2017-2018学年下学期期末复习备考高一数学黄金30题（必修5+必修3）专题06+大题易丢分（20题）

2017~2018学年度下学期期末考试备考黄金30题之大题易丢分
高一数学
1．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求的周长．
1．(1)；(2)6.
【解析】试题分析：（1）由余弦定理，正弦定理边化角，可求得角B.(2)由（2），由面积公式和角B的余弦定理可求得，进一步求得周长。
试题解析：（1）∵，
∴，
∴，
由正弦定理，得，
∴，
∵，∴．
（2）∵，
∴，
由余弦定理，得 ，
即，
∴，
∴的周长为．
【点睛】（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．
（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
（4）注意向量关系与边角关系的转化及面积中边角关系的应用。
2．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
2．(1)；(2)12.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理得得到，再由余弦定理得到，进而得到A；（2）由正弦定理得到，，，根据角的范围得到表达式的最大值.
解析：
（1）∵，
∴，
又，∴.
又∵，∴.
（2）由正弦定理，得，
∴，.
又，
∴
.
又∵，
∴，
∴，即.
∴的最大值为12，此时.
3．在中，已知， ，
（Ⅰ）若ac=5，求的面积；
（Ⅱ）若为锐角，求的值．
3．（Ⅰ）2;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.
方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果.
4．已知在中，角、、的对边分别是、、， ， ，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求周长的最大值.
(Ⅰ) ；(Ⅱ)9.
【解析】试题分析： 由可得，再根据正弦定理可得的值，根据的取值范围，即可求出答案
根据余弦定理可求得，化简即可求得，当且仅当时取等号，求得周长的最大值
解析：（Ⅰ）∵ ∴
由正弦定理得
即∴，在中， ∴
∴， ∵,∴
（Ⅱ）由余弦定理可得：
即∴∴ ∴，
当且仅当时取等号，∴周长的最大值为6+3=9
5．在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的值.
（1）；（2）3
【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用正弦定理把边化角，再化简即得解.（2）第（2）问，化简的面积为得到，再利用余弦定理求出a的值.
6．如图，中为钝角，过点作交于，已知.
（1）若，求的大小；
（2）若，求的长.
（1）（2）
【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用正弦定理得到，解答. (2)第（2）问，先在直角△ADC中，求出，再在△ABD中利用余弦定理求解BD的长.
试题解析：（1）在中，由正弦定理得，，
解得，又为钝角，则，故.
(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）
（2）设，则.
∵，∴，∴.
在中由余弦定理得，，
∴，解得，故.
7．已知各项均不为零的数列的前项和为,且对任意的,满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足,数列的前项和为,求证： .
（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用项和公式求数列的通项公式. (2)第(2)问，先求出，再利用错位相减法求数列的前项和=，最后证明.
（2）∵，∴，
∴，
，两式相减得:
所以 .
8．已知数列的前项的和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项的和.
(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由公式，可求得，代入，可求得。（2）由（1）可知，所以由错位相减法可求数列的前项的和。
试题解析：（1）， ，所以，
得 .
（2），所以 ，
所以 .
错位相减得 ，
.
所以.
【点睛】
当数列通项形式为，且数列{}是等差数列，数列是等比数列，则数列的前n项和，我们常采用错位相减法。
9．已知等差数列的公差不为零， ，且.
（1）求与的关系式；
（2）当时，设,求数列的前项和.
（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由，且.结合等差数列的通项公式可得.
（2）由（1）及，可得.
所以.利用裂项相消法可求数列的前项和.
试题解析:（1）因为，所以，
即有.
因为，即，所以.
（2）因为，又，所以.
所以.
所以
.
10．已知数列为公差不为零的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.
（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由成等比数列得，根据，即可求得公差，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合放缩法得，从而可证.
试题解析：（1）由题意，，所以，，即,即.
∵
∴
∴，故.
（2）由上知，.
故.
∴.
11．设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.
求和的通项公式；
设，求数列的前项和.
（1），（2）
【解析】试题分析：（1）由求出的通项公式，由等比数列的基本公式得到的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的前项和.
试题解析：
解： ，
当时，，
， ，
.
又数列为等比数列，，
，
又
，
.
由得：
设数列的前项和为
当时，
，
，
，

，
，
.
当时，，
又当时， ，
综上， .
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
12．在等差数列
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求数列的前n项和Sn.
（Ⅰ）（Ⅱ) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列中， 列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）由(I)得， 可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前n项和Sn.
试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，则由

所以
【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
13．某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.
（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；
（2）从乙地所得分数在间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在间的概率；
（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.
（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】分析：（1）由题得，结合所给的数据计算可得甲地得分的平均数为，乙地得分的平均数为，乙地得分的中位数为.
（2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在间的有四份成绩，随机抽取2份的情况有6种，其中至少有一份分数在间的情况有5种.故所求概率.
（3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，随机抽取其中2份，共10种情况.其中两份成绩都来自甲地的有3种情况，故所求概率.
详解：（1）由题得，甲地得分的平均数为，
乙地得分的平均数为，
乙地得分的中位数为.
（2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：，，，，，，共6种，其中至少有一份分数在间的情况有：，，，，，共5种.故所求概率.
（3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为，乙地中的两份分别为.随机抽取其中2份，所有情况如下：，，，，，，，，，，一共10种.
其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：，，，
故所求概率.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
14．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
（2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式： ， .
（1）49人.
（2）.
【解析】【试题分析】(1)利用回归直线方程公式计算出回归直线方程,将代入回归直线方程,求得预测值.(2)利用列举法求得基本事件的总数为种,其中符合题意的有种,故概率为.
【试题解析】
解：（1）由表中数据知， ，
∴，
，
∴所求回归直线方程为.
令，则人.
（2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分别为，
4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为，从这7人中任选2人包含以下基本事件， ， ， ，共21个基本事件；
设“其中两个恰好来自同一月份”为事件，则事件包含的基本事件是共有9个基本事件，
.
15．十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在， ， ， ， ， （单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.
（1）按分层抽样的方法从质量落在， 的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；
（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以40元/千克收购；
B．低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
15．（1）；（2）见解析
【解析】【试题分析】(1) 在， 的蜜柚中各抽取个和个.利用列举法求得基本时间的总数为种,其中符合题意的有种,故概率为.(2)首先计算出各组数据对应的频率,然后分别计算方案的总收益和方案的总收益,得出方案点的总收益高于方案的总收益,所以选择方案.
【试题解析】
（2）方案好，理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在， ， ， 的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.
若按方案收购：
根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，
于是总收益为


（元）
若按方案收购：
∵蜜柚质量低于2250克的个数为，
蜜柚质量低于2250克的个数为,
∴收益为 元.
∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.
16．经销商第一年购买某工厂商品的单价为（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：
上一年度
销售额/万元
商品单价/元
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.
已知某经销商下一年购买该商品的单价为（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率.
（1）求的平均估计值.
（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额（单位：万元），年销售额超过的可以获得红包奖励，该工厂希望使的经销商获得红包，估计的值，并说明理由.
（1）；（2）年销售额标准为万元时，的经销商可以获得红包.
【解析】分析：（1）先利用频率分布表得到每个变量对应的概率，再利用平均值的计算公式进行求解；（2）利用互斥事件的概率公式判定所在区间.
详解：（1）由题可知：
商品单价/元
频率
0.2
0.3
0.24
0.12
0.1
0.04
的平均估计值为：
.
（2）因为后组的频率之和为，
而后组的频率之和为，
所以.
由，解得.
所以年销售额标准为万元时，的经销商可以获得红包.
点睛：本题考查频率分布表、样本的数据特征，属于基础题，其关键是正确读图、试图和用图.
17．某商店对新引进的商品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
定价(元)
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量（件）
100
94
93
90
85
78
(1)求回归直线方程；
(2)假设今后销售依然服从(Ⅰ)中的关系，且该商品金价为每件5元，为获得最大利润，商店应该如何定价？（利润=销售收入-成本）
参考公式：.
（1）；（2）9.5
【解析】分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；(2)设商店的获利为元，则,当且仅当时，取得最大值，即商店应定为元.
详解：(1),
,
,
.
(2)设商店的获利为元，则
,
当且仅当时，取得最大值405，即商店应定为9.5元.
点睛：本题主要考查线性回归方程的应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
18．已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
．(1) (2)
【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到二次不等式，因式分解求解即可；（2）将式子配方得到对称轴和最小值，使得最小值大于0即可。.
解析：
（Ⅰ）当时，
即，
所以的解集是
（Ⅱ）
因为不等式的解集为，所以，
即实数的取值范围是.
19．已知函数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
（1）（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）由条件可得不等式在上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围．（2）原不等式化为，根据的不同取值解不等式即可．
试题解析：
（1）由在上恒成立，可得在上恒成立．
∴，
解得．
∴实数的取值范围为．
（2）由不等式得
．
①当时，不等式等价于，
解得 ；
②当时，不等式等价于，无解；
③当时，不等式等价于，
解得；
④当时，不等式等价于，
解得或；
综上当时， 的解集为；
当时， 的解集为；
当时， 的解集为；
当时， 的解集为.
点睛：
（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．
（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．
20．已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时， 恒成立，求的最小值.
（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）将函数式化为，然后利用基本不等式求最值即可；（2）等价于 ，利用基本不等式求出，进而可得结果.
【方法点睛】本题主要考查基本不等式求最值及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.