及两角和的正弦公式，属于中档题。解答本题的关键是“拆角”，将拆成。
14．在试制某种洗涤剂新产品时，不同添加剂的种类以及添加的顺序对产品的性质都有影响，需要对各种不同的搭配方式做实验进行比较.现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用，根据试验设计原理，需要随机选取两种不同的添加剂先后添加进行实验.
(1)求两种添加剂芳香度之和等于5的概率；
(2)求两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）利用列举法，所有的选法共有种，而满足“两种添加剂芳香度之和等于5”的选法用列举法求得只有4种，由此求得两种不同的添加剂的芳香度之和等于5的概率；（2）用列举法求得“两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大”，共有共11种，结合（1）利用古典概型概率公式可得结果.
(2)设“两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大”为事件，
则事件包含的结果有，共11种，故.
点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
15．关于某实验仪器的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）由如下的统计资料：
由表中的数据显示与之间存在线性相关关系，试求：
（1）对的线性回归方程；
（2）估计使用年限为年时，维修费用是多少？
附：（参考数据：）
【答案】（1）；（2）12.38
【解析】试题分析：
（1）首先求得样本中心点，然后结合回归方程系数计算公式可得回归方程为.
（2）由(1)中的结果结合回归方程的预测作用可得使用年限为年时，维修费用是万元.
试题解析：
（1），
，
所以.
（2）当时，（万元）.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
16．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用 (基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费是与上一年度车辆发生道路交通安全违法行为或者道路交通事故的情况相联系的.交强险第二年价格计算公式具体如下:交强险最终保费基准保费（浮动比率).发生交通事故的次数越多，出险次数的就越多，费率也就越髙，具体浮动情况如下表：
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，为此搜集并整理了100辆这一品牌普通6座以下私家车一年内的出险次数，得到下面的柱状图：
已知小明家里有一辆该品牌普通6座以下私家车且需要续保，续保费用为元.
（1）记为事件“”，求的估计值；
（2）求的平均估计值.
【答案】（1）0.55.（2）1.14a.
【解析】试题分析：（1）由所给数据知，事件发生当且仅当一年内出险次数大于或等于1且小于或等于4，由此可求的估计值；
（2）由期望的计算公式可得.
试题解析：（（1）由所给数据知，事件发生当且仅当一年内出险次数大于或等于1且小于或等于4，
所以.
（2）由题可知
的平均估计值为.
17．从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某髙校一个社团在年后开学后随机调査了80位该校在读大学生，就除夕夜之前是否集齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表:
（1）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；
（2）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.
【答案】（1）8125.（2）.
【解析】试题分析：（1）根据表中数据可得这80位大学生集齐五福的频率，由此可估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为
（2）由古典概型概率计算公式可求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.
试题解析：（1）这80位大学生集齐五福的频率为.
据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为.
（2）设选取的2位男生和3位女生分别记为，随机选取3次采访的所有结果为,共有10个基本事件.
至少有一位男生的基木事件有9个，
故所求概率为.
18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在（不含80）之间，属于酒后驾车，在（含80）以上时，属于醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：
酒精含量
人数
3
4
1
4
2
3
2
1
(1)绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；
(2)求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.
【答案】(1)见解析(2)0.15；35,55；55
【解析】试题分析：（1）计算酒精含量（mg/100ml）在各小组中的频率/组距，绘制出频率分布直方图即可；（2）计算检测数据中酒精含量在80mg/100ml（含80）以上的频率，计算众数和平均数．
试题解析：
(1)检测数据的频率分布直方图如图：
(2)检测数据中醉酒驾驶的频率是
估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55.
估计检测数据中酒精含量的平均数是
19．某函数的解析式由如图所示的程序框图给出.
（1）写出该函数的解析式；
（2）若执行该程序框图，输出的结果为9，求输入的实数的值.
【答案】（1）；（2）或3.
20．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖.
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
【答案】乙商场中奖的可能性大.
【解析】试题分析：分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．
试题解析：
如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积，阴影部分的面积为，
则在甲商场中奖的概率为；
如果顾客去乙商场，记3个白球为， ， ，3个红球为， ， ，记(， )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种，
摸到的是2个红球有， ， ，共3种，
则在乙商场中奖的概率为，
又，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大.