2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（必修5%2b必修3）专题05+小题易丢分（30题）

2017~2018学年度下学期期末考试备考黄金30题之小题易丢分
高一数学
1．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求
解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转
化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解；
④检验：检验上述所求是否符合实际意义.
2．已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.
详解：由题意知的面积为，且，所以，
即，
所以，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为，故选A.
点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
3．已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】分析：由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cosCsinC=sinC，结合sinC≠0，可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C=.
详解：△ABC中，（a2+b2﹣c2）?（acosB+bcosA）=abc，
由余弦定理可得：2abcosC（acosB+bcosA）=abc，
∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
∴2cosCsin（A+B）=sinC，
2cosCsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=，
又∵C∈（0，π），
∴C=
点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．
（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．
4．在中，内角的对边分别是，若，则一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】D
点睛：利用正、余弦定理进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断．边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.
5．已知满足，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由大边对大角，可知，所以A正确；
由正弦定理可知， ，所以B正确；
由，且在单调递减，可知，所以C正确；
当时， ，但，所以D错误。
故选D。
点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。
6．已知是等比数列，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.
详解：由题意，数列为等比数列，且，
则是的等比中项，且是同号的，
所以，故选C.
点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题.
7．已知数列、满足，则数列的前10项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由题可知，则数列即为数列奇数项，则数列仍为等比数列，其首项为公比为原数列公比的平方，则数列的前10项的和为
考点：等比数列的性质
8．已知数列满足，，则（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】分析：通过一一列举多写出几项可知数列具有周期性，从而得解.
详解：由题意知：因为，
所以故此数列的周期为3．所以．故选A.
点睛：由数列递推关系求数列通项的方法一般有：归纳法；公式法（等差等比数列）；构造新等差或新等比数列；倒数法；取对法；累加法；累乘法等.
9．若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.
详解：对于A中，当时不成立，所以是错误的；
对于B中，取时，不成立，所以是错误的；
对于C中，取时，不成立，所以是错误的，
对于D中，由，所以是正确的，故选D.
点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
10．已知满足且的最大值为2，则实数的值为
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
11．设点满足约束条件，且，，则这样的点共有（ ）个.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：画出约束条件的可行域，利用图象打网格即可判断满足题意的点的个数．
详解：点（x，y）满足约束条件的可行域如图：
的三角形ABC区域，可知x∈Z，y∈Z，则这样的点共有12个．
故选：A．
点睛：本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键，易错点注意边界的虚实．
12．下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由有 ，解得，所以解集为，选B.
13．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，当且仅当，即时等号成立。选A。
14．已知， ， ，且，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】由， ， 得，
，当且仅当时等号成立。选B。
15．执行如图的程序框图，若输出的值为55，则判断框内应填入（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的值可得结论.
详解：程序运行中变量值依次为：；；；；；；；；；，此时应结束循环，条件应为.
故选C.
点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解题时可模拟程序运行，由其中变量值的变化结论.，本题也可由程序得出其数学原理，然后研究得出.本题程序实质是求数列的和：，当为偶数时，，当为奇数时，，计算后可得＝10时，，程序运行后＝11，从而得出判断条件.
16．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题意结合流程图计算经过循环之后的结果得到关于x的方程，解方程即可求得最终结果.
详解：结合题意运行程序如图所示：首先初始化数据：输入的值，，
第一次循环：，，此时不满足；
第二次循环：，，此时不满足；
第三次循环：，，此时不满足；
第四次循环：，，此时满足，跳出循环；
由题意可得：，解方程可得输入值为：.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
17．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：古典概率的计算，主要是列举出所有的可能，不要重复和漏项。注意正确理解题目中“不都是”否定形式表达的意义，利用对立事件的概率和为1，可以求出概率。
18．设不等式组 ,所表示的可行域为,现在区域中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线 左上方的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求得直线上方区域的面积和区域的面积，利用面积比即可求解相应的概率．
详解：设粒子落在直线上方区域内的概率为，
如图所示，不等式组围成的区域的面积为
直线上方区域的面积为，
所以相应的概率为，故选A．
点睛：本题主要考查了几何概型中面积比的类型，其求解的基本方法是：分别求出构成事件的区域的面积和试验全部结果所构成的区域的面积，利用面积比求解概率，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
19．在中, 是角所对的边长,若,则__________．
【答案】1
【解析】分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出的值.
详解：由正弦定理得，
又由余弦定理知 ，
∴ .
点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.
20．四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， __________．
【答案】
【解析】设
,当时,取得最大值,故填.
【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时的值.
21．如图， 中， ， 为边上的一点， ， ， ，则__________．
【答案】
【解析】在△BCD中应用正弦定理有： ，
则，
，
则，
在△ACD中，由余弦定理有：
.
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
22．已知数列为等比数列，且，则的值为__________．
【答案】.
点睛：已知，若是等差数列，则，若是等比数列，则；已知，若是等差数列，则，若是等比数列，则.
23．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学，《九章算术》在数学上有其独到的成就，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。下面问题源自其中:“今有金籌(chui),长五尺，斩本一尺，重四斤，斩来一尺，重二斤，问金籌重几何?”意思是:“有长5尺的一根金籌，一头粗一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤; 在细的一端截下一尺，重2 斤: 问金籌重多少斤?”，将以上问题一般化，可表述为: 有长尺的一根金籌，一头粗一头细，(质量均匀变化)，在两端各截下1尺，截下的部分分别重斤和斤: 问金籌原来的重量为多少斤? 答案为________(用的代数式表示)．
【答案】
【解析】分析：因为金籌的质量是均匀变化的，所以每尺的质量应该是一个等差数列，题设中给出了等差数列的首末两项，则可求各尺质量之和．
详解：由题设，金籌的每一尺的重量依次成等差数列，该数列的首末两项分别为 ，该数列共有项，故其总重量为．填．
点睛：数学文化题是高考的热点，解这类问题时要将实际问题抽象成数学模型，注意在建模时对关键信息的理解（如质量均匀等）．
24．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
【答案】100.
【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．
详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为，
∴样本中三等品的件数为.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．
25．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从这16个数中取的数是35，则在第1小组中随机抽到的数是________．
【答案】
【解析】分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．
详解：由题意，样本间隔为，
因为在这16个数字中取到的数字为，
设从第一小组中随机抽取的数字为，则，解得．
点睛：本题主要考查了系统抽样的应用，其中熟记系统抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题．
26．从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________．
【答案】0.79
点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
27．某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字_________.
【答案】1
【解析】分析：根据计分规则去掉一个最高分和一个最低分，计算余下7个数字的平均数，求出x的值．
详解：由题意知去掉一个最低分88，
若最高分为94时，去掉最高分94，
余下的7个分数平均值是91，
即×（89+89+92+93+90+x+91）=91，
解得x=1；
若最高分为（90+x）分，去掉最高分90+x，
则余下的7个分数平均值是：
×（89+89+92+93+91+94）≠91，不满足题意．
故答案为：1．
点睛：画茎叶图时的注意事项
（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；
（2）将茎上的数字按大小次序排成一列。
（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧。
（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较。
28．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则________.
【答案】
【解析】分析：根据几何概型的意义，求出三角形的面积和大正方形的面积，根据题中的概率得到关于的方程，解方程可得结论．
详解：由题意得大正方形的面积为，每个阴影三角形的面积为．
∵在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，
∴，
整理得，
∴，
解得或．
又，
∴．
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷、直观的方法．解答此类问题的关键是用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，以及事件A发生所包含的试验结果表示的的区域，然后利用几何概型概率公式求解即可．
29．在区间上随机取一个数，若的概率是，则实数的值为__________．
【答案】8.
【解析】分析：直接利用几何概型概率公式列方程求解即可.
详解：区间上随机取一个数，若的概率是，
，解得，故答案为.
点睛：几何概型问题有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
30．甲、乙两支足球队进行比赛，根据赛前的数据分析，甲队赢球的概率为0.55，乙队赢球的概率为0.2，则两支球队踢成平局的概率为__________．
【答案】0.25
点睛：本题主要考查互斥事件、对立事件的概率公式，属于简单题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的对立性、互斥性结合起来，要会把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.